精品解析：辽宁朝阳市第六中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情 自测试卷

2026-2027学年度第一学期第一次学业质量监测 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. 3.1415 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是分数，属于有理数，不合题意； B. 是有限小数，属于有理数，不合题意； C. 是整数，属于有理数，不合题意； D. 是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】计算每个选项中较小的两个数的平方和与最大数的平方，若二者相等，则三个数能构成直角三角形． 【详解】解：A中，不满足勾股定理，故不符合要求； B中，满足勾股定理，故符合要求； C中，不满足勾股定理，故不符合要求； D中，不满足勾股定理，故不符合要求； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于正确的计算．常见的直角三角形的三边数为①3,4,5②6,8,10③5,12,13． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行判断即可．满足下列两个条件是最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义和性质，利用平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（ ）． A. 4 B. 2 C. 22 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的面积公式，可得三角形边长的平方为正方形面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由于，，则． 6. 如图，被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．根据图中阴影部分可知，这个无理数在2到3之间，结合选项进行计算即可． 【详解】解∶根据数轴知∶ 被阴影覆盖的数在2到3之间， ∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项B符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项D符合题意； 故选∶B． 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 8. 如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 9. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 10. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 12. 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 13. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数和为零的条件，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 本题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负数和为零的条件得出的值，再代入计算乘积即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 14. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____. 【答案】4 【解析】 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】∵勾，弦， ∴股b=， ∴小正方形的边长＝， ∴小正方形的面积 故答案为4 【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 15. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点E，连接； （2）以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F； （3）以为边画正方形，点H在边上． 在画出的图中有一条线段的长是，这条线段是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的特点和勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，从而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， ∴线段的长度是． 16. 在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． 【答案】或10或5． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ①当点在上时，如上图点， ，， ； ②当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，需结合平方根与立方根的定义求解是解决本题的关键． （1）等号两边同时开方求解即可； （2）先两边同时除以，再根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， 则有， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理可得，， 则有， 解得． 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义列方程即可求出a，b，的值，根据算术平方根的估算即可求出c的值； （2）根据（1）中的结果得到的值，根据平方根的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴ 即 解得， ∵， ∴， ∵的整数部分为c． ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，，， ∴， ∴的平方根为． 20. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． （1）当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 【答案】（1）2 （2） 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ∵， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解析】 【分析】（1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【小问1详解】 解：当米时： ==2； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 21. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 22. 阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ； ∴原式 ． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 24. 已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； （2）如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： （3）动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 【答案】（1）①；；；② （2） 解：成立；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出；证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形性质得出；②根据勾股定理得出答案即可； （2）证明，得出，，根据勾股定理得出，，即可得出答案； （3）当在右边时，根据题意得出点Q的运动轨迹为线段所在的直线，作点A关于直线的对称点F，连接交于点，此时取得最小值，过点C作，结合图形利用轴对称图形的性质和勾股定理求解即可．当在左边时，当点与点重合时，的值最小，即为线段的长． 【小问1详解】 解：①，， ，， ， ； ，， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； 故答案为：；；； ②根据解析①可得：，， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当在右边时， 由（1）（2）得：， ， 点Q的运动轨迹为线段所在的直线， 作点A关于直线的对称点F，连接交于点，过点C作，如图所示： 则，，此时，取得最小值， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， 的最小值为． 当在左边时，当点与点重合时，的值最小，即为线段的长， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． ∵， 的最小值为． 综上所述：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次学业质量监测 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. 3.1415 C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，， D. ，， 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（ ）． A. 4 B. 2 C. 22 D. 不能确定 6. 如图，被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 9. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 10. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为__________． 12. 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为______． 13. 如果，那么的值为______． 14. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____. 15. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点E，连接； （2）以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F； （3）以为边画正方形，点H在边上． 在画出的图中有一条线段的长是，这条线段是______； 16. 在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程： （1）； （2） 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）求的平方根． 20. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． （1）当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 21. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 22. 阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： （1）计算：； （2）计算：． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 24. 已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． （1）如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； （2）如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： （3）动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $