2026-2027学年北师大版八年级数学上册 期中阶段性综合测评卷

2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第一章 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，根据垂线段最短，以及等积法求出线段的最小值即可. 【详解】解：在中， ，，， ． 当时，的值最小， 此时的面积， ， ． 2．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 3．直角三角形两条边长分别是和，则这个直角三角形的第三边长（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】未明确直角三角形的斜边，需分类讨论结合勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况计算．当长为的边为直角边时，第三边为斜边，第三边长为． 当长为的边为斜边时，第三边为直角边，第三边长为． 故第三边长为或． 4．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：A． 5．如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆的半径性质.由题意可得，然后在中通过勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为，则，，，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即， ∴， ∴． 6．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 7．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是，小圆的半径是，已知小艇在游船的正南方向处，则下列关于位置的描述，正确的是（     ） A．小艇在游船的北偏东，且距游船处 B．小艇在游船的北偏西，且距游船处 C．游船在小艇的正南方向，且距游船处 D．小艇在游船的北偏西，且距游船处 【答案】D 【详解】解：由题意，游船在小艇的正北方向，且距小艇处，即在原点位置， 故小艇在游船的北偏东，且距游船处； 小艇在游船的北偏西，且距游船处； 故只有选项D符合题意. 8．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第9个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，再进行估算即可. 【详解】解：由勾股定理得： 第1个直角三角形的斜边长为，‘ 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为， ， 故第9个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由10条长度为1的线段和第9个直角三角形的斜边组成， ， ， ，即， ， 周长的整数部分是13. 9．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 10．在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，根据题意计算甲．乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，利用提供的计算方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，画出平面直角坐标系如下： 根据题意，得， ， 即，即， ， 故此“L”形的重心坐标为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 12．若 ，则的值是________． 【答案】9 【分析】根据二次根式有意义的条件得到和，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， 当时，， ∴． 13．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 14．如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 15．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 【答案】6 【分析】由再结合其他数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，，可确定前1000项中的有理数． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 16．已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【分析】先展开多项式合并同类项，根据展开式不含和项，得两项系数为，求解后，根据关于轴对称的点的坐标规律计算结果． 【详解】解： ∵ 展开式中不含和项， ∴ 项系数为，即 ，解得 ， 项系数为，即 ，将代入得 ，解得 ， ∴ 原坐标为， ∵ 点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，，，点D是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可证明结论； （2）由（1）可得是直角三角形，由，可得，再根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 18．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由，再用求即可； （2）设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵ ∴； （2）解：设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． 20．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 21．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】解：小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由如下： 由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】略 22．在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造，比较与的大小，其理由如下： ，点，，都为小正方形的顶点， （_____）． ． (1)上述说明理由的过程中横线上应填写___________． (2)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________． A．类比思想        B．整体思想        C．分类讨论思想        D．数形结合思想 (3)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． (4)以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示的点． 【答案】(1)三角形的任意两边之和大于第三边 (2)D (3)；理由如下： 如图， 在中，（三角形任意两边之差小于第三边）， 由勾股定理得：， ； (4)如图3，点即为表示的点； 作图方法如下： 设0为点，2为点，3为点， ①过作数轴的垂线，以为圆心，1为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ②过作数轴的垂线，以为圆心，为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ③以为圆心，为半径画圆，与数轴正半轴交于点，则点对应的数即为． 【分析】（1）根据三角形三边关系即可解答； （2）结合图形解决代数问题，这是数形结合思想； （3）构造三角形，使得三边分别为，利用三角形三边关系即可解答； （4）先利用勾股定理，结合画出对应的长度，再结合即可画出数轴上找出表示的点． 【详解】（1）解：横线上应填写三角形的任意两边之和大于第三边； （2）解：结合图形解决代数问题，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想； （3）略 （4）略 23．如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 24．先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)；或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中阶段性综合测评卷 第一章~第三章 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC 的最小值是() 65 0 A.12 B.3 c.m D.号 2.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是( a 0 a a 3.直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长() A.10 B.26 C.14或2 D.10或27 4.如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙OB上，此时OB=15m.如果梯子AB的底端向墙一侧移 动了5m(AC=5m)，那么梯子的项端向上移动的距离BD是() 试卷第1页（共3页） B A A.5m B.2V5m C.3V5m D.10m 5.如图，网格中小正方形的边长均为上，点ABC,D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧， 交最上方的网格线于点E,连接AE,则CE的长为() B A.3-V5 B.3-V6 C.3-7 D.7-2 6.要画一个面积为50cm的长方形，使它的长与宽之比为5：2，则该长方形的宽为() A.V3cm B.2V3cm C.v5em D.2v5cm 7.小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离 是km,小圆的半径是1km,己知小艇C在游船的正南方向2km处，则下列关于位置的描述，正确的是 () 北 》东 A.小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km处 B.小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km处 C.游船在小艇C的正南方向，且距游船2km处 D.小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km处 试卷第2页（共3页） 8.如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为 1.记这个图形的周长（实线部分）为1，则周长1的整数部分是() A.12 B.13 C.14 D.15 9.如图，在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D 重合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE的周长最小时，CE的长为() 15 13 A.7 B.8 c.2 D.2 10.在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲.乙两部分的面积分别为 S,S,建立平面直角坐标系，重心分别为 M1(x,),M2(x2,y2) 原图形的重心坐标为M》,则有 x=+8,y=8 S+S2 S+S2,如图，若AF=2,AB=5,BC=6,CD=2,以点B为坐标原点，BC所在 直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为() M E D 试卷第3页（共3页） A5周)别 二、填空题（每题3分，共18分） 1.如图，△ABC中，∠BCA=90°，MB=10,以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为S, 8,8,则+8+8 的值为一… C S2 S 12.若==2-2--3，则'的值是 13.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分 别是9,8，则8+8 S2 14.如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°，则阴 影部分的面积为 A、 B8 D 32,4,6,2,10… 15.有一组按规律排列的数： 这组数的前1000个数中，有理数有一个. 16.已知(+m+nxr-3x+2） 展开式中不含和×项，则点(m,”川关于y轴对称的点坐标为 试卷第4页（共3页） 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,点D是边AC上的一点，BD=8,CD=6. B (I)求证：△BDC是直角三角形： (2)求线段AD的长. 18.计算 2+V2,32×V72 (1)√2√8： a1-5-3-53+5): 6324x5+56 6 42i8+550-49 ÷32 19.某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将 它往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m),踏板离地的垂直高度CF=3m,它的绳索始终拉直， 求绳索AC的长. C D B E (1)图中BD= m: 试卷第5页（共3页） (2)求绳索AC的长度 20.如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部C处.已知树 甲的部分主干AB⊥水平线CD,树乙垂直水平线CD,经测量，树甲的根部B与点A的距离AB=4米， 两棵树的根部距离BC=13米，两棵树的水平距离CD为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度， D 21.如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 12米的C处，过了0.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米.这辆小汽 车在BC段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米小时，问该小汽车是否超速，说明理由。 小汽车 小汽车 B 检测仪 22.在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题， 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造△1BC,比较5+1与N0 的大小， 其理由如下： :△ABC,点A,B,C都为小正方形的顶点， .AB+BC>AC()· :AB=V22+12=V5,AC=V32+12=V10,BC=1, .5+1>V10 图1 图2 (1)上述说明理由的过程中横线上应填写！ 试卷第6页（共3页） (2)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是 A.类比思想B.整体思想 C.分类讨论思想D.数形结合思想 17-2,√13 (3)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较 与 的大小，并说明理由. :V14 (④)以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示的点. -5-4-3-2-1012345 23.如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.（所有结果均保留π） -4-32-1012345> (I)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q到达点Q，设点Q表示的数为.求 a的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2， -1,+3,4,-3 ①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？ 24.先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数抽上，如果点1表示的数为a,点B表示的数为b,那么4B的长度等于口- ,借助平 面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点B(）,B(:)之间的距离，小明已经构建了如图所示 平面直角坐标系及直角三角形，则B两点间距离B=V(x-名)广+(y-)}, 试卷第7页（共3页） Pi Y P. 0)根据上面结论，已知点12，)，B(4,4 ,求AB的长： (2)已知点A,B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为-5，点B的纵坐标为1，求A,B两点间的距离： 当两点().B() 所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； ®)已知M(-3,2）,N(22）,在y轴上找点Q,使△MN吧是以MN为腰的等腰三角形. 试卷第8页（共3页）