专题02 利用空间向量解决位置关系、距离、夹角问题（期中复习讲义·培优版）高二数学上学期人教A版

专题02 利用空间向量解决位置关系、距离、夹角问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用空间向量（坐标）解决线面位置关系 题型二 用空间向量（坐标）解决异面直线所成角 题型三 线面角及其探索性问题 题型四 二面角及其探索性问题 题型五 空间中的距离问题 题型六 夹角、距离中的最值、范围问题 题型七 折叠问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 用空间向量研究直线、平面的位置关系 理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 用空间向量研究距离问题 1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现公式记忆混淆的问题 用空间向量研究夹角问题 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 重难必考点，常出现在大题第（2）问，探索性问题是难点 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03 有理数的概念空间中直线、平面的平行和垂直 1、设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2、设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点04 点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点05 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 题型一 用空间向量（坐标）解决线面位置关系 技｜巧｜点｜拨 1、平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 2、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 3、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 4、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 5用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 6、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 2．如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 3．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 4．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 5．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 题型二 用空间向量（坐标）解决异面直线所成角 技｜巧｜点｜拨 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 5．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值． 题型三 线面角及其探索性问题 技｜巧｜点｜拨 求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 1．如图，在直三棱柱中，分别是与的中点.    (1)求证:平面; (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 2．如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 4．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 5．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 6．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型四 二面角及其探索性问题 技｜巧｜点｜拨 平面α，β的法向量分别为，cos＝ 注：二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决 1．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 3．如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 4．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，为的中点. (1)求证：底面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 5．（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 6．如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 题型五 空间中的距离问题 技｜巧｜点｜拨 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 2、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 3、求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可. 4、求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 1．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 2．如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求的值. 5．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 题型六 夹角、距离中的最值、范围问题 1．如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 2．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 3．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 4．在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 5．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.    (1)证明：平面的充要条件是； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 6．如图，在圆柱中，是底面圆的直径，和是两条母线，是底面圆上异于，的一动点，是线段的一点，直线平面． (1)求证：为的中点； (2)若，，求二面角的最小值． 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设平面平面，若点在线段上运动，且，当直线与平面所成角取最大值时，求的值． 题型七 折叠问题 技｜巧｜点｜拨 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明. 1．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（25-26高二上·北京·期中）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使得.设为的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 3．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期中）如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）.    (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 5．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 6．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 7．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 9．如图，在直角三角形ABC中，直角边，，M为AB的中点，Q为BC的中点，将三角形AMC沿着MC折起，使（为A翻折后所在的点），连接MQ． (1)求证：； (2)求直线MB与平面所成角的正弦值． 10．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 4．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.    (1)证明：平面； (2)求动点到线段的距离的取值范围. 5．如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 2．如图①，在矩形中，为边的中点.将沿翻折至，连接，得到四棱锥（如图②），为棱的中点. (1)求证：面，并求的长； (2)若，棱上存在动点（除端点外），求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 3．（25-26高二下·重庆·期末）如图，是边长为4的等边三角形，、分别为、的中点，现将沿翻折，使点在点处，得到四棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的正弦值． 4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用空间向量解决位置关系、距离、夹角问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 用空间向量（坐标）解决线面位置关系 题型二 用空间向量（坐标）解决异面直线所成角 题型三 线面角及其探索性问题 题型四 二面角及其探索性问题 题型五 空间中的距离问题 题型六 夹角、距离中的最值、范围问题 题型七 折叠问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 用空间向量研究直线、平面的位置关系 理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 用空间向量研究距离问题 1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现公式记忆混淆的问题 用空间向量研究夹角问题 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 重难必考点，常出现在大题第（2）问，探索性问题是难点 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03 有理数的概念空间中直线、平面的平行和垂直 1、设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2、设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点04 点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点05 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 题型一 用空间向量（坐标）解决线面位置关系 技｜巧｜点｜拨 1、平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 2、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 3、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 4、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 5用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 6、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 2．如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【答案】 证明：因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量，则 ，即， 不妨设，可得 ， 又， 所以，即， 因为平面， 所以平面 ， 3．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1). (2)由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 4．（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. (2)由（1）易得， 因，故. 5．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【答案】证明：过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F， 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ），D（00），B1（0）， 所以，（1），（1）， 因为，， 所以A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1， 又A1B∩A1C1＝A1，A1B、A1C1⊂平面BA1C1， 所以DB1⊥平面BA1C1． 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 题型二 用空间向量（坐标）解决异面直线所成角 技｜巧｜点｜拨 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 4．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 5．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 . 因为正方体棱长为 2， 所以 ， 因为为 的中点，所以， 因为 为 的中点，所以， 因为 在棱 上，且 ，所以 ，故 ， 因为 为 的中点， ，所以 ， ， 所以 ， 即 的长为 ； （2）， 所以 ， ， 设 与 所成角为 ， 则 ， 故 与 所成角的余弦值为 . 题型三 线面角及其探索性问题 技｜巧｜点｜拨 求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 1．如图，在直三棱柱中，分别是与的中点.    (1)求证:平面; (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)取中点，连接， 在中，因为分别是与的中点，所以，且， 又因为在直三棱柱中，为的中点， 所以 ，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. (2)解：因为平面，且，所以平面， 又因为为等腰直角三角形，则两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，所以直线与平面所成的角的余弦值为.    2．如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 (2)根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 3．如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1) ，，． 由余弦定理得 ， 所以，故， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； (2)做交于点，所以四边形是长方形， 因为，，所以， 因为，所以， 由（1）知，互相垂直，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 解得，所以， 所以线段的长为． 4．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2)取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 5．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：如图： 取中点，连接，， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. (2)设中点为，连接，则. 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面. 又底面，所以，， 又，所以两两垂直. 故可以为原点，所在的射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 又，所以，. 所以， 由. 所以，，， 设（）. 则，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 由， 所以或（因为，故舍去）. 此时与点重合. 所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 6．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 题型四 二面角及其探索性问题 技｜巧｜点｜拨 平面α，β的法向量分别为，cos＝ 注：二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决 1．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形，所以． 因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，所以，且平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以平面⊥平面． (2)因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴， 又平面．过点作的平行线为轴，如图： 因为，，，所以， 在梯形中，取的中点，连接， 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以四边形为矩形，则， 所以， 所以点， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以． 所以， 由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为． 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2)取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 3．如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 因为，是的中点，所以， 在直角中，，，所以， 在中，，，所以，得， 又平面，平面，所以， 又，，所以平面， 由平面得， 又，所以平面， 由平面得，平面平面． (2)存在点满足条件， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 由已知得，解得，即， 所以存在点使平面与平面的夹角为，此时． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，为的中点. (1)求证：底面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 证明：为等边三角形，且为中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面； （2），，， 四边形为矩形， ， 如图，建立以AQ，QB，QP所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 取， 设直线与平面所成角为， ， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在点满足题意， 设，， ， 设平面的一个法向量为， 则 取， ， 或（舍）， 故当时，在棱上存在点使得二面角的余弦值为. 5．（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，易知M不与P,C重合，则， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 6．如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 (2)取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 题型五 空间中的距离问题 技｜巧｜点｜拨 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 2、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 3、求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可. 4、求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 1．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 2．如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2)由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) 因为为正方形，所以 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，且平面， 所以； (2)如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，点到平面的距离为， 所以，解得：. 5．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. (2)（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. 题型六 夹角、距离中的最值、范围问题 1．如图，在直三棱柱中，，． (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】(1)证明：以为基底建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 当时，， 所以， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. (2)， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨取. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以. 又因为，易知在上单调递减， 所以. 2．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以.    （2）由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 3．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 【答案】(1)证明：取中点，连接、， 由分别为的中点，底面是正方形， 故、，则，故、、、四点共面， 因为平面，，平面， 故直线与直线为异面直线； (2)由是正三角形，且为中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、 、、， 由分别为的中点，故、， 则、、、， 设，，则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则、，即， 有， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为，即直线与平面所成角的最大值为. 4．在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面； (2)点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 法一：在直三棱柱中，平面 又平面，有，又，， ，平面，有平面， 又平面，则有， 在正方形中，，又，，平面， 则有平面. 法二：以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则，，，，，， 进一步有：，，， 故，， 所以，，即，， 又，，平面，则有平面. (2)设，则， ， 设平面的法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 当时，. 5．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.    (1)证明：平面的充要条件是； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明“必要性”：当平面，有： 由平面，平面， ，由题意，故为的中点，在上， 又平面，平面，， 又为的中点，故三角形为等腰三角形，则.    证明“充分性”：当，有平面： 取中点，连接，由，得， 又平面平面且交线为，平面， 由面面垂直的性质得平面， 由题意点即为点，为中点，得， 同理由，为中点，得， 又平面，则平面. (2)，以为原点，为轴，为轴， 过作轴平面，如图建系， 由三角形不是钝角三角形且面积为，得到平面的距离为， 由题知点在平面上的射影为在线段上． 设，，，， 设平面的法向量为， 由，得，取， 由（1）知当为中点时，有平面， ，即， 故可得平面的一个法向量为， ， 又，， 所以 所以二面角的正弦值的取值范围为.      6．如图，在圆柱中，是底面圆的直径，和是两条母线，是底面圆上异于，的一动点，是线段的一点，直线平面． (1)求证：为的中点； (2)若，，求二面角的最小值． 【答案】(1)连接，设，连接，则是、的中点， 直线平面，平面，平面平面， ．   在中是的中点， 是线段中点．   (2)设为圆柱的一条母线，由题意可知两两垂直， 以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． ，设，，则，，其中，，， 设平面的一个法向量为, 则，故可取． 平面的一个法向量为．   由图可知二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， ，当且仅当时取等号， 所以,则，故有， 又，则,所以的最小值为， 即二面角的最小值为. 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设平面平面，若点在线段上运动，且，当直线与平面所成角取最大值时，求的值． 【答案】(1) 因为底面是菱形，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， ， 设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为． （3）由（1）知，平面，且平面平面， 可得，故直线的方向向量可取为 点在线段上运动，， 而当时，点在点处，此时在平面内，所成角为0，不可能为最大值， 所以， ， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 取，则， 所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为． 题型七 折叠问题 技｜巧｜点｜拨 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明. 1．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明如下： 取的中点，连接，并过点作的平行线，交于点， 则． 因为为等边三角形，所以． 因为平面底面，且平面底面， 所以底面． 以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系． 因为，则，，，， 所以，， 所以， 所以． (2)由（1）得，， 设平面的法向量为， 则即 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2．（25-26高二上·北京·期中）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使得.设为的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1) 折叠前，在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 又因为，则四边形为矩形， 即，， 折叠后仍有，， ，、平面，平面， 平面，. （2），，故为等边三角形， 为的中点，所以， 因为，，、平面，平面， 设中点为，连接，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    （3）因为，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 而为平面的一个法向量， ∴， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 3．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，取的中点N，连接，， 因为且， 所以四边形为菱形，故， 又因为，所以四边形为平行四边形， 故有，所以， 因为，、平面，，故平面， 因为平面，所以． (2)证明：如图，连接交于点O，连接． 因为，且， 所以，所以O为的三等分点， 又因为，所以M为的三等分点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (3)由题意知，，， 因为，平面，与相交，所以平面． 以菱形的对角线交点为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，由于， 则，，，，， 由知． 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则，， 即， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)由题意可知，，，所以，，， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，面， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. (2)因为，，所以为等边三角形， 又因为，所以，. 如图，取中点，连接，    又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，而，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以，所以，，，，， 设，因为，，三点共线， 所以，所以，， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得或（舍），所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期中）如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）.    (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 取中点，连接，，    由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； (2)因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立， 以为坐标原点，，分别为轴，轴正向， 垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， ，，，所以， 又因为，平面，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在. 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 又平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，满足题意， 即在棱上存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标，利用方程组求出平面的法向量，再由向量关系确定点坐标得到坐标，用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设，平面PBD的法向量为，则所以 令，则，所以是平面的一个法向量. 又，所以，解得， 即，则， 所以点到平面PBD的距离为. 3．已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设下底面的中心为，上底面的中心为， 以为原点，以为轴，为轴，过作，建立空间直角坐标系， 由正三棱台的高为， 所以，，所以， ， 同理， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的大小为. 4．（25-26高二上·江西宜春·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用可以求得答案. 【详解】 因为为的中点，所以．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，. 因为为线段的一点，且，所以．所以，． 设直线与直线所成的角为，则. 故答案为： 5．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 6．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量是，结合得到和共线，所以平面，从而得到面面垂直. 【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，， 所以⊥， 如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以， 平面的一个法向量是， 所以和共线，所以平面， 又因为平面，故平面平面． 7．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明如下： 正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． (2)证明如下： 由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 【答案】(1) 由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. (2)取的中点，由为正三角形，得， 过作与交于点，则，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此，， 所以点到直线的距离为.    9．如图，在直角三角形ABC中，直角边，，M为AB的中点，Q为BC的中点，将三角形AMC沿着MC折起，使（为A翻折后所在的点），连接MQ． (1)求证：； (2)求直线MB与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 取的中点为N，连接，， 因为， 所以，， 所以， 所以， 又N，Q分别为，BC的中点， 所以，， 所以． 又为等腰三角形，， 所以， 又，，，平面MNQ， 所以平面MNQ， 又平面MNQ， 所以． (2)为，，，平面，平面， 所以平面， 以点Q为坐标原点，取QB所在直线为x轴，QM所在直线为y轴， 过点Q作平面MCB的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为， 所以得取，则，，， 又， 设直线MB与平面所成角为， 则， 所以直线MB与平面所成角的正弦值为 10．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明：因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求异面直线所成的角. 【详解】在矩形中，因为是的中点，与相交于点， 所以，所以，所以. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系.    因为，所以. 因为是的中点，是的中点，所以. 因为，所以，所以. 设与所成的角为，则. 因为，所以. 因为，所以. 故选:C. 2．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法求线面角的正弦值，进而可得正切值 【详解】分别作直角和直角的高线和， 因为矩形中，，所以. 再由等面积法：，得. 由勾股定理得，所以. 如图，以为原点，平面为平面，方向为轴正方向建立空间直角坐标系, 因为轴，所以平面，所以就是二面角的平面角，所以. 所以，，平面的法向量取， 设与平面所成的角为（）， 则， 因为，所以. 因此与平面所成角的正切值为. 3．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． (2)因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 4．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.    (1)证明：平面； (2)求动点到线段的距离的取值范围. 【答案】(1) 因为折叠前为中点，，所以，折叠后， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，； 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则为中点， 所以，设平面的法向量为， 又，所以， 令，则，所以，所以，所以， 所以平面.    (2)设，动点在线段上， 所以，即，即， 所以， 设点到线段的距离为，则，， ，令， 则，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点到线段的距离的取值范围为. 5．如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明：因为 底面， 底面，所以， 又，是中点，故， 由于，平面，因此平面 ， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面 ， 又因为平面 ，所以平面平面； (2) 以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则，，，，， 即，，设， 则， 因为，所以， 即， 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 设平面 的法向量， 则，令，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 令，则， 设， 当时，即，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 2．如图①，在矩形中，为边的中点.将沿翻折至，连接，得到四棱锥（如图②），为棱的中点. (1)求证：面，并求的长； (2)若，棱上存在动点（除端点外），求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) 取的中点，连接，如下图， 因为分别为的中点， 所以且. 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面， 所以平面. 在中，，所以. AI (2)取的中点，连接，易得. 在中，，且， 则，即. 因为面， 所以面. 取的中点，连接，则， 以为原点，方向分别为轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系， ， 设， 则有， 所以. 因为， 设平面的一个法向量， 则取，可得. 设与平面所成角为， 则. 设，所以， 因为，因为，所以， 所以，所以. 即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 3．（25-26高二下·重庆·期末）如图，是边长为4的等边三角形，、分别为、的中点，现将沿翻折，使点在点处，得到四棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)已知是边长为4的等边三角形， 而、分别为、的中点，所以， 且，， 而是等边三角形，翻折后也是等边三角形， 取的中点，连接，则，且， 在四边形中，，， 由余弦定理得， ，已知， 在中，,所以， 又平面，故平面， 又平面，所以平面平面. (2)由题意得梯形的面积， 由体积得，解得， 以为原点，为轴，为轴，垂直于底面向上为轴， 建立空间直角坐标系，如图，，，， ,因为是的中点， 所以，又，设 则，解得或， 即或 当时，， ,设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 而,， 则，即， 令，则，所以， 而 而，得到， 设平面与平面夹角为， 则 当时，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的法向量为, 而, 则， 令，则，所以， 得到， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为或. 4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面， 在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面． (2)①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面，， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故，直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即， 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立， 所以，即的最大值为. 此时， ，， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $