四川成都七中万达学校2026-2027学年高一上学期十月月考数学试卷

成都七中万达学校2026-2027学年上期高2026级十月月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。 1．已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则实数的值为（ ） A．0 B． C．2 D．0或3 4．若，，，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或 7．刚刚过去的十一国庆节，某旅行团共有人来重庆旅游，每人至少要去洪崖洞、仙女山、白公馆中的一个地方游玩，其中去洪崖洞的有人，去仙女山的有人，去白公馆的有人，三个地方都去的有人，则至少去其中两个地方的有（ ）人． A． B． C． D． 8．对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合或，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列选项正确的是（ ） A．若实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若， 则. D．若正数，满足，且，则，均为定值 11．已知，，，则下列选项正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 第Ⅱ卷（综合题，共77分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 13．若“，”为真命题，则实数的取值范围是________. 14．若，，对均有恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知全集，关于x的不等式的解集是或, 集合，集合． (1)计算； (2)若关于x的不等式的解集为D，且“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 17．已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 18．设二次函数,且的两个实根满足. (1)若该二次函数的图象关于对称，求的解集； (2)若当时， （i）求证：； （ii）记L=,对于的最大值为，求的表达式. (其中的表达式是一个关于a的代数式） 19．设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中万达学校2026-2027学年上期高2026级十月月考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。 1．已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】全称命题的否定方法：将任意改为存在并否定原结论，即可知答案. 【详解】命题：，的否定是，、 2．设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，集合是点集，元素是点，集合是数集，元素是实数，故． 3．设全集，集合，，则实数的值为（ ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 4．若，，，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】通过特殊值法、作差法分别分析四个选项的不等关系，从而确定正确选项. 【详解】选项A，取，，满足且，但，，，故A错误. 选项B，因为，所以，又，， 则，即，故B正确. 选项C，，由，得，，而的正负不确定，因此的正负不确定，故C错误. 选项D，若，则，，此时不成立，故D错误. 故选：B 5．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：}，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为： 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为, 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 6．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 7．刚刚过去的十一国庆节，某旅行团共有人来重庆旅游，每人至少要去洪崖洞、仙女山、白公馆中的一个地方游玩，其中去洪崖洞的有人，去仙女山的有人，去白公馆的有人，三个地方都去的有人，则至少去其中两个地方的有（ ）人． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了仙女山的同学组成集合，去了白公馆的同学组成集合，作出韦恩图，可求得结果. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了仙女山的同学组成集合，去了白公馆的同学组成集合， 设只去洪崖洞、仙女山的人数为，只去洪崖洞、白公馆的人数为，只去仙女山、白公馆的人数为， 如下图所示： 由题意可得， 即，解得. 所以至少去其中两个地方的人数为人. 故选：B. 8．对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合A的非空子集，将其分类，结合新定义，依次讨论即可. 【详解】集合的子集中，除了集合，还有个非空子集. 将其分为两类：第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同. 如果A是第二类的，则必有是第一类的集合； 如果B是第一类中的集合，则B中除2008外，还应用中的数做其元素， 即B中去掉2008后不是空集，且是第二类中的. 于是把“成对的”集合的“交替和”求出来，都为2008， 则A的所有子集的“交替和”的和为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知集合或，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于选项A，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项C，分，讨论求解即可；对于选项D，当时，判断出即可得解. 【详解】对于选项A，已知，根据集合的性质可知， 当时，的解集是空集，满足， 当时，由，可得，所以 因为，所以或，解得 综上：，所以选项A正确； 对于选项B，已知，根据集合的性质可知， 由A选项知，所以选项B错误； 对于选项C，当时，是空集，此时， 当时，， 因为，所以，则，， 此时，所以选项C错误； 对于选项D，当时，，因为，所以， 则，，此时，所以选项D正确. 故选：AD. 10．下列选项正确的是（ ） A．若实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若， 则. D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】CD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】需要满足为正，选项A错误； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由得：. 则有. 选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 11．已知，，，则下列选项正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 第Ⅱ卷（综合题，共77分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 3 8 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 13．若“，”为真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时命题为真； 当时命题为真，必使，即，所以. 综上，实数的取值范围为：. 14．若，，对均有恒成立，则的取值范围为________. 【答案】{2a+b:-4≤} 【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 【详解】设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为 故答案为} 四、解答题：本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知全集，关于x的不等式的解集是或, 集合，集合． (1)计算； (2)若关于x的不等式的解集为D，且“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）先求出，再解分式不等式得出集合，最后应用交集定义计算求解； （2）先根据解集得出，，结合化简得出，最后应用充分必要条件定义列式计算求解. 【详解】（1）由或,，得，而，或, 所以．或 （2）由不等式的解集是或, 可得，解得，，， 不等式为，即， 解得，即， 由，得，， 由“”是“”的充分不必要条件，则或，解得， 所以实数m的取值范围是． 16．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 17．已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． (2) (3). 【分析】（1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以的取值范围是． （3）因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上随m增大而增大， 所以，所以， 所以的取值范围是.． 18．设二次函数,且的两个实根满足. (1)若该二次函数的图象关于对称，求的解集； (2)若当时， （i）求证：； （ii）记L=,对于的最大值为，求的表达式. (其中的表达式是一个关于a的代数式） 【答案】(1)当时，y<0的解集为； 当时，y<0的解集为; (2)（i）由x=0时，y=1得，则， 得，则； （ii）. 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简L，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，则，则, 当时，y<0的解集为；； 当时，y<0的解集为; （2）（i）略 （ii）由，得或. 设, 则, L=0的根分别为和，对称轴为 ①当时，， 则L在{上随x增大而增大，在{上随x减小而减小， 所以当时 所以； ②当时，， 则在{上随x减小而减小， 当时 则(a+1)=2(1+; ③当时，， 则在{递减，在{上递增， 当时，(1+； 当时，0； 则{2(1+2(1+. 综上. 19．设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． (3) 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【详解】（1）令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）略 （3）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以． 任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 第14页，共16页 第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $