专题29.2 圆的有关性质（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题29.2 圆的有关性质 知识点1：圆的对称性 　　1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条。 　　2.圆的旋转对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆是旋转对称图形。 　　1.对称轴是直线，不能说圆的直径是对称轴（直径是线段），应说直径所在的直线。 　　2.圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合，旋转对称性在证明弧、弦、圆心角关系中起重要作用。 知识点2：垂径定理及推论 名称 文字语言 符号语言 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 是直径，，垂足为M，则，， 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是直径，（AB不是直径），则， 　　1."知二推三"：一条直线满足以下五个条件中的任意两个，就可推出其余三个：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。 　　2.垂径定理中的"直径"可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段。 　　3.推论中"平分弦"的"弦"一定不能是直径，否则结论不一定成立。 知识点3：圆心角与弧、弦的关系 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 　　2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 　　3.推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 　　1."知一推二"：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 　　2.只有同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦才相等。 　　3.因为一条弦所对的弧有两条，所以不能说"相等的弦所对的弧相等"。 知识点4：圆周角定理及推论 　　1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 　　2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 　　3.推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 名称 文字语言 符号语言 圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等 、都是所对的圆周角，则 直径对直角 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 AB为直径，则；若，则AB为直径 　　1.识别圆周角要同时满足：顶点在圆上、两边都与圆相交。 　　2.在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补（在弦同侧相等，异侧互补）。 　　3."遇直角构造直径"（90°的圆周角所对的弦是直径）是构造隐形圆的常用方法。 知识点5：圆内接四边形 　　1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。 　　2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 　　1.符号语言：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 　　2.圆内接四边形的每一个外角等于它的内对角。 　　3.每一个圆都有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。 【基础必考题型】 【题型1】识别圆心角与圆周角 1.核心知识点 　　圆心角、圆周角的定义及判定。 2.解题方法技巧 　　（1）圆心角：顶点在圆心；圆周角：顶点在圆上且两边都与圆相交； 　　（2）根据顶点位置和两边与圆的交点情况判断角的类型； （3）圆周角必须同时满足顶点在圆上、两边都与圆相交两个条件。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角， 只有选项C符合题意． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交．二者缺一不可． 【详解】解：根据图形，可知弦所对的圆周角可能是． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 【答案】 【分析】根据圆心角的定义解答即可． 【详解】解：所对的圆心角是，所对的圆心角是． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角． 【详解】解：A、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； B、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； C、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； D、顶点在圆心，故是圆心角，符合题意． 【题型2】利用垂径定理求弦长、弦心距 1.核心知识点 　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 2.解题方法技巧 　　（1）过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； 　　（2）由垂径定理知弦被平分，得弦的一半长，结合半径用勾股定理求弦心距或弦长； （3）关系式：（r为半径，d为弦心距，l为弦长）。 【例题2】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理得出，再由勾股定理得出，结合图形即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的弦，半径于点D，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于， 根据题意先求出，再由，得，再根据勾股定理求得，，由垂径定理得出的长． 【详解】解：连接，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式题2-3】.（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，已知为的半径，且，弦于点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系求值 1.核心知识点 　　在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦"知一推二"。 2.解题方法技巧 　　（1）由相等的弧、弦、圆心角中任一组量相等，推出其余两组量相等； 　　（2）结合圆心角度数等于所对弧的度数求角度； （3）连接半径，用等腰三角形性质求角。 【例题3】.（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【题型4】利用圆周角定理求角度 1.核心知识点 　　圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2.解题方法技巧 　　（1）由同弧（或等弧）把圆周角与圆心角相互转化； 　　（2）利用"直径所对的圆周角是直角"构造直角三角形求角； （3）同弧所对的圆周角相等，可进行角的等量代换。 【例题4】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ，， ∴． (2) 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型5】直径对直角的应用（求线段与角度） 1.核心知识点 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 2.解题方法技巧 　　（1）看到直径立即得直角，构造直角三角形用勾股定理求线段； 　　（2）看到90°的圆周角，判断其所对弦是否为直径（隐形圆）； （3）结合角平分线、等腰三角形性质求角。 【例题5】.（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得 ，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】直径所对的圆周角是直角． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由垂直关系得出，再由B为的中点得出，从而得到，故； （2）证明，利用勾股定理求出的长，由 结合可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 【题型6】利用垂径定理求平行弦问题 1.核心知识点 　　两条平行弦与圆心的位置关系（同侧或异侧）。 2.解题方法技巧 　　（1）过圆心作两平行弦的垂线，分别求两弦心距； 　　（2）两平行弦位于圆心异侧时，距离为两弦心距之和；位于同侧时为两弦心距之差； （3）注意分情况讨论，避免因圆的对称性漏解。 【例题6】.（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 【培优高频题型】 【题型7】利用垂径定理解决实际问题 1.核心知识点 　　把实际问题（拱桥、拱门、排水管、隧道、纸杯等）转化为圆中求半径问题。 2.解题方法技巧 　　（1）建立圆的几何模型，确定圆心、弦、弦心距、拱高； 　　（2）过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； （3）设半径列勾股定理方程求解。 【例题7】.（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 【变式题7-1】.（26-27九年级下·全国·单元复习）小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【答案】 【分析】过点作于点，的延长线交于点，连接，．先根据垂径定理求解，然后设，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线交于点，连接，． ，， ， ，． 设， ． ， ， ， 解得，即， ， 碗口的直径为． 【变式题7-2】.（26-27九年级下·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【答案】26寸 【分析】连接，由垂径定理可得寸，设寸，则寸，寸，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：连接． ，为的直径，寸， 寸． 设寸，则寸，寸． 由勾股定理得，即， 解得， 寸， 故直径的长为26寸． 【变式题7-3】.（2026·吉林松原·模拟预测）数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．    信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 【答案】约为 【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解： ， ． ∵ ∴在中，，， ∴北纬纬线的半径： ∴ 答：纬线长度约为． 【题型8】圆内接四边形的性质应用 1.核心知识点 　　圆内接四边形对角互补；外角等于内对角。 2.解题方法技巧 　　（1）利用对角互补求未知角； 　　（2）利用外角等于内对角转化角度关系； （3）结合圆周角定理，把四边形角与圆中角相互转化。 　　（3）结合三角形全等、等腰三角形性质证明。 【例题8】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 【题型9】垂径定理与坐标系的综合应用 1.核心知识点 　　圆与平面直角坐标系、函数图象的综合。 2.解题方法技巧 　　（1）利用垂径定理把弦与圆心的关系转化为坐标与距离； 　　（2）过圆心作弦的垂线，确定中点坐标与弦心距； （3）结合勾股定理、函数解析式求未知量。 【例题9】.（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，经过坐标原点，并与两坐标轴分别相交于，两点，点在上，已知，点的坐标为，则圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】连接，过点分别作，，点，分别是垂足，根据垂径定理得，，由圆周角定理可得，则，然后证明是的直径，所以，求得，，从而求解． 【详解】解：连接，过点分别作，，点，分别是垂足，根据垂径定理得，， ∵， ∴ ∴， ∵点的坐标为，， ∴是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆心的坐标是． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点C在x轴上，弦，若点A的坐标是，则点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，垂径定理，轴对称的性质． 根据特殊角的三角函数值求出点A的坐标，根据垂径定理得到x轴垂直平分，即点A、点B关于x轴对称，进而根据轴对称的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴点A的坐标是， ∵弦， ∴平分， ∴x轴垂直平分， 即点A、点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分， (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)连接并延长交圆于点，连接，求点的坐标． 【答案】(1) 解：与轴相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴轴， ∵是的半径，点在轴上， ∴与轴相切； (2)6 (3) 【分析】（1）连接，先推出，得到轴，再推出，得到轴，即可说明； （2）过点作，交于点，证四边形是矩形，得，，设，则，， 利用勾股定理求出值，即可求得值，再由垂径定理得即可求解； （3）连接，，过点作于点，得直角，由（2）知：，，，所以，，在中，，由勾股定理，求得，在中，，由勾股定理，即可求得，在和在中，由勾股定理，求得，，从而得出点坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作，交于点， 由（1）知，， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得，， 解得，，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，，过点作于点， 由（2）知，，，， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，， ∵是的直径， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，， 即， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴，即点的横坐标为， ∵点在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握直线与圆相切的判定是解题的关键． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理及其逆定理，弧长公式，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理得出，结合弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接，，如图所示： 在中，， 的半径为， 由网格得：，，， ∴， ∴， ∴弧的长为：． 【题型10】利用弧、弦、圆心角关系证明 1.核心知识点 　　由等弦、等弧、等圆心角证明线段、角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）把证弧、弦、圆心角中的一组量相等，转化为证另外两组量中的一组量相等； （2）连半径或作垂直于弦的直径，构造等弧、等弦、等圆心角； 【例题10】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证： 【答案】证明：∵点，，，在上，， ∴， ∴， ∴. 【分析】根据等弦对等弧，以及弧的和差关系即可得证. 【详解】略 【变式题10-2】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点． (1)若的度数为，的度数为，求； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【分析】（1）由圆周角的定理得出，，由三角形外角的定义以及性质得出． （2）由弦相等得出，进而可得出，进而可得出，由等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵的度数为，的度数为， ∴对应的圆周角为：，对应的圆周角为：， ∵是的一个外角， ∴． （2）略 【变式题10-3】.（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 【压轴素养题型】 【题型11】隐圆模型求最值 1.核心知识点 　　90°的圆周角所对的弦是直径；到定点的距离等于定长的点的集合。 2.解题方法技巧 　　（1）由"遇直角构造直径"或"定长定角"判断点运动轨迹为圆（隐形圆）； 　　（2）确定隐形圆的圆心与半径，转化为圆外（内）一点到圆上动点距离的最值； （3）最值在三点共线时取得，用"半径加减圆心到定点距离"求最值。 【例题11】.（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 【详解】解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 【变式题11-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 【变式题11-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，根据平行线的性质以及平行线分线段成比例，得到，，进而得到，，点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动，作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接，得到当最大时，与相切于点，证明，进行求解即可. 【详解】解：作，交于点， 则，， ∴，， ∴点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动， 作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接， 则， ∴， 当最大时，则与相切于点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式题11-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 【题型12】圆的对称性、圆周角与综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　垂径定理、圆周角定理、圆心角关系与三角形、四边形综合；跨学科情境（赵州桥、筒车、管片、九章算术）。 2.解题方法技巧 　　（1）跨学科情境（赵州桥、筒车、圆管涵、混凝土管片、九章算术古题）题，先抽象出圆与弦、角的关系模型； 　　（2）综合运用垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质证明线段、角相等或判断图形形状（等边三角形、菱形等）； 　　（3）探究题按"理解情境—抽象圆模型—运用性质—检验"的步骤推进。 【例题12】.（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【答案】(1)证明：∵，分别是两个等圆和的弧，且， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据等弧对等弦得出，进而根据证明； （2）连接，设交于点，证明四边形是菱形，进而求得其面积，再求得扇形的面积，进而求得风筝的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所需风筝纸的面积为． 【变式题12-1】.（2026·河北保定·二模）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 【答案】(1) (2)劣弧的长，劣弧线段 【分析】（1）连接，，交于点，利用切线性质得地面，结合地面推出，由垂径定理求出的长，设轮胎半径为，用含的式子表示，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）先由斜坡坡角和地面，求出，再结合切线性质，在中求出圆心角；然后利用弧长公式计算劣弧的长度，利用三角函数求出线段的长度，最后通过数值比较，即可得出劣弧与线段的大小关系． 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点， ∵与地面相切于点， ∴地面， 又地面， ∴， ∴， 设轮胎半径为，则， 由题意得， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，即轮胎的半径为； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与坡面相切于， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长， 在中，， ∵， ∴劣弧线段． 【变式题12-2】.（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，某数学兴趣小组将自行车后轮抽象为，与水平地面相切于点，货架地面，连接，分别交于点，，延长车座主梁交于点，连接，分别交于点，，且，点是的中点． (1)写出图1中一对相等的角： (2)若的半径为，，求的长； (3)在（2）条件下，若是的切线，且，，，求点到的距离． 【答案】(1)（或） (2)的长为 (3) 【分析】（1）根据等边对等角或弧、圆心角的关系即可得出结论； （2）根据弧、圆心角的关系，并结合已知可求出，然后根据弧长公式计算即可； （3）连接，，根据切线的性质得出，，根据平行线的传递性得出，然后证明O、D、U三点共线，得出点B到的距离为，过点A作交于点K，在中，根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴， ∵E是的中点， ∴； （2）解：∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵若的半径为， ∴， 即的长为； （3）解：连接，， ∵是的切线，且，， ∴，， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴O、D、U三点共线， ∴点B到的距离为， 又∵，， ∴， 过点A作交于点K， ∴， ∵， ∴， ∴点A到的距离为． 【变式题12-3】.（2026·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． (1)请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． (3)如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． (4)如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1) 如图所示，点即为求作的“三音石”的位置； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得“三音石”的位置为圆形回音壁圆心的位置．在上任取三点，连接，，分别作，的垂直平分线，，交点即为“三音石”的位置； （2）声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上，再由回音壁反射回来经过的路程长为，即可求得时间； （3）设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于，进而求得， ， ，得出 ，，根据，求得，求得声波总长为，即可求这束声波到达点的时间； （4）设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于，由 为的切线，得，根据，得，进而根据解直角三角形得，由声源沿回音壁顺时针连续运动一周，得其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积，列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上， 再由回音壁反射回来经过的路程长为， 时间为； （3）解：设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于， ， ， 该圆的直径为， ， 中，， ， ， ， ， 所对的圆心角为，声波经过8次反射， ， 中，，， ， ， ， 中，， 即， ， 声波总长为， 这束声波到达点的时间为； （4）解：设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于， 为的切线， ， ，即， 中，， ， ，即， ， 若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积， 得． 易错点 1、混淆对称轴与直径：对称轴是直径所在的直线，不能说直径是对称轴。 2、应用垂径定理的推论时，忽视"弦不是直径"这一条件。 3、求两平行弦间距离时，漏掉弦位于圆心同侧或异侧两种情况，造成漏解。 4、误认为相等的弦所对的弧相等（一条弦所对的弧有两条，应说所对的优弧和劣弧分别相等）。 5、混淆圆周角与圆心角，或忽视圆周角必须"顶点在圆上、两边都与圆相交"。 6、把圆心角、弧、弦相等关系用到不同圆中，未保证"同圆或等圆"条件。 重点 1、掌握圆的对称性，理解垂径定理及其推论，能利用垂径定理求弦长、弦心距、半径及解决实际问题。 2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二），会求值、证明。 3、掌握圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质，能进行角度计算与证明。 难点 1、垂径定理与平行弦、实际情境、平面直角坐标系及函数图象的综合应用。 2、利用"90°的圆周角所对的弦是直径"构造隐形圆，求线段最值。 3、综合运用圆周角、垂径定理、圆内接四边形性质解决动态与跨学科探究问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，得，结合，得． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 又， 故． 2．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，弦、相交于点，若的度数为，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理与三角形内角和定理分步推导求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、、， 根据题意可知，， 则， ， ， ， ， 的度数为． 5．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 6．如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得，则．在中，利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，且为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 三、解答题 7．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，于是得到结论； 由勾股定理得，过作，交于点，然后通过求出，再结合垂线段最短可得线段的长度取值范围是，然后代入即可求解； 由得，由得，然后通过勾股定理得，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 过作，交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度取值范围是，即； （3）解：由得，如问图， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴，即的长为． 8．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 【答案】(1)如图，圆心即为求作的； (2) 【分析】（1）在圆上任取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线，两直线的交点即为圆心； （2）设直线交于，交优弧于，连接，根据勾股定理及垂径定理求得 的长进而可求最大深度． 【详解】（1）略 （2）解：设直线交于，交优弧于，连接， 由作图可知：直径所在直线，的长为， ，， 中，， ， ． 答：瓶内液体最大深度为． 9．如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 【答案】(1) (2)①；②（）， 的最大值为 ． 【分析】（1）由圆周角定理得 、；由角平分线定义与同弧所对圆周角相等求出 与 ，从而得 ； （2）①先证 ，设 ，由 到 的距离为 得 ，再由同弧所对圆心角等于圆周角的二倍证 为等边三角形，得半径长；②作弦 的弦心距 ，由垂径定理得 为 中点，在两个直角三角形中用勾股定理消去 ，得 与 的函数关系式，再确定 的最大值． 【详解】（1）解：， ∴ （同弧所对圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ （同弧 所对的圆周角相等）． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ ． （2）解：在 中， ∵ 与 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ （邻补角）． 在 中，， ∴ ， ∴ （等角对等边）． ① 设 ． ∴ ∴， 连接，则，则 ． ∵ ， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ，，． ∵ 与 是同弧 所对的圆心角与圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即 的半径长为 ． ② 作 于 ． ∵ ，由垂径定理，垂足 为弦 的中点， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． 由 （直径是圆中最长的弦），得 ，故 ， ∴ ． 在 Rt 中，， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ 在线段 上且不与 重合， ∴ ， 随 的增大而减小， 当 为 的直径时，，此时 与 重合，， ∴ 取得最大值 ． 10．项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 【答案】(1) (2)①；②，的度数不变 【分析】（1）通过弦，拱高，弦端点的半径，垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用勾股定理，即可得出结论； （2）①利用弧长的计算公式，即可得出结果； ②利用圆周角定理及其推论，可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得为圆拱的半径，，   ， 设则， 在中，据勾股定理得：， 即，解得， ∴． （2）解：①， 的长m， 当点M在的三等分点处，且在点A的右侧时， m； ②当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口，为优弧所对的圆周角， 光源M沿（不含端点C，D）移动时， 圆心角不变， ， 的度数不变． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2 圆的有关性质 知识点1：圆的对称性 　　1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条。 　　2.圆的旋转对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆是旋转对称图形。 　　1.对称轴是直线，不能说圆的直径是对称轴（直径是线段），应说直径所在的直线。 　　2.圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合，旋转对称性在证明弧、弦、圆心角关系中起重要作用。 知识点2：垂径定理及推论 名称 文字语言 符号语言 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 是直径，，垂足为M，则，， 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 是直径，（AB不是直径），则， 　　1."知二推三"：一条直线满足以下五个条件中的任意两个，就可推出其余三个：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。 　　2.垂径定理中的"直径"可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段。 　　3.推论中"平分弦"的"弦"一定不能是直径，否则结论不一定成立。 知识点3：圆心角与弧、弦的关系 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 　　2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 　　3.推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 　　1."知一推二"：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 　　2.只有同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦才相等。 　　3.因为一条弦所对的弧有两条，所以不能说"相等的弦所对的弧相等"。 知识点4：圆周角定理及推论 　　1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 　　2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 　　3.推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 名称 文字语言 符号语言 圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等 、都是所对的圆周角，则 直径对直角 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 AB为直径，则；若，则AB为直径 　　1.识别圆周角要同时满足：顶点在圆上、两边都与圆相交。 　　2.在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补（在弦同侧相等，异侧互补）。 　　3."遇直角构造直径"（90°的圆周角所对的弦是直径）是构造隐形圆的常用方法。 知识点5：圆内接四边形 　　1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。 　　2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 　　1.符号语言：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 　　2.圆内接四边形的每一个外角等于它的内对角。 　　3.每一个圆都有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。 【基础必考题型】 【题型1】识别圆心角与圆周角 1.核心知识点 　　圆心角、圆周角的定义及判定。 2.解题方法技巧 　　（1）圆心角：顶点在圆心；圆周角：顶点在圆上且两边都与圆相交； 　　（2）根据顶点位置和两边与圆的交点情况判断角的类型； （3）圆周角必须同时满足顶点在圆上、两边都与圆相交两个条件。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】利用垂径定理求弦长、弦心距 1.核心知识点 　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 2.解题方法技巧 　　（1）过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； 　　（2）由垂径定理知弦被平分，得弦的一半长，结合半径用勾股定理求弦心距或弦长； （3）关系式：（r为半径，d为弦心距，l为弦长）。 【例题2】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式题2-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，已知为的半径，且，弦于点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系求值 1.核心知识点 　　在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦"知一推二"。 2.解题方法技巧 　　（1）由相等的弧、弦、圆心角中任一组量相等，推出其余两组量相等； 　　（2）结合圆心角度数等于所对弧的度数求角度； （3）连接半径，用等腰三角形性质求角。 【例题3】.（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，，则___________． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【题型4】利用圆周角定理求角度 1.核心知识点 　　圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2.解题方法技巧 　　（1）由同弧（或等弧）把圆周角与圆心角相互转化； 　　（2）利用"直径所对的圆周角是直角"构造直角三角形求角； （3）同弧所对的圆周角相等，可进行角的等量代换。 【例题4】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【变式题4-1】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型5】直径对直角的应用（求线段与角度） 1.核心知识点 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 2.解题方法技巧 　　（1）看到直径立即得直角，构造直角三角形用勾股定理求线段； 　　（2）看到90°的圆周角，判断其所对弦是否为直径（隐形圆）； （3）结合角平分线、等腰三角形性质求角。 【例题5】.（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，则的度数为_______． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型6】利用垂径定理求平行弦问题 1.核心知识点 　　两条平行弦与圆心的位置关系（同侧或异侧）。 2.解题方法技巧 　　（1）过圆心作两平行弦的垂线，分别求两弦心距； 　　（2）两平行弦位于圆心异侧时，距离为两弦心距之和；位于同侧时为两弦心距之差； （3）注意分情况讨论，避免因圆的对称性漏解。 【例题6】.（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【培优高频题型】 【题型7】利用垂径定理解决实际问题 1.核心知识点 　　把实际问题（拱桥、拱门、排水管、隧道、纸杯等）转化为圆中求半径问题。 2.解题方法技巧 　　（1）建立圆的几何模型，确定圆心、弦、弦心距、拱高； 　　（2）过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形； （3）设半径列勾股定理方程求解。 【例题7】.（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【变式题7-1】.（26-27九年级下·全国·单元复习）小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【变式题7-2】.（26-27九年级下·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【变式题7-3】.（2026·吉林松原·模拟预测）数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．    信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 【题型8】圆内接四边形的性质应用 1.核心知识点 　　圆内接四边形对角互补；外角等于内对角。 2.解题方法技巧 　　（1）利用对角互补求未知角； 　　（2）利用外角等于内对角转化角度关系； （3）结合圆周角定理，把四边形角与圆中角相互转化。 　　（3）结合三角形全等、等腰三角形性质证明。 【例题8】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 【题型9】垂径定理与坐标系的综合应用 1.核心知识点 　　圆与平面直角坐标系、函数图象的综合。 2.解题方法技巧 　　（1）利用垂径定理把弦与圆心的关系转化为坐标与距离； 　　（2）过圆心作弦的垂线，确定中点坐标与弦心距； （3）结合勾股定理、函数解析式求未知量。 【例题9】.（2026九年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，经过坐标原点，并与两坐标轴分别相交于，两点，点在上，已知，点的坐标为，则圆心的坐标是______． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点C在x轴上，弦，若点A的坐标是，则点B的坐标是_________． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分， (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)连接并延长交圆于点，连接，求点的坐标． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． 【题型10】利用弧、弦、圆心角关系证明 1.核心知识点 　　由等弦、等弧、等圆心角证明线段、角相等。 2.解题方法技巧 　　（1）把证弧、弦、圆心角中的一组量相等，转化为证另外两组量中的一组量相等； （2）连半径或作垂直于弦的直径，构造等弧、等弦、等圆心角； 【例题10】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证： 【变式题10-2】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点． (1)若的度数为，的度数为，求； (2)若，求证：． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【压轴素养题型】 【题型11】隐圆模型求最值 1.核心知识点 　　90°的圆周角所对的弦是直径；到定点的距离等于定长的点的集合。 2.解题方法技巧 　　（1）由"遇直角构造直径"或"定长定角"判断点运动轨迹为圆（隐形圆）； 　　（2）确定隐形圆的圆心与半径，转化为圆外（内）一点到圆上动点距离的最值； （3）最值在三点共线时取得，用"半径加减圆心到定点距离"求最值。 【例题11】.（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【变式题11-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式题11-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【题型12】圆的对称性、圆周角与综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　垂径定理、圆周角定理、圆心角关系与三角形、四边形综合；跨学科情境（赵州桥、筒车、管片、九章算术）。 2.解题方法技巧 　　（1）跨学科情境（赵州桥、筒车、圆管涵、混凝土管片、九章算术古题）题，先抽象出圆与弦、角的关系模型； 　　（2）综合运用垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质证明线段、角相等或判断图形形状（等边三角形、菱形等）； 　　（3）探究题按"理解情境—抽象圆模型—运用性质—检验"的步骤推进。 【例题12】.（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【变式题12-1】.（2026·河北保定·二模）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 【变式题12-2】.（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，某数学兴趣小组将自行车后轮抽象为，与水平地面相切于点，货架地面，连接，分别交于点，，延长车座主梁交于点，连接，分别交于点，，且，点是的中点． (1)写出图1中一对相等的角： (2)若的半径为，，求的长； (3)在（2）条件下，若是的切线，且，，，求点到的距离． 【变式题12-3】.（2026·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． (1)请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． (3)如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． (4)如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 易错点 1、混淆对称轴与直径：对称轴是直径所在的直线，不能说直径是对称轴。 2、应用垂径定理的推论时，忽视"弦不是直径"这一条件。 3、求两平行弦间距离时，漏掉弦位于圆心同侧或异侧两种情况，造成漏解。 4、误认为相等的弦所对的弧相等（一条弦所对的弧有两条，应说所对的优弧和劣弧分别相等）。 5、混淆圆周角与圆心角，或忽视圆周角必须"顶点在圆上、两边都与圆相交"。 6、把圆心角、弧、弦相等关系用到不同圆中，未保证"同圆或等圆"条件。 重点 1、掌握圆的对称性，理解垂径定理及其推论，能利用垂径定理求弦长、弦心距、半径及解决实际问题。 2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二），会求值、证明。 3、掌握圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质，能进行角度计算与证明。 难点 1、垂径定理与平行弦、实际情境、平面直角坐标系及函数图象的综合应用。 2、利用"90°的圆周角所对的弦是直径"构造隐形圆，求线段最值。 3、综合运用圆周角、垂径定理、圆内接四边形性质解决动态与跨学科探究问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，弦、相交于点，若的度数为，，则的度数为________． 5．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 6．如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 三、解答题 7．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； (3)求的长． 8．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 9．如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 10．项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $