精品解析：江苏省宿迁中学2025-2026学年高三上学期第一次学情调研数学试卷

2025-2026学年高三年级上学期第一次调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析该元素与集合、、的关系，可得结果. 【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，，， 所以，阴影部分区域所表示的集合为. 故选：C. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令可判断必要性，设取绝对值可判断充分性. 【详解】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 3. 若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，， 则． 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x的方程，解之即可求解. 【详解】由，得，即， 又， 所以，即， 解得. 故选：D 5. 在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单位圆及点的坐标求出的值，将所求式化弦为切代入计算. 【详解】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 7. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ） A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可知：，可得， 则， 结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角， 所以小明弹奏的音是“角”. 故选：C. 8. 已知函数在R上单调递增，则ab的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上单调递增，得到，将转化为变量a的函数，利用导数求最值. 【详解】因为在上单调递增， 所以在恒成立． 若，则，所以恒成立，显然不成立； 若，则在恒成立等价于在上恒成立， 所以，所以．令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，即ab的最小值是． 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最小值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，利用已知条件求出基本量，进而得到通项公式与前项和公式，逐项判断即可. 【详解】由，得，即，故. 由，结合等差中项性质得，故. 所以公差. 首项. 所以， . A项：，错误； B项：，正确； C项：，当时取得最小值，正确； D项：，因为且函数在时单调递增， 所以，当时取得最小值，正确. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可求解. 【详解】解：正实数，满足， 对于A：，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：由， 的最小值为2，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：， ， 当且仅当，即时取等号，不合题意，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 11. 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ） A. 函数的极大值为 B. a的取值范围是 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系对的范围进行分类讨论，然后结合零点存在条件即可求解． 【详解】解：， 当时， 当时，单调递减， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数的极小值，极大值， 此时只有一个零点，不符合题意； 当时， 当时，单调递增， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 要使有三个不同的零点， 则，解得，故A错误，B正确； 因为函数有且仅有三个不同的零点分别为， 则 ， 即有，故C正确，D错误． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在区间上的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】为偶函数， 时，， 最大值为. 则偶函数在区间上的最大值为. 13. 已知数列满足： ，数列是递增数列，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，解可得答案. 【详解】 ， 若为递增数列，则有，即，所以， 解得，即的取值范围为. 14. 已知函数的定义域为，且图象关于对称，为奇函数.若，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义，结合周期的定义确定函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由为奇函数，得，则，且， 由的图象关于对称，得，则， 因此，即函数为周期函数，且周期为4， 由，得，又，因此， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，. （1）当，时，试用，表示和； （2）若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量的线性运算即可分别求解；（2）结合向量的线性运算，向量共线定理及平面向量基本定理可得，，然后结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当，时，； . 【小问2详解】 因为，，且，，三点共线， 所以存在，使得， 因为点为线段的中点，则有， 可得，则， 故， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 所以最小值为. 16. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点中心对称； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数在定义域R内单调递增，证明如下： ，任取，令， 则，，， 故， 即，所以在定义域R内单调递增. （2） 证明：因为的定义域为R， ，， 有， 所以的图象关于点对称. （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断并证明的单调性； （2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，即， 由（1）可知：在定义域R内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 由，得， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合条件：，由于在中，,代入化简即可求解； （2）在和中，由正弦定理可得：，，结合条件化简可得，由于在中，,代入化简可得,结合的范围，求出的值，从而求得角，由正弦定理可得即可求解. 【小问1详解】 因为,由正弦定理可得：.所以, 由于在中，, 所以,化简得：, 由于，则不为0，则 由于，所以 【小问2详解】 由于,则, 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 所以,由于满足， 所以， 由于在中，, 所以,即， 所以，所以, 由于，则， 所以则或,解得或， 当时，，所以， 当时，,不满足. 综上，. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． （3）若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 【答案】（1），单调递减区间为，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和递减区间. （2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域. （3）根据条件得到，令，得，，根据条件，将问题转化成关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在，再利用根的分布，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象， ∵，则， ∴，则， ∴在上的值域为． 【小问3详解】 由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 又的图象如图， 所以关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在，令， 所以，即，解得， 当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，所以， 令，得另一根，所以符合题意， 当一个根是1，另一个实根在，由得， 此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上a的取值范围是． 19. 已知函数，. （1）解不等式：； （2）当时，求证：. （3）若函数的图象与函数有两个交点，，试比较与的大小取为，取为，取为 【答案】（1） （2）设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，有，故，当且仅当时等号成立， 当时有，当且仅当时等号成立， 设，其中，，则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，有，故，当且仅当时等号成立， 因为，所以，所以与等号不可同时成立， 即， 则， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用其单调性及最值证明不等式； （2）通过研究函数，的单调性及最值，证明不等式； （3）先消去参数，利用基本不等式得，进而证明，再构造函数，利用单调性证明，即. 【小问1详解】 不等式，即且， 设，则， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增, 所以，因此在上单调递增， 因为，所以当时，有， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知，， 两式相加得，两式相减得，即 所以， 化简得，由基本不等式得，， 所以，当且仅当时等号成立， 不妨令，设，则， 以下证明， 设，则， 所以在上单调递增，则， 所以，，即， 所以，即， 设，则当时，，所以在上单调递增， 因为， 根据函数的单调性，有，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三年级上学期第一次调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（ ） A. B. 11 C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ） A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵 8. 已知函数在R上单调递增，则ab的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最小值是4 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 11. 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ） A. 函数的极大值为 B. a的取值范围是 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则在区间上的最大值为__________. 13. 已知数列满足： ，数列是递增数列，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数的定义域为，且图象关于对称，为奇函数.若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，. （1）当，时，试用，表示和； （2）若点为线段的中点，求的最小值. 16. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点中心对称； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足，求的值. 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． （3）若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 19. 已知函数，. （1）解不等式：； （2）当时，求证：. （3）若函数的图象与函数有两个交点，，试比较与的大小取为，取为，取为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $