江苏省南通市如东高级中学、沭阳如东中学2026-2027学年高三上学期10月阶段测试数学试题

高三数学上学期10月份阶段测试 参考答案（一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D B C A B D C C BC ABC ACD ； 15．（1）把正弦曲线向左平移个单位长度得到的函数图象， 再把曲线上各点的横坐标变为原来的得到的函数图象， 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的函数图象， 故的解析式为． （2）当时，， 故当，即时，取得最小值为． （3）由，得， ， 16．【详解】（1）若选条件①，， ，又，，又，． 若选条件②，由，， ， ，，又，． 由的面积为，，在中，由余弦定理， ，，，又， ． （2）由． 由题知，，从而 由题知在上与有3个交点， 又在的大致图象如图， 由图可知，，而， ． 高三数学上学期10月份阶段测试 参考答案（二） 17．（1）为正三角形，证明：如图，设，连接，． 因为，，为的中点，所以四边形，均为菱形，所以，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为， 所以平面，所以平面． 又平面，所以．又易知为的中点，所以． 因为平面，平面，所以， 所以，所以为正三角形． （2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，所以，所以． 因为，均为正三角形，所以，所以，所以． 又，，所以平面．又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 令，则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则得 令，则，，所以平面的一个法向量． 由平面，得是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（1）由，得，根据定义得到， 解不等式，解得或，所以或． （2）由，得， 而等价于对任意，都有，即是二次函数的最小值点， 而二次函数对称轴为，因此，解得． 验证：当时，，， 可得恒成立，符合题意，故． （3）由题意得对任意，都有． 可转化为若，则必有， 得到该条件等价于函数在上单调递增， 令，则， 可得对恒成立． 若：当时，，不满足恒成立要求， 若：对任意恒成立，符合题意． 若，令，则． 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 可得． 要求恒成立，即，得到， 化简得，因为，所以，解得． 综上，实数的取值范围是． 19．（1）由，且曲线在点处的切线斜率为，所以 又，故． （2）由题意，对任意，都有，所以； 当时，由可知，条件恒成立． 当时，需要． 先考察，令，则． 当时，；当时，．因此， 其余满足的区间均有，从而， 故所有满足的中，的最小值为．结合，得． （3）（i）当时，． 令，则．当时，，故；且， 因此在上严格递增，并且．又，故． 正切函数在上严格递增，而在上严格递增，所以在上单调递增； （ii）因为，，所以． 由基本不等式，． 又由和差化积公式，， 因为，，所以． 因此． 又因为，且， 所以．故结论成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期10月份阶段测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置． 3．选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0. 5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则的子集个数为 A．8 B．6 C．4 D．2 2．若，则实数= A．1 B．2 C．3 D．4 3．设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知，且，则的值为 A． B． C． D． 6．已知，，则的最小值是 A． B． C．4 D．8 7．设，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是 A．“”的充要条件是“” B．关于的不等式的解集为，，若，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则” D．若，则函数的最小值为2 10．如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是 A． B．对任意，均有 C．两人自出发后第次相遇的时刻为 D．记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 11．已知函数，，记，的图象分别为曲线，，则 A．过原点作曲线的切线，则切线方程为 B．当时，，分别为曲线，上的动点，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．当时，曲线，无公切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．__________． 13．若，，则的取值范围为__________． 14．已知函数，（），若直线是曲线的切线，则__________；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．把正弦曲线（函数的图象）向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值； （3）若，，求的值． 16．在中，角，，的对边分别为，，，，的面积为，再从条件①；②这两个条件中选择一个作为已知： （1）求的内切圆半径； （2）设，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，若在上恰有3个不同的零点，，，求的范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）试判断是否为正三角形，并给出证明； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 19．已知函数，记曲线在点处的切线倾斜角为． （1）求； （2）当时，若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时：（i）证明：在上单调递增； （ii）若，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $