精品解析：湖北省咸宁市咸安区实验集团2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试卷

2024年11月实验集团九年级月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若、是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 将绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到，且点B的对应点D恰好落在边上，若，则的度数是 （ ） A. 70° B. 50° C. 40° D. 30° 5. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 6. 一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线经过、两点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 8. 等边三角形绕中心点至少旋转（ ）度后能与自身重合 A. B. C. D. 9. 下列语句中正确的个数是（　　） ①圆的对称轴是直径；②直径是圆中最长的弦；③在同圆或等圆中半径相等；④矩形的四个顶点在同一个圆上． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，下列结论：①；②；③；④此抛物线向下移动c个单位后过点；其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 13. 将抛物线y=2(x-1)2+5先向右平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的解析式为________． 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 15. 如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上(均不与端点重合)，．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是________________． 三、解答题（共9小题，75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，长，宽的矩形场地中间有横竖三条等宽的道路，三条道路的总面积为，那么道路的宽为多少米？     18. 如图所示，的三个顶点都在边长为的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移个单位，再向右平移个单位得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点 顺时针旋转 度得到的． 19. 如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，若，． （1）求证：、、三点共线； （2）求的度数和的长． 20. 如图，抛物线与直线交于点和点B． （1）求b和m的值及点B的坐标； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求的长． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为600元，则平均每天可售出10件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元． （1）用含x的代数式表示：每件衬衫的盈利为 元，每天可售出的衫件数为 件． （2）每件衬衫应降价多少时，日盈利最高？最高日盈利是多少？ （3）若商场每天想要获得不低于3840元的盈利，每天至少要销售多少件衬衫？ 23. 已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点． （1）如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； （2）将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，求点P坐标； （3）y轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有M点的坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年11月实验集团九年级月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先化为一般形式，再找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：即二次项系数、一次项系数、常数项分别是、、 故选：B． 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 若、是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“设，是一元二次方程的两个根，则有”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， 故选：D． 4. 将绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到，且点B的对应点D恰好落在边上，若，则的度数是 （ ） A. 70° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到 ∴ ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 5. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 6. 一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980. 【详解】解：设有x个好友，依题意，得： x（x-1）=1980. 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键. 7. 已知抛物线经过、两点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为直线，，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵，对称轴为直线，， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵、在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 8. 等边三角形绕中心点至少旋转（ ）度后能与自身重合 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 根据等边三角形的中心角的度数，以及旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵等边三角形的中心角是， ∴等边三角形绕中心点旋转的整数倍后能与自身重合， ∴旋转的最小角为．   故选：D ． 9. 下列语句中正确的个数是（　　） ①圆的对称轴是直径；②直径是圆中最长的弦；③在同圆或等圆中半径相等；④矩形的四个顶点在同一个圆上． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质以及矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据圆的相关性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故①错误； ②、③是正确的； ④矩形的四个顶点在同一个圆上，正确的，因为矩形的对角线相等且互相平分，故矩形的四个顶点在同一个圆上，故正确， 故选：B． 10. 已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，下列结论：①；②；③；④此抛物线向下移动c个单位后过点；其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的图象与性质．利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， 、是抛物线与轴交点的横坐标， 抛物线的对称轴为直线， ，即，故①说法错误； 由图象可知，， ， 解得：，故②说法正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故③说法错误； 抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点坐标为， 抛物线一定经过点， 此抛物线向下移动c个单位后过点，故④说法正确； 故选：B． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点与点关关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 13. 将抛物线y=2(x-1)2+5先向右平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的解析式为________． 【答案】y=2(x-3)2+2 【解析】 【分析】根据左加右减,上加下减的平移规律即可解题. 【详解】解：将抛物线y=2(x-1)2+5先向右平移个单位得，y=2(x-3)2+5, 再向下平移个单位后得到的抛物线为y=2(x-3)2+2. 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律,属于简单题,熟悉平移规律是解题关键. 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上(均不与端点重合)，．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，作于，首先证明，要求四边形周长的取值范围，只要求的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于． 在中， ， ， ， ， 根据旋转可得， ∴，是的中位线， ，三点共线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 根据题意， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， ∴当时，可得四边形周长取得最小值，最小值， 当与重合时可得周长取得最大值，最大值， ∵不与重合， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题． 三、解答题（共9小题，75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可； （2）利用配方法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ． 17. 如图，长，宽的矩形场地中间有横竖三条等宽的道路，三条道路的总面积为，那么道路的宽为多少米？     【答案】路宽2米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—与图形有关的问题，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．设道路的宽为x米，根据空白部分面积总面积三条道路的总面积列出方程，再解方程即可求出道路的宽． 【详解】解：设路宽为x米， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：路宽2米． 18. 如图所示，的三个顶点都在边长为的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移个单位，再向右平移个单位得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点 顺时针旋转 度得到的． 【答案】（1） 解：如下图所示： ； （2） 解：如下图所示： 解： （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图以及旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）作对应点与、与的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据图形确定出旋转角度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，作对应点与、与的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，根据图形可得旋转角度为， 故答案为：，． 19. 如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，若，． （1）求证：、、三点共线； （2）求的度数和的长． 【答案】（1） 证明：∵把绕着点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点共线； （2），． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、四边形的内角和定理． （1）根据旋转的性质可知，根据四边形的内角和定理可得，根据全等三角形对应角相等可得，即可证得结论； （2）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据全等三角形的性质可知，，，结合、、三点共线，即可得的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵把绕着点按顺时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，抛物线与直线交于点和点B． （1）求b和m的值及点B的坐标； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】对于（1），将点代入，可得b，再将点代入，可得m，然后将两个函数关系式联立得到方程组，求出解即可； 对于（2），根据交点坐标，观察图象，再根据抛物线在直线上方求出自变量取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 ∵点代在二次函数的图象上， ∴， 解得； ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，一次函数的关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； 【小问2详解】 当或时，． 【点睛】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题，会根据图象求不等式的解集是解题的关键． 21. 如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即； （2）4 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，进而证明即可； （2）首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为600元，则平均每天可售出10件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元． （1）用含x的代数式表示：每件衬衫的盈利为 元，每天可售出的衫件数为 件． （2）每件衬衫应降价多少时，日盈利最高？最高日盈利是多少？ （3）若商场每天想要获得不低于3840元的盈利，每天至少要销售多少件衬衫？ 【答案】（1） （2）每件衬衫应降价100元时，日盈利最高为4000元 （3）每天至少要销售16件衬衫 【解析】 【分析】对于（1），根据盈利等于采取措施前单件利润减去降价得出答案，再根据平均每天售出的件数加上多售出的件数即可； 对于（2），根据总利润等于单件利润乘以销售量得出二次函数，再讨论极值； 对于（3），令总利润等于3840求出x，可得答案． 【小问1详解】 解：每件衬衫的利润为（元）；每天可售出的衬衫的件数为（件）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设日利润为y，根据题意，得 ∵， ∴当时，元． 所以当每件衬衫降价100元时，日利润最高，最高利润是4000元； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ，， 当每天销售在16件到24件之间时利润不低于3840元， 所以每天至少要销售出16件衬衫． 【点睛】本题主要考查了用代数式表示，求二次函数极值，二次函数图像的性质，二次函数与一元二次方程的关系，弄清题目中的数量关系（总利润等于单间利润乘以销售量）是解题的关键． 23. 已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点． （1）如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； （2）将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论仍然成立： 连接 延长交于 和都是等腰直角三角形 、分别是、的中点 ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据三角形的中位线的性质即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在上时，当在上时，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵、分别是、的中点． ∴， 又∵ ∴ ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 当在上时， 同理可得，， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ 设 在中，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ 如图所示，当在上时， 同理可得 ∴， 在中，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，中位线的性质；作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，求点P坐标； （3）y轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有M点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，或或或或 【解析】 【分析】（1）把、代入利用待定系数法求解解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）如图，过作对称轴交对称轴于，求解，可得此时，如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于，，结合，，，从而可得答案； （3）设，求解，，，分三种情况：当时，当时，当时，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点． 【小问2详解】 解：如图，过作对称轴交对称轴于， ∵， 当时，则， ∴， ∴， ∵顶点， ∴， ∴此时重合， ∴符合题意； 此时， 如图，过作对称轴，交抛物线于，交对称轴于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：当绕点P顺时针旋转后，点C的对应E点恰好落在抛物线上，点P坐标为或． 【小问3详解】 解：∵，，设， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴， ∴， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：当为等腰三角形时，或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数与等腰三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $