精品解析：湖北咸宁市咸安区部分校2026-2027学年上学期九年级10月质量监测数学试题

2026—2027学年上学期九年级10月质量监测 数学试题 本试题卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 或0 3. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 4，6 B. ，6 C. 4， D. 4x， 4. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 13 C. 1 D. 8. 对于抛物线，下列结论： ①开口向下；②顶点坐标为； ③y有最大值，最大值为0；④当时，y随x的增大而增大． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 二次函数开口向下，则a的取值范围是________． 12. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 13. 已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 15. 如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解下列方程： （1）； （2）（公式法）． 17. 已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 19. 已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _______ _______ _______ _______ … （2）根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是________； （4）根据图象可知，当x________时，y随x的增大而减小． 20. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移3个单位，向下平移6个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求抛物线的最大值和最小值； （3）若抛物线交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为P点，求三角形的面积． 21. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 22. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一动点，当的值最小时，求此时的坐标； （3）若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级10月质量监测 数学试题 本试题卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断是否为整式方程，再结合未知数个数、最高次数排查选项． 【详解】解：A选项是关于的一元二次方程，符合要求； B选项不是整式方程，不符合要求； C选项含有两个未知数，不符合要求； D选项未知数最高次数为1，不符合要求． 2. 若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 或0 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 3. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 4，6 B. ，6 C. 4， D. 4x， 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程移项化为一元二次方程的一般形式，再确定一次项系数和常数项． 【详解】解：化成一般式为 则一次项系数为，常数项为． 4. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程计算即可出结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程，得， 化简得， 解得． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为． 6. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 7. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 13 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 8. 对于抛物线，下列结论： ①开口向下；②顶点坐标为； ③y有最大值，最大值为0；④当时，y随x的增大而增大． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可结合二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ②∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故②错误； ③∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴有最大值，最大值为，故③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确结论共3个． 9. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，则说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则说法②正确； ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，则说法③错误； 当时，， 由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴，则说法④正确； ∵抛物线经过点，且其对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴，则说法⑤正确； 综上，正确的结论是②④⑤． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 二次函数开口向下，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向下时，二次项系数小于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 12. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】1 【解析】 【分析】已知一元二次方程和其中一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程 ，设两根为 ，， 根据根与系数的关系，得 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ． 13. 已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线解析式可确定开口方向与对称轴，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：抛物线中， 二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】将原方程移项、配方化为的形式，得到和的值，计算即可． 【详解】解： ， ， ， 整理得， 对比，可得 ，， 因此． 15. 如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【答案】23 【解析】 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 【详解】解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 解下列方程： （1）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 17. 已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】（1）； （2）和都是关于的二次函数 【解析】 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， ； 【小问2详解】 解：根据二次函数的定义，可知是关于的二次函数， 是关于的二次函数， 即和都是关于的二次函数． 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ． ， ， 该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）由根的判别式为完全平方式，恒为非负，判断一元二次方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，结合矩形邻边和对角线满足勾股定理的性质，将转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于的一元二次方程，解得的值后，结合矩形边长必须为正数的隐含条件，排除不符合取值范围的解，得到最终的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数关系得，，， ，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 整理得，， 解得，． 矩形的边长必须为正数， ， 即， ． 经检验，符合要求，不符合题意，舍去， ． 19. 已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _______ _______ _______ _______ … （2）根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是________； （4）根据图象可知，当x________时，y随x的增大而减小． 【答案】（1） x … 0 1 2 3 … … __ __2___ __3__ __2__ … （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）把对应的x值代入二次函数解析式，然后求出对应的y值，然后填表即可． （2）描点，连线即可画出二次函数即可． （3）结合函数图象求解即可． （4）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表略； 【小问2详解】 解：画图略； 【小问3详解】 解：根据点和，则抛物线对称轴直线为：， 故抛物线顶点坐标为， 结合函数图象可知：当时，． 【小问4详解】 解：由（3）可知：抛物线对称轴直线为， 故当，y随x的增大而减小． 20. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移3个单位，向下平移6个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求抛物线的最大值和最小值； （3）若抛物线交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为P点，求三角形的面积． 【答案】（1） （2）最大值为16，最小值为 （3）27 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减，据此即可得到答案； （2）由二次函数的性质可得出结果． （3）先求出点A，点B的坐标，进而可求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移3个单位，向下平移6个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为16，最小值为． 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 令，则，求得，． ， ． 21. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意得的长为，可得，根据矩形的面积公式可得出y与x的函数关系式，由矩形的边长可列不等式求出x的取值范围； （2）根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意得的长为，可得， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． 【小问2详解】 解：， ， ∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 22. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； 【小问2详解】 解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）2 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据点速度为和点速度为即可求解； （2）由点到点停止，可确定时间范围为；矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、中用勾股定理表示、，根据列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点的速度为，运动时间为， ， ∵点的速度为， ， 又∵， ． 【小问2详解】 解：点运动到点时两点同时停止， ， 解得， 又， 的取值范围为； ∵四边形是矩形， ， 在中，， 将，，代入其中， 得， ， ， ， 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：连接，，如图： ∵四边形是矩形， ，，， ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ∵以为底边的三角形为等腰三角形， ， 则，即， 整理得， 解得（舍去）或； ∴符合条件的的值为． 24. 如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一动点，当的值最小时，求此时的坐标； （3）若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由于二次函数的对称轴垂直平分，从而得到，所以最小即为最小，点落在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，再代入对称轴即可求出点的坐标； （3）设，则，然后分情况讨论点是的三等分点，即或，分别计算求出，再代入点坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ， 解得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接， 点是抛物线对称轴上的一个动点， ， ， 当三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， 将，分别代入，得 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 点坐标为． 【小问3详解】 解：由（2）知，直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得，（不符合题意，舍去）或，（不符合题意，舍去）． 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $