江苏省常州高级中学、镇江第一中学、南京市第二十九中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试题

2026年10月数学学科调研测试试卷2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.己知集合A={x0<x<2},B={xlog2x≥0}，则A∩B= A.(0,1] B.(0,1) C.(0,2) D.[L,2) 2.己知4，b是不共线的向量，且AB=M+b,BC=a+3b,CD=2a,则 A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 3.已知正实数x,y满足3.27P=9w,则3x+y的最小值是 A.6 B.8 C.12 D.16 4.已知0为锐角，a=(3,4),b=(cos28,sin28),若a1/b,则tan0= A.-2 R号 c. D.2 5.在直三棱柱ABC-ABC1中，已知AB=1,BC=2,CA=√3，A4=2,则该直三棱 柱的外接球的表面积为 A.8π B.9元 C.12π D.16π t+a, 6.若函数f(x)= 2 是R上的单调函数，则实数a的取值集合为 2+l0g2x,x> 2 117 117 A.28J B.28] D.3+o 7.己知函数f(x)为奇函数，且∫(x+1)为偶函数，当0≤x≤1时，有f(x)=3”-1,则 81 B.3 c.-1 D.1 &.已知函数f)=ke-】x2,其中k∈R,e为自然对数的底数.若将曲线y=f()绕原 点O逆时针旋转汇后，得到的曲线仍是某函数的图象，则k的取值范围为 A B.1,+0) C.[2,+o) D.[3,+m) 高三数学第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.已知单位向量a,b满足a-b=√3，则 A.a B.( C.a+b=1 D.a⊥(a+2b) 10.己知函数f(x)=(x-c)(x-1)的极大值为4，则下列说法正确的是 A.c=4 B.函数f(x)有3个零点 C.若2<x<4,则f(x)>f(x) D.过点L,O)有且仅有2条直线与函数f(x)的图象相切 11.已知△4BC三个内角满足sin Asin BsinC=sim'4+2sn'B+sin2C,则下列结论 1 4 6 21 正确的是 A.C B.cosB-10 10 C.BC2 D.若△ABC的面积为3，则AB=√6 AC 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知品是商数)=2nQr写》 的两个极值点，且心一的最 当f(x)的图象向左移动m(m>0)个单位后为一个偶函数的图象，则实数m的最小值为 ▲ 13.设/()，8（田分别为定义在R上奇函数和偶函数，若f)+g(的=2，则曲线y=f国 8(x) 与曲线y=sinx在区间[-6元，6π]上的公共点个数为▲_， 14.在棱长为3的正四面体P-ABC中，M是棱PB上一点，且PM=2MB,过点M作平 面x使得PC/1a,且平面分别交AP,BC,AC于点N,G,H.若MN=√21NH, 则四边形MNHG的面积为▲_· 高三数学第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分) 己知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,，且满足2 acosB=c-a. (1)求证：B=2A: 3 (2)若b=三a,c=a+1,求△ABC的面积. 2 16.（本题满分15分) 已知函数f(w)=(ex-2tan(e*-tan8),其中x∈R,8k元，e为自然对数的底数. 2 (1)当日=工时，求f(:)在区间[0,3血2]上的最值及取最值时x的值： 4 (2)若()的最小值为- 0 17.（本题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，平面ACCA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=2,AC=1, AC1BC,四棱锥4-CCAB的体积为；，点P在线段4C(不含端点)上运动. (1)求证：AC⊥平面ABC: (2)若平面4P8,与平面CCB,B的夹角的余弦值为VD，求CP的长. 6 C A B 高三数学第3页，共4页 18.（本题满分17分) 已知函数f=x2-ar+a-Dlnx,a∈R. (1)若a=0,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)令g(x)=f()+ax,若g(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 19.（本题满分17分) 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中neN),则称l为曲线C的“T,-切 线” (1)若曲线y=f()在点(1，-2)处的切线为T-切线，另一个公共点的坐标为(3,3)， 求'(1)的值： (2)求曲线y=3x2-x3所有T-切线的方程： (3)设f()=x+sinx,是否存在t∈0， 2 使得曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切 线为T3-切线？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由 高三数学第4页，共4页2026年10月数学学科调研测试答案及评分标准2026.10 一、选择题： 1.D 2.B 3.B4.C5.A 6.A7.C8.B 二、选择题： 9.BCD 10.ACD 11.ABC 三、填空题： 12贺 13.11 14. 四、解答题： 15.解：(1)由2 acosB=-c-a及a sin=sinC 2sincosB-sinc-sind, 因为C=兀-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB, 即2 sinAcosB=sin AcosB+cosAsinB-sinA,整理得cosAsin B-sin AcosB=sinA, 即sin(B-A)=sinA. …4分 因此，B-A=A+2m或B-A+A=2m+π，其中k∈Z, 即B=2A+2m或B=2m+π，其中k∈Z. 因为B=2m+π不符合条件，所以B=2A+2饥. 因为A,B∈(0，π)，所以k=0,故B=2A. …6分 (2)由正弦定理得bsnB 又B=2A, b sin 24 2sinAcos4 2cosA, a sinA a sinA sin A 又6、3 则2cosA专：解得cos4=} ……8分 所以sinA=V1-cos2A= 9_7 164 所以c0sB=c0s2A=2c0s2A-1=2× 1s1 9 16 因为2 acosB=c-a,所以2a。=c-a,得c=50 1 8 4 因为c=a+1,所以50=a+1,得a=4,于是b=6,c=5.…1分 4 所以△ABC的面积s=bcnA=x65x5_15V万. …13分 44 16.解，④)当9-牙时，f)-e-2Xe-),=e3-} 因为x∈[0,3ln2]时，有e∈1,8]， …1分 高三数学答案第1页，共6页 所以当印x=时.取最小道- …4分 当e*=8即x=3ln2时，f(x)取最大值42； …7分 (2)f()=(c*-2tan0)(c-ta)=(e*-3ta0):_a20. 2 4 当9e(←号小时，m0≤0，又e>0,则e-2tm0>0,e-tm0>0, 敬0，与)的装小值为子不后， …10分 当9e(0受时，tm0>0,从而当e-am0,即x=(n时，f树取最小值tan0. 又因为四的授小值为子所以-字0=子即am0-3, 4 而8为锐角，tane=√5，则日= 3 …15分 17.(1)在三棱柱ABC-AB,C1中，B,C/1BC,又AC⊥B,C1,所以AC⊥BC, …1分 因为平面ACCA⊥平面ABC,平面A,CCA∩平面ABC=AC,AC⊥AB, 且ABc平面ABC,则AB⊥平面ACCA, …4分 又ACC平面A,CCA,则AB⊥AC, 又AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC,AC⊥平面ABC.…5分 (2)由(1)可知AC⊥平面ABC,AC,BCc平面ABC, 所以AC⊥AC且AC⊥BC,又由题设AC⊥AB,因此，CA,AB,CA两两垂直， 以C为原点，分别以CA,CA的方向为x,二轴的正方向， 以过C点且平行于AB的直线为y轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知AB=2AC=2,则AC=1,AB=2,所以C(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0), 设A的坐标为(0,0，h)(h>0), 由于c46=aeh=(G4CA0h=(（G12h=h, 高三数学答案第2页，共6页 ←eh1hg所以，=4nh自0- 333’ 解得h=2, …8分 所以A(0,0,2),则CC=A4=(-1,0,2), 所以C(-1,0,2),BB=A4=(-1,0,2),B,(0,2,2), 设CP=CA,其中0<1<1，CA=(0,0,2),所以P(0,0,22), 设平面CCB,B的法向量为=(x,y,=)，CB=(1,2,0),C℃=(-1,0,2)， 2.CB=x+2y=0 CC-x+2E-0'令x=2,则y=-1=1,所以-(2-1山. 则 ……10分 设平面APB,的法向量2，=(a,b,c）,AP=（-1,0,22),AB,=(-1,2,2), 测经P-a+2=0 h·AB,=-a+2b+2c=0' 令c=1,则a=2,b=1-1, 所以n2=(21,1-1,1), …12分 设平面APB,与平面CCB,B夹角为0，则0为锐角， 42-(2-1)+1 31+2 √30 则cos8 V22+(-1)2+12V2+(2-12+12V6V522-21+2 6 世为0cA1.新以32+2>0，所以5225,4分 化简得(81-3(1-1)=0，又0<2<1，解得2=，此时Cp=3×2= 3 3 .…15分 8 8 4 18.1)当a=0时，画数j-方-n,定义域为0，+0)，且/田=r-女 1 令"(x)=0,x=1,列三行表如下： (0,1) (1,+∞) f'(x) 0 f() 极大值 当x=1时，取极人雅了0⑩=分无极小值。 3分 (2)f9=t-a+a-1_t-ax+a-l_c-1c-a+) x 高三数学答案第3页，共6页 ①当a≤1时，则x-a+1>0,令f"'(x)<0得0<x<1,令f'(x)>0得x>1, 故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， ②当1<a<2时，令f"(x)<0得a-1<x<1,令f'(x)>0得0<x<a-1或x>1, 故f(x)在(0，a-1),(1,+o)上单调递增，(a-1,1)上单调递减 ③当a=2时，/')=c-1少≥0（仅x=1处取等），故f(田在(0，+0上单调递增. ④当a>2时，令f"(x)<0得1<x<a-1,令f'(x)>0得0<x<1或x>a-1, 故f(x)在(0,1)，(a-1,+o)上单调递增，(1，a-1)上单调递减 综上所述，当a≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在Q,+∞)上单调递增： 当1<a<2时，f(x)在(0，a-1),(1,+o)上单调递增，(a-1,1)上单调递减： 当a=2时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>2时，f(x)在(0,1)，(a-1,+o)上单调递增，1，a-1)上单调递减. …11分 (3)g=)r2+a-0hx(x>0,则g时=x+a-l_r+a-1 ①当a≥1时，g'(x)>0,g()在(0，+∞)单调递增，且无最小值： 1 当a>1时，取=ea-<1' 则g)=方式-a-h分+a-0h飞=方+a-1咖高=方0，矛所 2 当a1时8)号0恒成立，符合条件 ……13分 ②当a<1时，令g'(x)<0得0<x<√1-a,令g'(x)>0得x>V1-a,则g(x)在(0，V1-a) 上递减，在(ao网上递缩，故最小值为g-a=2-0)-小 令g(1-a≥0得n1-a)≤1，解得a≥1-e,又因为a<1,所以1-e≤a<1 …16分 综上所述，a的取值范围是L-e,1]. …17分 19.解：(1)曲线y=f()在点(1，-2)处的切线为T-切线，另一个公共点的坐标为(3,4) 所以可戏斜率为：巴-；所以0- …3分 3-12 (2)因为y=3x2-x,所以y=6x-3x2. 高三数学答案第4页，共6页 设切点为(x,3x-x),则切线的斜率为6x-3x, 所以切线方程为y-(3x-x)=(6x-3xx-x),即y=(6x-3x)x+2x号-3x行. 设h(x)=3x2-x-[(6-3x)x+2x8-3x6]=-(x-x)'(x+2x-3), 因为切线为T-切线，所以h(x)有且仅有1个零点，所以 x+2,-3=0,解得6=1， x=X0, 所以曲线y=3x2-x所有T-切线仅有一条，切线方程为y=3x-1.…8分 (3)存在，理由如下：因为f(x)=x+six,所以f(x)=1+cosx,f(0=t+sit 所以曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为y-(t+sint)=(I+cost)(x-t), y=(1+cosf)x+sint-fcost. g(x)=x+sinx-(1+cosf)x-sint+fcost=sinx-xcost-sint+fcost, 所以g(x)=Cosx-cost, 因为1(0引，所以eos1eQ,. 当keZ,x∈(2km-t,2m+)时，g(x)=cosx-cost>0,g(x)单调递增： 当x∈(2m+t,2kπ+2π-t)时，g'(x)=cosx-cost<0,g(x)单调递减. …11分 所以8(x)的所有极大值为g(2阢+t)=-2 at cos t, 当k=0时，极大值为0，即g()=0. 当k为正整数时，极大值均小于0，所以g(x)在(，+∞)无零点 当k为负整数时，极大值均大于0，g(x)的所有极小值为 g(2kn-t)=(2t-2kn)cost-2sint, 当k=0时，极小值g(-t)=2 I cos t--2sint=2(t-tant)cost<0,且随着k的增大，极小 值(2t-2m)cost-2sint越来越小， 因此雷线y=)在点(Gf④)01<到处的切线为？-切线，等价于g)有三个零点， 高三数学答案第5页，共6页 等价于(2t+2元)c0st-2sint=0,即tant-l=π有解.…l4分 令()=tant- 则m(0=_1 -1=tam2t>0, cos2t 所以)在(0，单调递增，又m0)=0<元， 胜意到ytam0<r< 的值域为(0，+0），所以存在x∈(0，，使得amx=2元， 则m(x)=tanx-x=2π-x>2m- )>元，又()图象不间断 所以存在唯一实数tE(0,5)c0,》 满足tant-t=π， 所以存在唯一实数10， 使得曲线y=f(x)在点(t,f()处的切线为T-切线 …17分 高三数学答案第6页，共6页