精品解析：江苏省南京市第五十中学2026—2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

南京五十中2026～2027学年度第一学期10月作业检查 九年级数学 注意事项： 本试卷共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 2. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数  的性质，由  的正负确定图象所在的象限 【详解】解：反比例函数  中   该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限. 3. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即， 解得． 4. 在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 5. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，待定系数法求解析式，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的图象关于原点对称，设，则，根据勾股定理求得的长度，根据，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点， ∴设，则，， 则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 故选A． 6. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：， 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】原方程可通过因式分解转化为一元一次方程求解． 【详解】解：对方程左边因式分解，得， 或 ， 解得，． 8. 已知反比例函数的图象经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数即可求出的值 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ 将，代入， 得， 解得． 9. 的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是___________． 【答案】相交 【解析】 【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，即可求得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 10. 一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 11. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______. 【答案】(x+1)2=25 【解析】 【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程. 【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24， 即：（x+1） 2 =25． 故答案为（x+1） 2 =25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法. 13. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】：连接， 是的直径，是的弦，且于点，， ， ，， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为： 14. 如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再设，则，，代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∴，， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 15. 如图，．若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再设，则，，根据等腰三角形的性质可得，，然后在中，根据三角形的内角和定理可得，最后根据即可得． 【详解】解：，， ， 设，则，， ， ，， 在中，， ， 整理得：， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】作直径，连接，利用直径所对圆周角是直角及勾股定理求出的长，结合的长得出，进而得到，再由，得出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵半径为， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴． 18. 已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）． （1）求这个函数的解析式； （2）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围． 【答案】（1）y=；（2）-6＜y＜-2． 【解析】 【分析】（1）把点A（2，3）代入反比例函数y=（k为常数，k≠0）中，求出k的值，即可得出这个函数的解析式； （2）分别求出当x=-1时，当x=-3时y的值，从而得出y的取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）， ∴3=， ∴k=6， ∴这个函数的解析式为：y=； （2）∵当x=-1时，y=-6， 当x=-3时，y=-2， ∴当-3＜x＜-1时，y的取值范围是-6＜y＜-2． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为相反数，求这两个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，结合互为相反数的两数之和为0，求出值，再解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的两个根互为相反数，两根之和为， ∴， ∴， ∴方程化为， 解得． 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 【答案】 过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【解析】 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】略 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 21. 在中，，，． （1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； （2）若直线与半径为r的相切，求r的值． （3）若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】（1）相离 （2） （3）或 【解析】 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； 【小问2详解】 解：∵直线与相切， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 22. 如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，圆内接四边形的性质，先证明四边形是平行四边形，，再由平行四边形的性质推出，根据圆内接四边形对角互补得到，则，据此可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 23. 如图，点在，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行画图即可； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，进行画图即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解决此题的关键． 24. 一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求V与t之间的函数表达式； （2）若要2h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】（1）V＝；（2）每小时的排水量应该是9 000 m3；（3）根据反比例函数的性质，V随t的增大而减小，因此水池中的水至少要4.5 h才能排完 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）利用t＝2代入进而得出V的值； （3）把V＝4 000代入V＝，求出答案． 【详解】解：（1）设函数表达式为V＝，把（6，3000）代入V＝， 得3000＝． 解得：k＝18000，所以V与t之间的函数表达式为：V＝； （2）把t＝2代入V＝，得V＝9000， 答：每小时的排水量应该是9 000 m3； （3）把V＝4 000代入V＝，得t＝4.5， 根据反比例函数的性质，V随t的增大而减小，因此水池中的水至少要4.5 h才能排完． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键． 25. 如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分． （1）求证：； （2）若，求半径． 【答案】（1） 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵平分 ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵直线是得垂直平分线， ∴圆心O在上， ∴，， ∴， 解得． 26. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______________“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______________； 【深入探究】 （2）已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式； 结合图象研究性质，下列结论正确的选项是______________； 图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； 随着的增大而减小； 随着的增大而增大； 图象经过点； 对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是， （2），，是定值， 【解析】 【分析】（1）根据题意矩形的周长与面积的数值相等，直接判断计算即可． （2）根据题意点是第一象限内的“美好点”，直接求出函数表达式，同时注意，，根据函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，两点，如图， ∴四边形是矩形， ∴，， 矩形的周长， 矩形的面积， ∴矩形的周长和面积不相等， ∴点不是平面直角坐标系中的“美好点”． ∵点是第一象限内的一个“美好点”，如图， ∴矩形的周长与面积的数值相等， ∵点坐标为， ∴，， 矩形的周长， 矩形的面积， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：点是第一象限内的“美好点”，如图， ∴矩形的周长与面积的数值相等， ∵点坐标为， ∴，， 矩形的周长是， 矩形的周长是， ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴，， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为，， 由可知函数表达式为，，变形可得，由反比例函数向右平移 个单位，再向上平移个单位得到的图象，自变量取值范围为，函数值的取值范围为 函数图象靠近和 ， 选项，经过点且平行于坐标轴的直线为和 ，函数的自变量取值范围为，所以图象与直线没有交点，函数值的取值范围为，所以图象与直线 没有交点，选项正确． 选项，对于，且，根据反比例函数的性质，当增大时，增大，减小，从而减小，选项正确，选项错误． 选项，将 代入函数表达式：，即图象经过点，而不是 ，选项错误． 是定值， 图象上任意一点，满足， ， 代数式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京五十中2026～2027学年度第一学期10月作业检查 九年级数学 注意事项： 本试卷共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 2. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解为___________． 8. 已知反比例函数的图象经过点，则_____________． 9. 的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是___________． 10. 一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 11. 设，是方程的两个根，则________． 12. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______. 13. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 14. 如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为_______． 15. 如图，．若，则_____． 16. 如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）． （1）求这个函数的解析式； （2）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为相反数，求这两个根． 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 21. 在中，，，． （1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； （2）若直线与半径为r的相切，求r的值． （3）若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 22. 如图，在的内接四边形中，，． 求证：四边形是矩形． 23. 如图，点在，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 24. 一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求V与t之间的函数表达式； （2）若要2h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 25. 如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分． （1）求证：； （2）若，求半径． 26. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足，为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点______________“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______________； 【深入探究】 （2）已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式； 结合图象研究性质，下列结论正确的选项是______________； 图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； 随着的增大而减小； 随着的增大而增大； 图象经过点； 对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $