精品解析：吉林省榆树市慧望初级中学2025-2026学年 九年级上学期第三次数学月考试题

2025-2026学年度第一学期第三次质量监测测试卷九年级数学 总分：120分，考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加法、除法运算是解题的关键．根据二次根式的性质及二次根式的加法、除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A、，选项 A错误，不符合题意； 选项B、，选项 B正确，符合题意； 选项C、，选项 C错误，不符合题意； 选项D、，选项 D错误，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C． 4. 2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，千米，， ∴千米．   故选：A ． 5. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的对称性及增减性． 根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线，图象开口向上，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越近，函数值越小， ，，， 点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴2个单位长度，点距离对称轴5个单位长度， ． 故选：D． 6. 如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ∴． 故选：A． 7. 在中，，，用尺规作图在上取一点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可获得答案． 【详解】解：当是的垂线时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A、是的角平分线，不一定与垂直，不符合题意； B、是的中线，不一定与垂直，不符合题意； C、是的垂线，符合题意； D、不与垂直，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作角平分线、尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 8. 如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2， ∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3， ∴△A′B′C′的面积是12， 故答案为12． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键． 由题意可知，求出k即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理，解题思路是先由刻度尺求出长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解；解题关键是识别为斜边中线，易错点是对定理的条件和结论理解不清，运用了几何定理的方法技巧． 【详解】解：因为点分别对应刻度尺上的刻度和， 所以， 因为，为的中点， 所以， 即； 故答案为：． 13. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明， ， 从而得到，， 两式相加并变形可得， 把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 即， ， ，， ，解得． 故答案为： ． 14. 如图，在正方形中，点在边上，点在上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，正确的序号有_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过证明推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分线的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵， ， ，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边上的高与中边上的高相等， 又， ∴，故③正确； 当时，， ， ， ， ， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误． 综上，①②③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算、解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）先将特殊角的三角函数值代入，再加减乘除运算即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）配方，得 即 开方，得 ∴，． 16. 某商场今年1月的营业额为300万元，3月份营业额为432万元，求1月份到3月份营业额的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 可根据题意列出方程，一般用增长后的量增长前的量增长率），则3月份营业额是，据此即可列方程求解．要注意根据实际意义进行值的取舍． 【详解】解：设1月份到3月份营业额的月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：1月份到3月份营业额的月平均增长率为． 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，进一步弘扬伟大抗战精神，赓续红色血脉，某校组织学生到吉林省近现代史展览馆参观．博物馆为同学们准备了以第一汽车制造厂为背景的三款文创产品：“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款文创产品的可能性相等，请用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率．（提示：为列举方便，可用分别表示“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图． 先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：画出树状图， 共有9种等可能的情况，其中甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率为． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使； （3）在图③中的线段上找一点，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握各性质定理是解题的关键， （1）取，利用相似三角形的判定与性质得到，再根据，可得，从而得到； （2）作直角三角形斜边上的中线即可； （3）根据作图即可． 【小问1详解】 解：由图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 19. 如图，是的边上一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据，以及，得到，继而可用两角相等证明相似； （2）根据相似三角形的性质可得，进而即可求出的长． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）中， ， ， ， ． 20. 图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 21. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法，将、、代入，即可求出函数解析式； （3）①找出函数图象位于x轴上方时，x的取值范围即可； ②由函数图象可知，当时的取值范围． 【小问1详解】 解：利用描点法画出函数图象如下： 小问2详解】 由表格可知，将、、代入，得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 由二次函数图象可知， ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握描点法画函数图象和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22. 【问题原型】如图1，在中，．点在边上运动，连接，以为边作，使点、在同侧，且，连接，试探究线段长度的最小值． 【探寻轨迹】奇奇同学发现这是一道求定点到动点距离的最值问题．于是他想通过探寻动点的运动轨迹，进而求出线段长度的最小值． 下面是奇奇的证明过程： 证明：如图2，过点作于点，连接， ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴， ∵点在边上运动， ∴点的运动轨迹为一条过点且以为一个端点的线段． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （1）___________，___________； （2）点的运动轨迹的长为___________；线段长度的最小值为___________． 【答案】[探寻轨迹]缺失部分见解析；[问题解决]（1），；（2）3； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，以及利用点的运动轨迹求线段最值和路径长度，通过证明三角形相似，确定点E的运动轨迹，再结合几何图形的性质求解是解题的关键． 【探寻轨迹】根据相似三角形的判定与性质补全缺失证明过程即可； 【问题解决】对于（1）由勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数求解即可； 对于（2）设直线交于点M，先证明，再求出，当时，取得最小值，由面积可得长；当点D从A运动到C时，点E的运动路径长等于长，由，即可求出． 【详解】解：【探寻轨迹】补全缺失的证明过程： ∴，， ∴，； 【问题解决】 （1）在中，，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，设直线交于点M， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，此时； 当点在上运动时，点E的运动轨迹是一条线段，当点D从A运动到C时，的长度从5到0， ∵，， ∴， 即点E的运动路径长等于此时的长度，为3． 综上，线段的最小值为；点E的运动路径长为3． 故答案为：3；． 23. 如图，在中，，，；点为上的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）的长_________； （2）当是等腰三角形时，求的面积； （3）当点到边的距离是点到边的距离的3倍时，直接写出的值； （4）作点关于边的对称点，连接，当垂直于的边时，请直接写出的长． 【答案】（1）3 （2）的面积为或或 （3）的值为或 （4）的长为或或 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的定义求得即可； （2）分当、，三种情况讨论，利用三角函数的定义分别求得的长，再利用三角形面积公式求解即可； （3）过点作直线垂直于，交于点，过点作直线垂直于直线，交于点，交直线于点，作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，分点在直线上方和点在直线下方两种情况讨论，即可求解； （4）分三种情况讨论，同理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由勾股定理得， 当是等腰三角形时，有三种情况： 当时，则，过P作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； 当时，则，过P作于点， ∵， ∴， ∴的面积； 当时，过P作于点，过C作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或或； 【小问3详解】 解：过点作直线垂直于，交于点，过点作直线垂直于直线，交于点，交直线于点，作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， 当点在直线上方时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点到边的距离是点到边的距离的3倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在直线下方时， 同理，四边形是正方形，则， ∵点到边的距离是点到边的距离的3倍， ∴， ∴，即，， ∴； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：设直线交直线于点，作于点，作于点， 当垂直于时，同理，四边形是正方形， 设，则，，， 同理可证， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当垂直于时，过点作直线垂直于，交于点，交于点， 同理，四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 当垂直于时，此时点与点重合， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，轴对称性质等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，点是抛物线上的一点，其横坐标为，点、为坐标平面内的两点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）直接写出坐标：点_________；点 _______； （2）若点向右平移个单位，再向下平移2个单位后，恰好落在抛物线上，求此时线段的长； （3）若抛物线上点与点（包含点和点）的部分的图象即为图象． ①当图象的最高点和最低点的纵坐标的差为4时，直接写出的取值范围___________； ②当线段与图象有一个公共点时，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1），； （2） （3）①或；②或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式，坐标与图形变换－平移，以及二次函数与几何综合等知识． （1）求出的解，即可求出点、点的坐标； （2）将代入，求出，根据点的平移规律求出平移后的坐标，根据“恰好落在抛物线上”将代入求出，即点平移后为，根据两坐标的距离公式计算即可； （3）①求出抛物线上与点的纵坐标的差为4的坐标，进而判断即可； ②由题意可知线段在直线上，求解得到抛物线经过，由可知仅当时，线段与抛物线有两个交点，时，线段与抛物线有一个交点，时，线段与抛物线有一个交点，根据每种情况中P的位置范围进一步缩小m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时， 解得：， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时， ， 即， 点向右平移个单位，再向下平移2个单位后，得到，即， ∵恰好落在抛物线上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：（舍去）， ， ∴点平移后为， 此时； 【小问3详解】 ①解：， 即顶点坐标为， ∴点与顶点坐标的纵坐标的差为． 当时， 整理得， ∴， ∴， 解得：， 即抛物线经过，且点与的纵坐标的差为． ∵抛物线上点与点（包含点和点）的部分的图象即为图象，图象的最高点和最低点的纵坐标的差为4， 当点在对称轴左侧时，只有当为时，图象的最高点和最低点的纵坐标的差为4，即； 当点在对称轴右侧时，可知图象最低点为，此时最高点的纵坐标应为0，可知此时为（舍去）或； 即； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或； ②∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段直线上， 当时， 解得：， 即抛物线经过， ∵，， ∴当，即时，线段与抛物线有两个交点，为， 当，即时，线段与抛物线有一个交点，且交点在对称轴左侧， 当，即时，线段与抛物线有一个交点，且交点在对称轴右侧． 当时， ，即， 图象经过但不经过，即线段与图象有一个公共点， ∴； 当时， 图象需经过，即， ∴； 当时， 图象需经过，即， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次质量监测测试卷九年级数学 总分：120分，考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 在中，，，用尺规作图在上取一点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 12. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为___________． 13. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为______． 14. 如图，在正方形中，点在边上，点在上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，正确的序号有_______． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算：； （2）解方程：． 16. 某商场今年1月的营业额为300万元，3月份营业额为432万元，求1月份到3月份营业额的月平均增长率． 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，进一步弘扬伟大抗战精神，赓续红色血脉，某校组织学生到吉林省近现代史展览馆参观．博物馆为同学们准备了以第一汽车制造厂为背景的三款文创产品：“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款文创产品的可能性相等，请用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率．（提示：为列举方便，可用分别表示“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”） 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使； （3）在图③中的线段上找一点，连结，使． 19. 如图，是的边上一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 21. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 22. 【问题原型】如图1，在中，．点在边上运动，连接，以为边作，使点、在同侧，且，连接，试探究线段长度的最小值． 【探寻轨迹】奇奇同学发现这是一道求定点到动点距离的最值问题．于是他想通过探寻动点的运动轨迹，进而求出线段长度的最小值． 下面是奇奇的证明过程： 证明：如图2，过点作于点，连接， ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴， ∵点边上运动， ∴点的运动轨迹为一条过点且以为一个端点的线段． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （1）___________，___________； （2）点的运动轨迹的长为___________；线段长度的最小值为___________． 23. 如图，在中，，，；点为上的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）的长_________； （2）当是等腰三角形时，求面积； （3）当点到边的距离是点到边的距离的3倍时，直接写出的值； （4）作点关于边对称点，连接，当垂直于的边时，请直接写出的长． 24. 已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，点是抛物线上的一点，其横坐标为，点、为坐标平面内的两点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）直接写出坐标：点_________；点 _______； （2）若点向右平移个单位，再向下平移2个单位后，恰好落在抛物线上，求此时线段的长； （3）若抛物线上点与点（包含点和点）的部分的图象即为图象． ①当图象的最高点和最低点的纵坐标的差为4时，直接写出的取值范围___________； ②当线段与图象有一个公共点时，直接写出的取值范围___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $