精品解析：四川自贡市蜀光中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

蜀光中学高2026级高一上期 10月月考 数学试题 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 出题人：岳雄林 审题人：万利坤 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保持变量取值范围不变、否定结论即可得. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 其否定规则为：将存在量词改为全称量词，保持原命题中变量的取值范围不变，同时否定原命题的结论. 所以原命题为“”的否定为“”. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，取，满足，此时不成立，B错误； 对于C，取，满足，此时不成立，C错误； 对于D，因为，可知，故，D正确. 4. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解，得，由题意可得，求解后再验证即可. 【详解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集， 则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以， 故整数的最小值为. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 6. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合. 因为在上是增函数且，所以. A选项：是集合，不是的元素，应为，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：中的元素全部属于，即，故D正确. 7. 若存在，使，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式对进行放缩，得到关于的不等式，将目标式转化为只关于的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当​时，由和， 解得​​，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“若，则，中至少有1个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，命题的真假及集合的列举法逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】选项A，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以A正确； 选项B，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以B错误； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确. 10. 定义集合与的运算：，．若，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确. 11. 已知正数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，可判定A正确、C错误；B正确；由 ，得到 ，化简得到 ，可判定D不正确. 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13. “谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【解析】 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 14. 当时，有解，则实数的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合和，再根据交集运算求出结果. （2）根据 得到，然后分和两种情况讨论. 【小问1详解】 或. . 或. 【小问2详解】 . 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【小问1详解】 当时， ，， 其子集个数为个； 【小问2详解】 由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 17. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）已知方程有两个正实数根，，，且满足，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式解集端点是对应方程的两根，判断开口方向，利用韦达定理列方程组，求出参数； （2）由方程有两正根，结合韦达定理及判别式求出的范围，将目标式用表示后换元，利用基本不等式求最值及等号成立条件. 【小问1详解】 不等式的解集为， 得，方程两根为， 所以，得，； 【小问2详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以，由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合题意建立方程，求解参数即可. （2）结合题意转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数即可. （3）先求出，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. 【小问2详解】 由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. 【小问3详解】 由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 19. 对于数集，定义点集，若对任意，都存在，使得，则称数集是“归零数集”，集合是集合的“归零点集”. （1）判断集合是否是“归零数集”，若是，写出该数集的“归零点集”；(直接写出结果，无须证明) （2）若，且是“归零数集”，求的值； （3）若“归零数集”满足，，且，求的值. 【答案】（1）是“归零数集”，该数集的“归零点集”为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）逐一验证所有点对，判断集合是否满足定义，并写出归零点集； （2）根据归零数集定义，选取关键有序数对列方程求解参数，再检验； （3）先证明归零数集必存在互为相反数的元素，得到；再利用反证法证明是集合最小正数，求得. 【小问1详解】 是“归零数集”，该数集的“归零点集”为. 逐一验证中任意一点，都能找到，满足： ①：取，； ②：取，； ③：取，不在集合内；取，； ④：取，； ⑤：取，； ⑥：取，； ⑦：取，； ⑧：取，； ⑨：取，； 【小问2详解】 若，且是“归零数集”，则对于有序数对， 能使得其满足条件的有序数对只能为， 则有，解得，经检验，符合题意. 故. 【小问3详解】 先证：若集合为“归零数集”，则集合中至少要有一对相反数. 设集合的“归零点集”为，则对于任意，且，有序数对， 故，使得， 所以，故集合中至少有一对相反数. 因为且是唯一负数，所以. 下面证明为集合中的最小正数： 反证法：若不是集合中的最小正数，则，又， 对于有序数对，则与之相匹配的有序数对设为或， 所以或， 因为，所以或，与题设条件相矛盾，故为最小正数. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蜀光中学高2026级高一上期 10月月考 数学试题 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 出题人：岳雄林 审题人：万利坤 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，使，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“若，则，中至少有1个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 10. 定义集合与的运算：，．若，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 11. 已知正数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则________ 13. “谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 14. 当时，有解，则实数的取值范围是___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 集合 （1）若，写出的子集的个数； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）已知方程有两个正实数根，，，且满足，求的最大值. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 19. 对于数集，定义点集，若对任意，都存在，使得，则称数集是“归零数集”，集合是集合的“归零点集”. （1）判断集合是否是“归零数集”，若是，写出该数集的“归零点集”；(直接写出结果，无须证明) （2）若，且是“归零数集”，求的值； （3）若“归零数集”满足，，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $