第1-2章期中复习讲义（23 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版·选择性必修一·期中知识清单（第一、二章） 课时同步练习 期中复习知识清单（第一至二章：23 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　期中知识清单　第一章 空间向量与立体几何　第二章 直线和圆的方程 共 40 题（变式 10 · 易错 8 · 作业 12）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：能用共线、共面向量定理与空间向量基本定理把向量写成基底组合；会用数量积算模长与夹角；会写空间点与向量坐标并做坐标运算。 2．第一章：会求平面法向量，能用方向向量与法向量判定平行、垂直；会用公式求异面直线所成角（余弦取绝对值）、线面角（正弦）、平面夹角（余弦取绝对值），会求点到直线、点到平面的距离。 3．第二章：会由倾斜角求斜率（含斜率不存在），会在点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式间互化，会用斜率或一般式系数判两直线平行、垂直（含参剔除重合）。 4．第二章：会用两点间、点到直线、平行线间距离公式；会写圆的标准方程与一般方程并判断二元二次方程是否表示圆；会用d与r比较判断直线与圆、圆与圆位置关系，求弦长、切线方程与切线长。 学习重难点 重点：向量工具的一条主线：基底→坐标→方向向量/法向量→角与距离公式；直线与圆的一条主线：斜率与方程形式→距离公式→圆心半径→d与r比较。 难点：三类空间角的三角函数与取值范围不同；直线方程各形式的适用条件（截距式不过原点、点斜式要求斜率存在）；方程表示圆的条件D²+E²−4F>0；过圆外一点的切线有两条。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　第一章·1.1 空间向量的线性运算：加减与数乘的几何意义 3 知识点 02　第一章·1.1 共线向量与共面向量：两个判定式 3 知识点 03　第一章·1.1 空间向量的数量积：定义、运算律与三个用途 4 知识点 04　第一章·1.2 空间向量基本定理：基底与唯一分解 4 知识点 05　第一章·1.3 空间直角坐标系：点与向量的坐标 4 知识点 06　第一章·1.3 空间向量运算的坐标表示 5 知识点 07　第一章·1.4 直线的方向向量与平面的法向量 5 知识点 08　第一章·1.4 用向量判定平行与垂直：六种位置关系对照 5 知识点 09　第一章·1.4 三类空间角的向量公式 6 知识点 10　第一章·1.4 点到平面的距离：投影长公式 6 知识点 11　第一章·1.4 点到直线的距离：勾股型公式 6 知识点 12　第二章·2.1 倾斜角与斜率 7 知识点 13　第二章·2.1 两直线平行与垂直的斜率判定 7 知识点 14　第二章·2.2 直线方程的五种形式及适用范围 7 知识点 15　第二章·2.2 一般式下的平行与垂直 8 知识点 16　第二章·2.3 两条直线的交点坐标 8 知识点 17　第二章·2.3 两点间距离与中点坐标 8 知识点 18　第二章·2.3 点到直线的距离与两平行线间的距离 9 知识点 19　第二章·2.4 圆的标准方程 9 知识点 20　第二章·2.4 圆的一般方程及其成立条件 9 知识点 21　第二章·2.5 直线与圆的位置关系：几何法与代数法 10 知识点 22　第二章·2.5 圆的切线与切线长 10 知识点 23　第二章·2.5 圆与圆的位置关系与公共弦 11 考点 1　基底拆分：把目标线段写成三条共点棱的组合再求长 11 考点 2　四点共面与三点共线的系数判定 12 考点 3　法向量速求与线面、面面位置的坐标判定 12 考点 4　三类空间角的公式选用：正弦还是余弦、何时取绝对值 13 考点 5　空间距离的两个公式：点到平面投影长与点到直线勾股型 14 考点 6　方向向量写直线：从向量条件到直线方程（跨章综合） 15 考点 7　点线距离两种算法对照：平面公式与空间向量公式（跨章综合） 15 考点 8　由几何条件定圆：待定系数选标准式还是一般式 16 考点 9　直线与圆、圆与圆：用 d 与 r 比较解决弦长、切线与相切求参 16 考点 10　数量积条件翻译成圆：向量语言与圆方程的互化（跨章综合） 17 易错专练 17 方法清单 18 方法 01　基底法：先选三条共点且已知长度夹角的向量作基底，目标向量沿棱路走一遍写组合 18 方法 02　坐标法建系：优先找两两垂直的三条棱，点坐标逐个写并用向量长度自检 18 方法 03　法向量：设 n=(x,y,z)，与平面内两个不共线向量数量积为 0，令一个分量为便于计算的非零数 18 方法 04　角：先判是哪类角再选正弦或余弦，最后看是否取绝对值 18 方法 05　距离：点面距用投影长，点线距用勾股型，平行线面距离转化为点面距 18 方法 06　斜率：先看倾斜角是否为直角，再用两点斜率公式 18 方法 07　设直线方程：已知点和斜率用点斜式，截距条件记得补过原点或竖直的情形 19 方法 08　平行垂直：一般式系数判定可避开斜率不存在的讨论，平行记得排除重合 19 方法 09　定圆：已知圆心半径相关条件用标准式，已知三点用一般式 19 方法 10　直线与圆：几何法算 d 与 r 比较，弦长用半弦、弦心距、半径构成的直角三角形 19 课后作业（一）基础过关 19 参考答案与解析 20 　知识梳理 知识点梳理　01　第一章·1.1 空间向量的线性运算：加减与数乘的几何意义 空间任意两个向量都可以通过平移转化到同一个平面内，因此空间向量的加法、减法与数乘运算的法则与平面向量完全一致：加法用三角形法则或平行四边形法则，减法看成加上相反向量，数乘 的模是 ，方向由 λ 的正负决定。以一点为公共起点、三个不共面的向量为棱作平行六面体时，其体对角线对应的向量就是这三个向量的和。 交换律＋=＋，结合律 ＋＋=＋＋ 数乘分配律 ＋=＋，(λ＋μ)=＋ 小提示：λ=0时 =（零向量）；求一串向量的加减时先把它们首尾相接再合并最省事。 知识点梳理　02　第一章·1.1 共线向量与共面向量：两个判定式 如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，这些向量叫共线向量（或平行向量）；由数乘的定义可知∥≠0) 的充要条件是存在实数 λ 使=。平行于同一个平面的向量叫共面向量：若 与不共线的两个向量, 共面，则存在唯一实数对x,y使=＋。把这一判定式用于空间四点，就得到空间点P在平面ABC内的充要条件。 ∥≠0)⇔存在λ使= 与,共面,不共线)⇔=＋ 判定对象 判定式 说明 两向量共线 =≠0) λ唯一确定 向量与不共线,共面 =+ x,y唯一确定 空间点P在平面ABC内 =++且x+y+z=1 对任意点O都成立 小提示：判断四点共面时先写成=＋＋ 的形式，再检验三个系数之和是否等于1，别只看系数是否为分数。 知识点梳理　03　第一章·1.1 空间向量的数量积：定义、运算律与三个用途 已知两个非零向量,，把 ⟨,⟩ 叫做, 的数量积，记作·；当=0或=0时约定·=0。数量积满足交换律与分配律·＋=·＋·，但不满足结合律。数量积最常见的三个用途是求模长（=·）、求两向量的夹角、判断两向量是否垂直（⊥⇔·=0）。 ·=⟨,⟩ cos⟨,⟩=·÷ 小提示：⟨,⟩∈[0,π]，求出的夹角别忘了这个取值范围；⊥⇔·=0只对两个非零向量成立，零向量与任何向量的数量积都为0。 知识点梳理　04　第一章·1.2 空间向量基本定理：基底与唯一分解 如果三个向量,, 不共面，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的有序实数组x,y,z，使得=＋＋；这组不共面的向量 ,, 叫做空间的一个基底，,, 都叫基向量。两两垂直的单位向量组成的基底叫单位正交基底，通常记作 ,,，此时 分解得到的 (x,y,z) 就是 在空间直角坐标系中的坐标。 =＋＋（x,y,z唯一确定） 基底存在的条件：,,不共面 小提示：判断一组向量能否作基底，只需看它们共不共面；系数解不唯一，往往说明这组向量本身不满足不共面条件。 知识点梳理　05　第一章·1.3 空间直角坐标系：点与向量的坐标 在空间中任取一点O，以O为原点、按右手系作三条两两垂直的数轴x轴、y轴、z轴，就建立了空间直角坐标系Oxyz；空间任意一点P都对应唯一的有序实数组 (x,y,z)，叫做点P的坐标。向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，即若A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则=(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁)。点关于坐标轴、坐标平面、原点作对称时，坐标按下表变号。 =(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁) 对称对象 变号规律 举例(a,b,c)→ 关于x轴对称 y,z变号，x不变 (a,−b,−c) 关于yOz平面对称 x变号，y,z不变 (−a,b,c) 关于原点对称 x,y,z都变号 (−a,−b,−c) 小提示：关于坐标轴对称时只有该轴对应的坐标不变，另外两个都变号；容易和关于坐标平面对称的规律弄反。 知识点梳理　06　第一章·1.3 空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系中，若=(x₁,y₁,z₁)，=(x₂,y₂,z₂)，则加减法和数乘运算都逐分量进行：±=(x₁±x₂,y₁±y₂,z₁±z₂)，=(λx₁,λy₁,λz₁)；数量积·=x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂，模长 =。由数量积的坐标公式可以直接得到平行与垂直的坐标判据。 ·=x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂ = ∥⇔坐标对应成比例；⊥⇔·=0 小提示：用坐标比例判断平行时，若某个分量为0要单独讨论，不能直接写成分式相等，否则会漏掉这种情形。 知识点梳理　07　第一章·1.4 直线的方向向量与平面的法向量 与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量；与平面 α 内两个不共线向量都垂直的非零向量 叫做平面 α 的法向量。求法向量时，通常设=(x,y,z)，列出 与平面内两个不共线向量的数量积都等于0的方程组，再取其中一组非零解。同一条直线的方向向量、同一个平面的法向量都不唯一，它们互相之间成比例。 设=(x,y,z)，·=0且·=0（,为平面内两个不共线向量） 小提示：解方程组时先令一个分量为便于计算的非零数（比如1），再解出另外两个分量，能避免出现分数。 知识点梳理　08　第一章·1.4 用向量判定平行与垂直：六种位置关系对照 空间中两条直线、直线与平面、两个平面之间的平行与垂直，都可以转化成方向向量或法向量之间的位置关系来判断：两条直线看各自的方向向量，直线与平面看直线的方向向量与平面的法向量，两个平面看两个法向量。 l₁∥l₂⇔∥；l₁⊥l₂⇔⊥ 直线l∥α(直线l⊄α)⇔⊥；直线l⊥α⇔∥ α∥β⇔∥；α⊥β⇔⊥ 位置关系 向量条件 坐标运算落点 l₁∥l₂ ∥ 对应分量成比例 l₁⊥l₂ ·=0 分量乘积之和为0 l∥α(l⊄α) ·=0 分量乘积之和为0 l⊥α ∥ 对应分量成比例 α∥β ∥ 对应分量成比例 α⊥β ·=0 分量乘积之和为0 小提示：直线l∥α 除了⊥ 还要检验 直线l不在 α 内（否则也满足这个条件但不是'平行'）。 知识点梳理　09　第一章·1.4 三类空间角的向量公式 两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面的夹角都可以转化为对应方向向量或法向量的夹角来计算，但取的三角函数与范围各不相同：异面直线所成角和两平面的夹角都取余弦的绝对值，直线与平面所成角取正弦的绝对值。 异面直线所成角θ：cosθ=|cos⟨,⟩| 线面角θ：sinθ=|cos⟨,⟩| 面面夹角θ：cosθ=|cos⟨n₁→,n₂→⟩| 角的类型 公式 取值范围 异面直线所成角 cosθ=·÷ (0,π÷2] 直线与平面所成角 sinθ=·÷ [0,π÷2] 平面与平面的夹角 cosθ=|n₁→·n₂→|÷(|n₁→||n₂→|) [0,π÷2] 小提示：线面角用的是正弦不是余弦，这是三类角里最容易记混的一条。 知识点梳理　10　第一章·1.4 点到平面的距离：投影长公式 设 是平面 α 的一个法向量，A是平面 α 内任意一点，P是平面外一点，则P到平面 α 的距离等于向量 在法向量方向上的投影长的绝对值。直线与平面平行时，线面距离转化为直线上任意一点到平面的距离；两个平面平行时，面面距离转化为其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离。 d=·÷ 小提示：A必须取在平面内、P取在平面外，代入前先确认 是这个平面的法向量而不是别的向量。 知识点梳理　11　第一章·1.4 点到直线的距离：勾股型公式 设直线l的单位方向向量为，A是直线l上一点，P是直线外一点，把 沿 方向投影得到 在直线上的分量 ·，剩下与直线垂直部分的长度就是P到直线l的距离，这本质上是勾股定理在向量法下的体现。 d=（为单位向量） 小提示： 必须先除以自身的模化成单位向量，直接代入没有单位化的方向向量会得到错误的距离。 知识点梳理　12　第二章·2.1 倾斜角与斜率 在平面直角坐标系中，一条直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定当直线与x轴平行或重合时倾斜角为0°；倾斜角 α 的取值范围是 [0,π)。当 α≠π÷2时，直线的斜率k=tanα；若直线经过P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂) 且x₁≠x₂，也可以用两点的坐标算出斜率。当 α=π÷2时直线垂直于x轴，斜率不存在。 k=tanα（α≠π÷2） k=(y₂−y₁)÷(x₂−x₁)（x₁≠x₂） 小提示：α 在 [0,π÷2) 上k从0增大到＋∞，在 (π÷2,π) 上k从 −∞ 增大到0，两段各自单调但整体不连续，别当成一条单调曲线。 知识点梳理　13　第二章·2.1 两直线平行与垂直的斜率判定 当两条直线l₁,l₂ 的斜率都存在时，l₁∥l₂ 的充要条件是k₁=k₂ 且两直线不重合；l₁⊥l₂ 的充要条件是k₁k₂=−1。如果其中一条直线的斜率不存在（即这条直线垂直于x轴），必须单独讨论：两条竖直线互相平行，一条竖直线与一条水平线互相垂直。 l₁∥l₂⇔k₁=k₂（不重合） l₁⊥l₂⇔k₁k₂=−1 小提示：只写k₁=k₂ 就断定平行是不严谨的，必须补上'不重合'，否则重合直线也会被误判成平行。 知识点梳理　14　第二章·2.2 直线方程的五种形式及适用范围 直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种常见形式，前四种都有各自不能表示的情形，只有一般式Ax＋By＋C=0（A,B不同时为0）能表示平面内的任意一条直线。 点斜式y−y₀=k(x−x₀)；斜截式y=kx＋b 两点式 (x−x₁)÷(x₂−x₁)=(y−y₁)÷(y₂−y₁)；截距式x÷a＋y÷b=1 形式 方程 不能表示的情形 点斜式 y−y₀=k(x−x₀) 斜率不存在的竖直线 斜截式 y=kx+b 竖直线 两点式 (x−x₁)÷(x₂−x₁)=(y−y₁)÷(y₂−y₁) 与坐标轴平行的直线 截距式 x÷a+y÷b=1 过原点或与坐标轴平行的直线 一般式 Ax+By+C=0 无限制，可表示所有直线 小提示：遇到含参数的直线方程题，优先设成一般式或先讨论斜率是否存在，能避免漏解竖直线的情形。 知识点梳理　15　第二章·2.2 一般式下的平行与垂直 对于一般式直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁=0与l₂：A₂x＋B₂y＋C₂=0，不需要讨论斜率是否存在就能直接判断位置关系：两直线垂直的充要条件是A₁A₂＋B₁B₂=0；两直线平行的充要条件是A₁B₂−A₂B₁=0且两直线不重合。 l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂=0 l₁∥l₂⇔A₁B₂−A₂B₁=0且不重合 小提示：求出使A₁B₂−A₂B₁=0成立的参数后，一定要把这个参数代回两条直线方程，检验是否变成同一条直线，重合的取值要剔除。 知识点梳理　16　第二章·2.3 两条直线的交点坐标 两条直线l₁，l₂ 的公共点坐标，就是把它们的方程联立成方程组后的解：方程组有唯一解，两直线相交，这个解就是交点坐标；方程组无解，两直线平行；方程组有无穷多组解，两直线重合。 联立 {A₁x＋B₁y＋C₁=0; A₂x＋B₂y＋C₂=0} 解方程组 小提示：求交点前可以先用一般式的系数比判断两直线是否平行或重合，避免对无解的方程组白费力气去解。 知识点梳理　17　第二章·2.3 两点间距离与中点坐标 平面内两点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂) 间的距离，可以用两点坐标的差构造直角三角形，再用勾股定理得到；线段P₁P₂ 的中点坐标等于两端点对应坐标的算术平均数。 |P₁P₂|= 中点M((x₁＋x₂)÷2,(y₁＋y₂)÷2) 小提示：距离公式里是坐标差的平方和再开方，不要漏掉根号，也不要把两个坐标差交叉相乘。 知识点梳理　18　第二章·2.3 点到直线的距离与两平行线间的距离 点P(x₀,y₀) 到直线Ax＋By＋C=0的距离，可以先求垂足坐标再用两点间距离公式导出，对A=0或B=0的情形同样成立。求两条平行直线之间的距离时，要先把两条直线的一般式化成x，y系数分别相同的形式，再用两个常数项之差除以系数模长。 d=|Ax₀＋By₀＋C|÷ 两平行线(系数相同后) d=|C₁−C₂|÷ 小提示：两平行线的系数不同时（比如一个是另一个的2倍），一定要先通分成同一组A，B，再套用两平行线的距离公式，直接用原始的两个常数项相减是错的。 知识点梳理　19　第二章·2.4 圆的标准方程 平面内到定点 (a,b) 的距离等于定长r(r>0) 的点的集合叫做圆，方程 (x−a)²＋(y−b)²=r² 叫做圆的标准方程，其中 (a,b) 是圆心坐标，r是半径。判断一个点与圆的位置关系，只需要比较这个点到圆心的距离与半径r的大小：距离小于r在圆内，等于r在圆上，大于r在圆外。 (x−a)²＋(y−b)²=r²（圆心(a,b)，半径r） 小提示：已知直径的两个端点求标准方程时，圆心是这两点的中点，半径是这两点间距离的一半，不要直接把端点当成圆心。 知识点梳理　20　第二章·2.4 圆的一般方程及其成立条件 把圆的标准方程展开可以得到关于x，y的二元二次方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0，其中x²，y² 的系数相等且都不为0、没有xy项。反过来，这样的方程只有在D²＋E²−4F>0时才表示一个圆，此时圆心坐标是 (−D÷2,−E÷2)，半径是 ÷2。 圆心(−D÷2,−E÷2)，半径r=÷2（要求D²＋E²−4F>0） 小提示：看到含参数的一般方程题，先写出D²＋E²−4F>0这一条件再求圆心半径，不能只顾着配方而漏掉这一步检验。 知识点梳理　21　第二章·2.5 直线与圆的位置关系：几何法与代数法 判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，d<r相交、d=r相切、d>r相离；代数法把直线方程代入圆的方程消元，用判别式 Δ 的符号判断。当直线与圆相交时，弦长可以用弦心距d与半径r构成的直角三角形算出。 几何法：比较d与r；代数法：比较 Δ=b²−4ac与0 弦长= 位置关系 几何法(d与r) 代数法(判别式Δ) 相交 d<r Δ>0 相切 d=r Δ=0 相离 d>r Δ<0 小提示：算弦长时先求出弦心距d（点到直线的距离），别把d和其他线段长度搞混。 知识点梳理　22　第二章·2.5 圆的切线与切线长 圆上一点处的切线与过该点的半径互相垂直，据此可以直接写出圆上一点处切线的方程。过圆外一点可以作两条切线，其中一条切线的斜率可能不存在（此时是竖直线），只设点斜式方程会漏掉这种情形。圆外一点P到切点的距离（切线长），可以用勾股定理由P到圆心的距离与半径算出。 圆上一点M处的切线：该切线⊥半径CM 切线长= （P为圆外一点，C为圆心） 小提示：求过圆外一点的切线方程时，先检验过这点的竖直线是否与圆相切，两条切线都要写，别漏掉竖直的那条。 知识点梳理　23　第二章·2.5 圆与圆的位置关系与公共弦 比较两圆的圆心距d与两半径之和r₁＋r₂、两半径之差的绝对值 |r₁−r₂| 的大小，可以确定两圆的位置关系，一共有外离、外切、相交、内切、内含五种情形。当两圆相交时，把两个圆的一般方程相减，消去二次项，得到的一次方程就是两圆公共弦所在直线的方程。 d>r₁＋r₂外离；d=r₁＋r₂外切；|r₁−r₂|<d<r₁＋r₂相交；d=|r₁−r₂|内切；d<|r₁−r₂|内含 位置关系 圆心距d与半径的关系 外离 d>r₁+r₂ 外切 d=r₁+r₂ 相交 |r₁−r₂|<d<r₁+r₂ 内切 d=|r₁−r₂| 内含 0≤d<|r₁−r₂| 小提示：两圆方程相减得到的是公共弦所在直线的方程，不是两圆的交点坐标，还需要联立才能求出具体交点。 　【题型1】基底拆分：把目标线段写成三条共点棱的组合再求长 1．帐篷支撑架搭成四面体P－QRS（P为顶端连接点），从P出发的三条支撑杆PQ＝3，PR＝2，PS＝4（单位：分米），且∠QPR＝90°，∠QPS＝60°，∠RPS＝90°。记＝，＝，＝。在底边QR上取点M，使QM∶MR＝1∶2，从S到M加装一根加固杆。(1) 用，， 表示；(2) 求加固杆SM的长。 　题型1　变式 2．同一个灯架也搭成四面体形状，从顶端连接点O出发的三条支杆OA＝2，OB＝1，OC＝2，且∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠BOC＝90°。挂点M满足＝t·＋（t为正实数）。若 |OM|＝，则t＝________。 　【题型2】四点共面与三点共线的系数判定 3．给定不共线三点A，B，C以及空间中一点O，动点P分别按下列四组向量式取值；这四组条件里，哪一组能确定P落在平面ABC内（　　） A．=(1÷2)＋(1÷3)＋(1÷6) B．=(1÷2)＋(1÷3)＋(1÷4) C．=(2÷3)＋(1÷3)＋(1÷3) D．=(1÷4)＋(1÷4)＋(1÷4) 　题型2　变式 4．光伏支架上有四个安装点A(1,0,1)，B(2,1,0)，C(0,1,2)，D(m,2,1)（单位：米），要求四点在同一块平面支架上（即四点共面），则m＝________。 　【题型3】法向量速求与线面、面面位置的坐标判定 5．书柜的骨架是直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥AB，AB＝4，AD＝3，DC＝2，侧棱AA₁＝2（单位：分米）。取A为坐标原点，把两两垂直的AB，AD，AA₁ 分别当作x轴、y轴、z轴的正方向，写出各顶点坐标。(1) 写出平面A₁BD的一个法向量；(2) 再写出平面BDC₁ 的一个法向量；(3) 求直线AA₁ 的方向向量与平面BDC₁ 的法向量的数量积，并由此判断直线AA₁ 与平面BDC₁ 的位置关系。 　题型3　变式 6．某仓库屋顶的三棱锥形支撑架P－ABC满足PA⊥底面ABC且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，PA＝2（单位：米）。因为棱PA，AB，AC三条棱两两垂直，把A点选为原点，让这三条棱各自当作一条坐标轴（，，）。N是棱AC的中点，M是棱PC上一点，＝（0＜λ＜1）。求 λ 的值，使支杆MN与侧面PAB平行。 　【题型4】三类空间角的公式选用：正弦还是余弦、何时取绝对值 7．四棱锥P－ABCD是展馆的采光顶骨架：底面ABCD为正方形，边长是2；侧棱PD垂直于底面ABCD，其长度为3（单位：米）。由于PD⊥底面ABCD且底面是正方形，取D为坐标原点，DA，DC，DP两两垂直，依次沿x轴、y轴、z轴正方向建系。(1) 棱PB与地面（底面ABCD）之间的夹角，其正弦值等于多少；(2) 沿棱PB折出的两块采光面PAB、PCB之间的夹角余弦值是多少。 　题型4　变式 8．滑梯的支撑结构是四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4（单位：米），建系方式与例题相同（D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴）。M是棱PB上一点，＝（0≤λ≤1）。若直线DM与底面ABCD所成角的正弦值为 ÷3，则 λ＝________。 　【题型5】空间距离的两个公式：点到平面投影长与点到直线勾股型 9．集装箱内用隔板分割空间，隔板轮廓是长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的一个截面三角形BDC₁，其中AB＝5，AD＝3，AA₁＝2（单位：米）。长方体的三条棱两两垂直，取A为坐标原点，沿AB方向为x轴、沿AD方向为y轴、沿AA₁ 方向为z轴建立空间直角坐标系。(1) 长方体顶点A到截面BDC₁ 所在平面的距离是多少；(2) 求顶点A₁ 到面对角线BC₁ 所在直线的距离。 　题型5　变式 10．仓库管理员在平面 α 内标出一点A(1,2,0)，测得平面 α 的一个法向量=(2,−1,2)，平面外货物所在点P(3,−1,2)（单位：米），则P到平面 α 的距离是________；又知平面 β 与 α 平行，且 β 过点Q(0,0,3)，则平面 α 与 β 之间的距离是________。 　【题型6】方向向量写直线：从向量条件到直线方程（跨章综合） 11．无人机航线直线l经过起降点A(1,2)（单位：百米），方向向量为=(2,−1)，则直线l的一般式方程是________；另一条航线直线l′ 经过起降点B(3,0)，且以 为法向量，则直线l′ 的一般式方程是________。 　题型6　变式 12．两条索道分别由空间中的两对支撑点确定：索道① 经过M₁(1,2,5)，M₂(3,4,2)；索道② 经过N₁(0,1,3)，N₂(4,−1,6)（单位：百米）。把这两条索道分别投影到地面xOy平面上（即取各点的横、纵坐标）。(1) 求两条投影直线的方程；(2) 求这两条投影直线夹角的余弦值。 　【题型7】点线距离两种算法对照：平面公式与空间向量公式（跨章综合） 13．在z=0平面内，一盏路灯的底座在点P(4,1,0)，一条道路所在直线l：3x＋4y−7=0（把它看作空间中z=0平面内的直线）。(1) 用平面几何的点到直线距离公式求P到 直线l的距离；(2) 在 直线l上取一点A(1,1,0)，用空间向量的点到直线距离公式再算一次P到 直线l的距离，并比较两次结果。 　题型7　变式 14．两条平行直线l₁：3x＋4y−2=0与l₂：6x＋8y＋c=0（河道两岸的堤坝走向），已知这两条堤坝走向之间相隔的距离恰好是3，求c的值（　　） A．c=13或c=−17 B．c=−34或c=26 C．c=34或c=−26 D．c=−46或c=38 　【题型8】由几何条件定圆：待定系数选标准式还是一般式 15．喷灌系统的一段圆形喷洒范围，其直径的两个端点分别是M(1,2)，N(5,6)（单位：米），水泵房位于坐标原点O。(1) 写出这个圆的标准方程；(2) 喷洒圆周上的点到水泵房O的距离，最大能到多少米？最小呢？ 　题型8　变式 16．某信号塔的覆盖圆经过三个测量点A(7,1)，B(2,6)，C(−1,5)（单位：千米），设圆的一般方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0，则D＝________，E＝________，F＝________，圆心坐标是________，半径是________。 　【题型9】直线与圆、圆与圆：用 d 与 r 比较解决弦长、切线与相切求参 17．雷达基站的覆盖圆C：(x−4)²＋(y−1)²=25（单位：十千米）。(1) 一条过定点Q(3,−7)（航标）、斜率为k的扫描线被圆C截得的弦长为6，求k的值；(2) 求过圆外一点R(9,9) 的圆C的所有切线方程。 　题型9　变式 18．水波扩散问题：石子甲激起的定圆C₁：x²＋y²=4（圆心A(0,0)，半径2），石子乙激起的圆C₂ 圆心为B(8,6)，半径为t（t＞0，随时间增大）。(1) 求圆C₁ 与圆C₂ 外切时t的值；(2) 求圆C₁ 与圆C₂ 内切时t的值。 　【题型10】数量积条件翻译成圆：向量语言与圆方程的互化（跨章综合） 19．已知平面内两定点A(1,2)，B(5,6)，动点P满足·=8，则点P所在圆的圆心坐标是________，半径是________。 　题型10　变式 20．无人车巡检路径问题：在上一题中以点C(3,4) 为圆心、半径为4的圆上，直线l：x＋y＋m=0是无人车的一条巡检基准线，它与圆交于E，F两个停靠点。若·=0，求实数m的值。 　易错专练 21．关于直线的倾斜角 α 与斜率k，下列说法正确的是（　　） A．α∈[0,π]，且任意直线都存在斜率 B．α∈(0,π)，当 α 为钝角时直线的斜率不存在 C．α∈[0,π)，当 α=π÷2时直线的斜率不存在（其余情况k=tanα） D．α∈[0,π)，且任意直线的斜率都等于tanα 22．有一条直线l过点A(2,3)，题目要求 直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程是________（写出所有可能的情形）。 23．直线l₁：(m−1)x＋2y＋3=0与直线l₂：3x＋my−3=0互相平行，求m的值（　　） A．m=−3或m=2 B．m=3或m=−2 C．m=−2 D．m=3 24．已知圆C：(x＋1)²＋(y−2)²=4，点P(1,5)。求过点P的圆C的切线方程（写出全部）。 25．无人机巡检屋面与航线的夹角问题：无人机航线l的一个方向向量为=(1,−1,0)，仓库屋面 α 的一个法向量为=(1,0,−1)，机务人员想知道航线l与屋面 α 所成角的正弦值是多少（　　） A． B．/2 C．/2 D．1 26．设平面 β 的法向量为=(−1,−2,2)，平面 α 的法向量为=(2,2,1)，则平面 α 与平面 β 夹角的余弦值是________。 27．老师在黑板上写下方程x²＋y²＋6x−8y＋m=0，并说这个方程表示一个圆，请指出m应当满足的取值范围（　　） A．m>25 B．m<25 C．m≤25 D．m<100 28．已知空间向量=(1,−2,2)，=(x,1,−1)。已知向量与所成的角是钝角，那么实数x的取值范围为________。 　方法清单 方法　01　基底法：先选三条共点且已知长度夹角的向量作基底，目标向量沿棱路走一遍写组合 遇到求某条线段长度或证明位置关系的问题，先在图中选三条从同一点出发、长度与夹角都已知的棱作为基底，把目标向量沿着棱的路径逐段替换成基底的线性组合，再用数量积展开求模长；这样可以避免建立坐标系。 目标向量＝路径上各段向量之和，逐段替换为＋＋ 方法　02　坐标法建系：优先找两两垂直的三条棱，点坐标逐个写并用向量长度自检 遇到含直角（或垂直关系）的几何体时，优先寻找两两垂直的三条棱作为x，y，z轴建立空间直角坐标系，逐个写出各顶点的坐标，再用两点间距离公式把关键棱长核对一遍，确认坐标没有写错。 =　用于自检坐标是否正确 方法　03　法向量：设 n=(x,y,z)，与平面内两个不共线向量数量积为 0，令一个分量为便于计算的非零数 想求某个平面的法向量，可以设它为=(x,y,z)；在该平面里挑两个不共线的向量，让 分别与它们的数量积都等于零，就凑出了两条方程。 ·=0且·=0（,为平面内两个不共线向量） 方法　04　角：先判是哪类角再选正弦或余弦，最后看是否取绝对值 遇到求角的问题，先判断这是异面直线所成角、线面角还是面面角，再确定要用余弦还是正弦公式；异面直线所成角和面面角的公式都要在最后取绝对值，线面角公式本身就是用正弦表示，别用错三角函数。 异面、面面用cosθ=|cos⟨方向或法向量⟩|；线面用sinθ=|cos⟨方向向量,法向量⟩| 方法　05　距离：点面距用投影长，点线距用勾股型，平行线面距离转化为点面距 点到平面的距离用投影长公式计算，点到直线的距离用勾股型公式计算；线面平行时的距离、面面平行时的距离，都可以转化成上述两种点到平面（或点到直线）的距离来求。 点面距d=·÷；点线距d=（为单位向量） 方法　06　斜率：先看倾斜角是否为直角，再用两点斜率公式 求直线的斜率时，先看这条直线是否垂直于x轴（斜率不存在），排除这种情形后，再用两点坐标代入斜率公式计算，注意分子分母的顺序不要写反。 k=(y₂−y₁)÷(x₂−x₁)（x₁≠x₂） 方法　07　设直线方程：已知点和斜率用点斜式，截距条件记得补过原点或竖直的情形 已知一个点和斜率时用点斜式设直线方程；已知截距条件时要想到还可能存在过原点或与坐标轴平行这两种特殊情形，不要只设截距式就把它们漏掉。 点斜式y−y₀=k(x−x₀)；截距式x÷a＋y÷b=1（a,b均不为0） 方法　08　平行垂直：一般式系数判定可避开斜率不存在的讨论，平行记得排除重合 判断两条直线的平行或垂直关系时，用一般式的系数直接判断可以避免讨论斜率是否存在这一麻烦；用平行条件求出参数后，一定要代回两条直线方程检验是否会导致重合，重合的取值要排除掉。 l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂=0；l₁∥l₂⇔A₁B₂−A₂B₁=0且不重合 方法　09　定圆：已知圆心半径相关条件用标准式，已知三点用一般式 已知圆心和半径（或能直接算出圆心半径）的条件，用标准方程设圆比较方便；已知圆上三个点的坐标时，用一般方程设圆、代入三个点列方程组求D，E，F更省事。 标准式(x−a)²＋(y−b)²=r²；一般式x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0（D²＋E²−4F>0） 方法　10　直线与圆：几何法算 d 与 r 比较，弦长用半弦、弦心距、半径构成的直角三角形 两个数放在一起比：先求出圆心到直线的距离d，再与半径r比大小，由此就能判断直线和圆之间有没有公共点、有几个公共点；一旦有两个公共点，弦长直接由半弦长、弦心距d、半径r组成的直角三角形算出。 d<r相交（弦长=）、d=r相切、d>r相离 　课后作业（一）基础过关 29．工程测量中记录了一个空间监测点A(2,−3,4)（单位：米），因监测面板设在yOz平面上，需要标出它关于yOz平面的镜像点用于校准仪器，这个镜像点的坐标是（　　） A．(2,3,4) B．(2,−3,−4) C．(−2,−3,4) D．(−2,3,−4) 30．已知空间向量=(2,3,3)，=(2,2,2)，求 的值（　　） A．36 B．10 C． D．6 31．某工程测量记录了两个方向向量=(3,1,−2) 和=(2,k,5)，工程师说这两个方向互相垂直，则k＝________。 32．工地上一根钢梁所在直线l的方向向量是=(2,−1,3)，一块钢板所在平面 α 的法向量是=(1,2,0)，判断钢梁所在直线l与钢板所在平面 α 的位置关系（　　） A．直线l∥α 或 直线l⊂α B．直线l⊥α C．直线l与 α 斜交（既不平行也不垂直） D．无法确定位置关系 33．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，面对角线A₁B与AD₁ 所成角的余弦值是________。 34．无人机巡检时测得：信号塔天线阵列所在平面 α 内一点A(1,1,1)，其法向量=(2,−2,1)，无人机所在位置P(3,0,2) 在平面外，则无人机到平面 α 的距离是________。 35．在比例尺地图上量得两点A(0,1)，B(−1,1＋（单位：百米），过这两点的道路所在直线的倾斜角是（　　） A．60° B．120° C．150° D．30° 36．已知直线l₁：ax＋3y−1=0与l₂：2x−4y＋5=0互相垂直，则a＝________。 37．直线在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，求这条直线的一般式方程（　　） A．2x−3y＋6=0 B．3x−2y−6=0 C．2x−3y−6=0 D．2x＋3y−6=0 38．两条平行的巡逻航线l₁：2x＋3y−4=0与l₂：4x＋6y＋10=0（单位：海里），它们之间的距离是________。 39．圆的一般方程是x²＋y²−4x＋6y−12=0，求圆心坐标与半径（　　） A．圆心(−2,3)，半径5 B．圆心(2,−3)，半径10 C．圆心(2,3)，半径5 D．圆心(2,−3)，半径5 40．已知圆C：圆心 (2,1)，半径5，直线l：3x−4y＋5=0。(1) 判断圆心到直线l的距离与半径的大小关系，并给出该距离的值；(2) 直线l与圆C相交于两点，求这两个交点之间的线段长度。 　参考答案与解析 　【题型1】基底拆分：把目标线段写成三条共点棱的组合再求长 1．【答案】(1) =(2÷3)＋(1÷3)；(2) SM=÷3（分米） 【解析】由QM∶MR＝1∶2得=(1÷3)=(1÷3)，所以=＋=＋(1÷3)=(2÷3)＋(1÷3)。 ==(2÷3)＋(1÷3)。 由∠QPR＝90°、∠RPS＝90°、∠QPS＝60°得·=0，·=0，·=°=3×4×(1÷2)=6。 =(4÷9)＋(1÷9)＋＋(4÷9)·−(4÷3)·−(2÷3)·=(4÷9)×9＋(1÷9)×4＋16＋0−(4÷3)×6−0=4＋4÷9＋16−8=112÷9。 所以SM==÷3（分米）。 　题型1　变式 2．【答案】t=2 【解析】记=，=，=，则 =2，=1，=2；由角度条件得·=0，·=0，·=2×2×cos60°=2。 =t ＋，展开 =t²＋＋＋·−·−·。 代入数值：=4t²＋1＋4＋0−4t−0=4t²−4t＋5。 由 |OM|=得4t²−4t＋5=13，即4t²−4t−8=0，解得t=2或t=−1。 因为t为正实数，t=−1舍去，所以t=2。 　【题型2】四点共面与三点共线的系数判定 3．【答案】A 【解析】P与不共线三点A，B，C共面的充要条件是=＋＋ 且x＋y＋z=1。 逐项计算三个系数之和：A项1÷2＋1÷3＋1÷6=1，满足条件。 B项1÷2＋1÷3＋1÷4=13÷12≠1；C项2÷3＋1÷3＋1÷3=4÷3≠1；D项1÷4＋1÷4＋1÷4=3÷4≠1，都不满足。 所以只有A中的P与A，B，C共面。 　题型2　变式 4．【答案】m=1 【解析】设=＋＋ 且x＋y＋z=1（O为坐标原点）。由A(1,0,1)，B(2,1,0)，C(0,1,2)，D(m,2,1) 按分量列方程：x＋2y=m，y＋z=2，x＋2z=1。 由后两式解得y=2−z，x=1−2z，代入第一式：(1−2z)＋2(2−z)=m，即5−4z=m，故z=(5−m)÷4，从而x=(m−3)÷2，y=(m＋3)÷4。 代入x＋y＋z=1：(m−3)÷2＋(m＋3)÷4＋(5−m)÷4=1，化简得m÷2＋1÷2=1。 解得m=1。 　【题型3】法向量速求与线面、面面位置的坐标判定 5．【答案】(1) n₁→=(3,4,6)（或其倍数）；(2) n₂→=(3,4,−3)（或其倍数）；(3) 相交（不平行也不垂直） 【解析】按坐标系写出A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(2,3,0)，D(0,3,0)，A₁(0,0,2)，C₁(2,3,2)。 平面A₁BD内取A₁=(4,0,−2)，A₁=(0,3,−2)，设n₁→=(x,y,z)，由n₁→·A₁=0，n₁→·A₁=0解得一组非零解n₁→=(3,4,6)。 平面BDC₁ 内取=(−4,3,0)，BC₁→=(−2,3,2)，同法解得=(3,4,−3)。 棱AA₁ 所在直线的方向向量为=(0,0,1)，与 的数量积·=0×3＋0×4＋1×(−3)=−3≠0，说明直线不与平面BDC₁ 平行（也不在平面内）； 又不与 平行，说明直线不与平面垂直。 所以直线AA₁ 与平面BDC₁ 相交。 　题型3　变式 6．【答案】λ=1÷2 【解析】建系后A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，N是AC中点，N(0,2,0)。 由= 得M=P＋λ(C−P)=(0,4λ,2−2λ)。 平面PAB中A，B，P三点的y坐标都为0，所以该平面就是y=0平面，法向量取=(0,1,0)。 =N−M=(0,2−4λ,−(2−2λ))，要MN∥平面PAB，需·=0，即2−4λ=0，解得 λ=1÷2。 此时M的y坐标为4λ=2≠0，说明M不在平面PAB内，MN确实是与平面平行而不是被包含在平面内，所以 λ=1÷2即为所求。 　【题型4】三类空间角的公式选用：正弦还是余弦、何时取绝对值 7．【答案】(1) sinθ=÷17；(2) cosθ=4÷13 【解析】建系后D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)。 底面ABCD的法向量可取=(0,0,1)。=B−P=(2,2,−3)，sinθ=·÷=|−3|÷=3÷=÷17。 平面PAB内取=(2,0,−3)，=(2,2,−3)，设法向量=(x,y,z)，由·=0得2x−3z=0，由·=0得2x＋2y−3z=0；两式相减得y=0，取z=2得x=3，即=(3,0,2)。 平面PCB内取=(0,2,−3)，=(2,2,−3)，设法向量=(x,y,z)，由·=0得2y−3z=0，由·=0得2x＋2y−3z=0；两式相减得x=0，取z=2得y=3，即=(0,3,2)。 cosθ=·÷=|3×0＋0×3＋2×2|÷×=4÷13。 　题型4　变式 8．【答案】λ=4÷7 【解析】建系后D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，P(0,0,4)，=(3,3,−4)。 由= 得M=(3λ,3λ,4−4λ)，=(3λ,3λ,4−4λ)。底面法向量取=(0,0,1)， 则sinθ=|4−4λ|÷，由sinθ=÷3，即sin²θ=1÷3。 代入化简得3(4−4λ)²=18λ²＋(4−4λ)²，即2(4−4λ)²=18λ²，(4−4λ)²=9λ²，故4−4λ=±3λ。 若4−4λ=3λ，得 λ=4÷7；若4−4λ=−3λ，得 λ=4，但M在线段PB上要求0≤λ≤1，λ=4舍去。 所以 λ=4÷7。 　【题型5】空间距离的两个公式：点到平面投影长与点到直线勾股型 9．【答案】(1) 30÷19米；(2) ÷13米 【解析】建系后A(0,0,0)，B(5,0,0)，D(0,3,0)，C₁(5,3,2)，A₁(0,0,2)。 平面BDC₁ 内取=(−5,3,0)，BC₁→=(0,3,2)，设法向量=(x,y,z)，由·=0得 −5x＋3y=0，由·BC₁→=0得3y＋2z=0；取z=−15得y=10，再得x=6，即=(6,10,−15)。 平面过B(5,0,0)：6(x−5)＋10y−15z=0，即6x＋10y−15z−30=0。点A(0,0,0) 到该平面的距离d₁=|−30|÷=30÷=30÷19。 棱BC₁ 所在直线过B，方向向量=C₁−B=(0,3,2)，单位化得 û=(0,3,2)÷。BA₁→=A₁−B=(−5,0,2)，BA₁→·û=(−5×0＋0×3＋2×2)÷=4÷。 由公式d₂====19÷=÷13（米）。 　题型5　变式 10．【答案】P到 α 的距离为11÷3；α 与 β 之间的距离为2 【解析】=P−A=(2,−3,2)，d₁=·÷=|2×2＋(−1)×(−3)＋2×2|÷3=|4＋3＋4|÷3=11÷3。 =Q−A=(−1,−2,3)，由于 β∥α 且用同一个法向量，两平面间的距离等于A到 β 的距离：d₂=·÷=|2×(−1)＋(−1)×(−2)＋2×3|÷3=|−2＋2＋6|÷3=2。 　【题型6】方向向量写直线：从向量条件到直线方程（跨章综合） 11．【答案】直线l：x＋2y−5=0；直线l′：2x−y−6=0 【解析】=(2,−1) 是 直线l的方向向量，与 垂直的向量 (1,2) 就是 直线l的一个法向量，所以 直线l的一般式可设为x＋2y＋c=0。 代入A(1,2)：1＋4＋c=0，得c=−5，所以 直线l：x＋2y−5=0。 直线l′ 以=(2,−1) 为法向量，一般式可设为2x−y＋c′=0，代入B(3,0)：6−0＋c′=0，得c′=−6，所以 直线l′：2x−y−6=0。 　题型6　变式 12．【答案】(1) x−y＋1=0；x＋2y−2=0；(2) cosθ=÷10 【解析】M₁，M₂ 投影到xOy平面得M₁′(1,2)，M₂′(3,4)：斜率为 (4−2)÷(3−1)=1，直线方程为x−y＋1=0。 N₁，N₂ 投影得N₁′(0,1)，N₂′(4,−1)：斜率为 (−1−1)÷(4−0)=−1÷2，直线方程为x＋2y−2=0。 两直线的法向量分别为=(1,−1)，=(1,2)。cosθ=·÷=|1×1＋(−1)×2|÷×=1÷=÷10。 　【题型7】点线距离两种算法对照：平面公式与空间向量公式（跨章综合） 13．【答案】两种方法都得到距离为9÷5 【解析】平面公式：d=|3×4＋4×1−7|÷=|12＋4−7|÷5=9÷5。 取 直线l上一点A(1,1,0)（满足3×1＋4×1−7=0），直线l的方向向量可取=(4,−3,0)（与法向量 (3,4,0) 垂直），单位化=(4,−3,0)÷5。 =P−A=(3,0,0)，·=(3×4＋0×(−3)＋0×0)÷5=12÷5。 d====9÷5，与平面公式结果一致。 　题型7　变式 14．【答案】B 【解析】把l₂ 的系数化成与l₁ 相同：6x＋8y＋c=0即3x＋4y＋c÷2=0。 两平行线距离d=|(−2)−c÷2|÷=|(−2)−c÷2|÷5=3，得 |(−2)−c÷2|=15。 解得 −2−c÷2=15或 −2−c÷2=−15，即c÷2=−17或c÷2=13，所以c=−34或c=26。 　【题型8】由几何条件定圆：待定系数选标准式还是一般式 15．【答案】(1) (x−3)²＋(y−4)²=8；(2) 最远5＋米，最近5−米 【解析】圆心是MN的中点：((1＋5)÷2,(2＋6)÷2)=(3,4)；半径是MN长度的一半：r=(1÷2)=(1÷2)=。 标准方程为 (x−3)²＋(y−4)²=8。 圆心C(3,4) 到O的距离 |OC|==5＞，所以O在圆外。 圆周上的点P满足 |OC|−r≤|OP|≤|OC|＋r，两个等号分别在直线OC与圆的两个交点处取得。 所以最远距离为5＋米，最近距离为5−米。 　题型8　变式 16．【答案】D=−4，E=−2，F=−20；(2,1)；5 【解析】把三点代入一般方程得三元一次方程组：7D＋E＋F=−50，2D＋6E＋F=−40，−D＋5E＋F=−26。 两两相减消去F：(7D＋E＋F)−(2D＋6E＋F)=−10，即D−E=−2；(2D＋6E＋F)−(−D＋5E＋F)=−14，即3D＋E=−14。 将D=E−2代入3D＋E=−14得4E=−8，E=−2，从而D=−4；再代回第一式得F=−20。 圆心 (−D÷2,−E÷2)=(2,1)，半径r=÷2=÷2=÷2=5。 　【题型9】直线与圆、圆与圆：用 d 与 r 比较解决弦长、切线与相切求参 17．【答案】(1) k=或k=；(2) x=9和39x−80y＋369=0 【解析】扫描线方程为y＋7=k(x−3)，即kx−y−3k−7=0。圆心 (4,1) 到该线的距离d=|4k−1−3k−7|÷=|k−8|÷。 由弦长公式6= 得d²=16，d=4。代入化简得 (k−8)²=16(k²＋1)，即15k²＋16k−48=0，解得k=或k=。 检验R(9,9) 到圆心 (4,1) 的距离为 =＞5，R在圆外；R的横坐标恰好等于4＋5=9，说明过R的竖直线x=9到圆心距离为 |9−4|=5=r，所以x=9是一条切线。 设另一条切线为y−9=k(x−9)，即kx−y＋9−9k=0，由圆心到线距离等于5：|4k−1＋9−9k|=，即 |8−5k|=，两边平方化简得64−80k=25，解得k=39÷80。 所以另一条切线为y−9=(39÷80)(x−9)，化成一般式为39x−80y＋369=0。 　题型9　变式 18．【答案】(1) t=8；(2) t=12；两种情形都只有1个符合条件的值 【解析】圆心距AB===10。 外切条件：AB=r₁＋r₂，即10=2＋t，解得t=8（符合t＞0）。 内切条件：AB=|r₁−r₂|，即10=|2−t|，解得2−t=10（t=−8，舍去，因为要求t＞0）或t−2=10（t=12，符合）。 所以外切只有t=8这一个值，内切也只有t=12这一个值。 　【题型10】数量积条件翻译成圆：向量语言与圆方程的互化（跨章综合） 19．【答案】(3,4)；4 【解析】设P(x,y)，=(1−x,2−y)，=(5−x,6−y)，展开·=(x−1)(x−5)＋(y−2)(y−6)=x²＋y²−6x−8y＋17。 由·=8得x²＋y²−6x−8y＋17=8，即x²＋y²−6x−8y＋9=0。 配方得 (x−3)²＋(y−4)²=9＋16−9=16，所以圆心 (3,4)，半径4。 　题型10　变式 20．【答案】m=−3或m=−11 【解析】·=0说明CE⊥CF，又 |CE|=|CF|=4，所以 △CEF是等腰直角三角形。 圆心C到弦EF的距离（弦心距）d=|CE|×÷2)=4×÷2)=。 圆心C(3,4) 到直线l的距离为 |3＋4＋m|÷=|7＋m|÷，令其等于，得 |7＋m|=4。 解得m=−3或m=−11；此时d=＜4，直线与圆确有两个交点，两个值都符合。 　易错专练 21．【答案】C 【解析】倾斜角的取值范围规定为 [0,π)，A、B两项的范围都不对。 当 α=π÷2时直线垂直于x轴，tanα 没有意义，此时斜率不存在，其余情况下k=tanα 恒成立，D项遗漏了这一例外。 综合来看，C项的范围和例外情形都叙述正确。 22．【答案】3x−2y=0或x＋y−5=0 【解析】情形一：截距为0，即直线过原点。此时直线过 (0,0) 与 (2,3)，斜率为3÷2，方程为3x−2y=0。 情形二：截距不为0，设为a，直线方程为x÷a＋y÷a=1，即x＋y=a。代入A(2,3)：2＋3=a，得a=5，方程为x＋y−5=0。 两种情形都满足'截距相等'，所以答案是3x−2y=0或x＋y−5=0。 23．【答案】D 【解析】两直线平行的充要条件是A₁B₂−A₂B₁=0且不重合：(m−1)m−2×3=0，即m²−m−6=0，解得m=3或m=−2。 检验m=3：l₁：2x＋2y＋3=0（即x＋y＋1.5=0），l₂：3x＋3y−3=0（即x＋y−1=0），两直线平行且不重合，m=3符合。 检验m=−2：l₁：−3x＋2y＋3=0（即3x−2y−3=0），l₂：3x−2y−3=0，两直线完全相同，是重合直线，m=−2要舍去。 所以只有m=3满足'两直线平行'。 24．【答案】x=1和5x−12y＋55=0 【解析】圆心C(−1,2)，半径r=2。点P到圆心的距离为 =＞2，P在圆外。 过P的竖直线是x=1，它到圆心的距离为 |1−(−1)|=2=r，恰好等于半径，所以x=1是一条切线（只设点斜式会漏掉它）。 设另一条切线为y−5=k(x−1)，即kx−y＋5−k=0，圆心到该直线距离为 |−k−2＋5−k|÷=|3−2k|÷=2。 两边平方化简：9−12k＋4k²=4k²＋4，得 −12k=−5，k=5÷12。 所以过P的两条切线是x=1和5x−12y＋55=0（由y−5=(5÷12)(x−1) 化成一般式得到）。 25．【答案】A 【解析】先算cos⟨,⟩=(1×1＋(−1)×0＋0×(−1))÷×=。 直线与平面所成角 θ 满足sinθ=|cos⟨,⟩|=，所以正弦值为。 如果误把cos⟨,⟩=当成线面角本身的余弦，会误判 θ=60°，进而算出错误的正弦值 /2。 26．【答案】4÷9 【解析】先算cos⟨,⟩=(2×(−1)＋2×(−2)＋1×2)÷(3×3)=(−2−4＋2)÷9=−4÷9。 平面与平面夹角的余弦要取绝对值，范围是 [0,π÷2]，如果直接把 −4÷9当作答案就漏了这一步。 所以平面 α 与 β 夹角的余弦值是 |−4÷9|=4÷9。 27．【答案】B 【解析】方程为一般式，D=6，E=−8，F=m，表示圆的条件是D²＋E²−4F＞0，即36＋64−4m＞0，100−4m＞0。 解不等式：−4m＞−100，两边除以负数要变号，得m＜25。 如果除以−4时忘记变号，会误得m＞25；如果把表示圆误记成能取等号，会误得m≤25；如果把100−4m＞0里的系数4漏看，误当成100−m＞0，会误得m＜100，这些都不对，正确范围是m＜25。 28．【答案】x<4且x≠−1÷2 【解析】夹角为钝角首先要求·<0：·=x×1＋(−2)×1＋2×(−1)=x−4，由x−4<0得x<4。 但·<0只是钝角的必要条件，还要排除 与 反向共线（此时夹角是平角π，不是钝角）的情形。 若=(λ<0)，由分量对应得 λ=x，−2λ=1，2λ=−1，都要求 λ=−1÷2，从而x=−1÷2；此时夹角恰好是π，必须排除。 所以x的取值范围是x<4且x≠−1÷2。 　课后作业（一）基础过关 29．【答案】C 【解析】关于坐标平面yOz对称，x坐标变号，y，z坐标不变：(2,−3,4)→(−2,−3,4)。 A项是关于xOz平面对称的结果，B项是关于xOy平面对称的结果，D项是关于原点对称的结果，都不是所求。 30．【答案】D 【解析】=(4,6,6)，=(4−2,6−2,6−2)=(2,4,4)。 ===6。 31．【答案】k=4 【解析】⊥ 等价于·=0：3×2＋1×k＋(−2)×5=k−4=0。 解得k=4。 32．【答案】A 【解析】·=2×1＋(−1)×2＋3×0=0，说明⊥，这正是 直线l∥α 或 直线l⊂α 的判定条件。 检验 是否与 平行：两向量各分量之比不相等，所以 直线l不垂直于 α。 由·=0已经可以确定 直线l平行于 α 或者 直线l在 α 内，所以答案是A。 33．【答案】1÷2 【解析】以A为原点建系：A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，A₁(0,0,2)，D₁(0,2,2)。 A₁=B−A₁=(2,0,−2)，AD₁→=D₁−A=(0,2,2)。 cosθ=|A₁·AD₁→|÷(|A₁₁→|)=|2×0＋0×2＋(−2)×2|÷×=4÷8=1÷2。 34．【答案】7÷3 【解析】=P−A=(2,−1,1)，d=·÷=|2×2＋(−2)×(−1)＋1×1|÷=7÷3。 35．【答案】B 【解析】斜率k=(1＋−1)÷(−1−0)=÷(−1)=。 由tanα=且 α∈[0,π)，α 是钝角，对应 α=180°−60°=120°。 36．【答案】a=6 【解析】垂直的充要条件是A₁A₂＋B₁B₂=0：a×2＋3×(−4)=2a−12=0。 解得a=6。 37．【答案】C 【解析】截距式为x÷3＋y÷(−2)=1，两边乘以6得2x−3y=6，即2x−3y−6=0。 代入验证 (3,0)：2×3−3×0−6=0 ✓；(0,−2)：2×0−3×(−2)−6=0 ✓，两个截距点都满足。 38．【答案】÷13 【解析】把l₂ 化成与l₁ 相同的系数：4x＋6y＋10=0除以2得2x＋3y＋5=0。 d=|(−4)−5|÷=9÷=÷13。 39．【答案】D 【解析】D=−4，E=6，F=−12，圆心为 (−D÷2,−E÷2)=(2,−3)。 半径r=÷2=÷2=÷2=5。 40．【答案】(1) d=7÷5＜5=r；(2) 弦长为48÷5 【解析】圆心 (2,1) 到直线l的距离d=|3×2−4×1＋5|÷=|6−4＋5|÷5=7÷5。 因为d=7÷5＜5=r，所以直线l与圆C相交。 弦长＝==2×24÷5=48÷5。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修一·期中知识清单（第一、二章） 课时同步练习 期中复习知识清单（第一至二章：23 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册　期中知识清单　第一章 空间向量与立体几何　第二章 直线和圆的方程 共 40 题（变式 10 · 易错 8 · 作业 12）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．第一章：能用共线、共面向量定理与空间向量基本定理把向量写成基底组合；会用数量积算模长与夹角；会写空间点与向量坐标并做坐标运算。 2．第一章：会求平面法向量，能用方向向量与法向量判定平行、垂直；会用公式求异面直线所成角（余弦取绝对值）、线面角（正弦）、平面夹角（余弦取绝对值），会求点到直线、点到平面的距离。 3．第二章：会由倾斜角求斜率（含斜率不存在），会在点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式间互化，会用斜率或一般式系数判两直线平行、垂直（含参剔除重合）。 4．第二章：会用两点间、点到直线、平行线间距离公式；会写圆的标准方程与一般方程并判断二元二次方程是否表示圆；会用d与r比较判断直线与圆、圆与圆位置关系，求弦长、切线方程与切线长。 学习重难点 重点：向量工具的一条主线：基底→坐标→方向向量/法向量→角与距离公式；直线与圆的一条主线：斜率与方程形式→距离公式→圆心半径→d与r比较。 难点：三类空间角的三角函数与取值范围不同；直线方程各形式的适用条件（截距式不过原点、点斜式要求斜率存在）；方程表示圆的条件D²+E²−4F>0；过圆外一点的切线有两条。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　第一章·1.1 空间向量的线性运算：加减与数乘的几何意义 3 知识点 02　第一章·1.1 共线向量与共面向量：两个判定式 3 知识点 03　第一章·1.1 空间向量的数量积：定义、运算律与三个用途 4 知识点 04　第一章·1.2 空间向量基本定理：基底与唯一分解 4 知识点 05　第一章·1.3 空间直角坐标系：点与向量的坐标 4 知识点 06　第一章·1.3 空间向量运算的坐标表示 5 知识点 07　第一章·1.4 直线的方向向量与平面的法向量 5 知识点 08　第一章·1.4 用向量判定平行与垂直：六种位置关系对照 5 知识点 09　第一章·1.4 三类空间角的向量公式 6 知识点 10　第一章·1.4 点到平面的距离：投影长公式 6 知识点 11　第一章·1.4 点到直线的距离：勾股型公式 6 知识点 12　第二章·2.1 倾斜角与斜率 7 知识点 13　第二章·2.1 两直线平行与垂直的斜率判定 7 知识点 14　第二章·2.2 直线方程的五种形式及适用范围 7 知识点 15　第二章·2.2 一般式下的平行与垂直 8 知识点 16　第二章·2.3 两条直线的交点坐标 8 知识点 17　第二章·2.3 两点间距离与中点坐标 8 知识点 18　第二章·2.3 点到直线的距离与两平行线间的距离 8 知识点 19　第二章·2.4 圆的标准方程 9 知识点 20　第二章·2.4 圆的一般方程及其成立条件 9 知识点 21　第二章·2.5 直线与圆的位置关系：几何法与代数法 9 知识点 22　第二章·2.5 圆的切线与切线长 10 知识点 23　第二章·2.5 圆与圆的位置关系与公共弦 10 考点 1　基底拆分：把目标线段写成三条共点棱的组合再求长 11 考点 2　四点共面与三点共线的系数判定 11 考点 3　法向量速求与线面、面面位置的坐标判定 12 考点 4　三类空间角的公式选用：正弦还是余弦、何时取绝对值 13 考点 5　空间距离的两个公式：点到平面投影长与点到直线勾股型 14 考点 6　方向向量写直线：从向量条件到直线方程（跨章综合） 15 考点 7　点线距离两种算法对照：平面公式与空间向量公式（跨章综合） 15 考点 8　由几何条件定圆：待定系数选标准式还是一般式 16 考点 9　直线与圆、圆与圆：用 d 与 r 比较解决弦长、切线与相切求参 17 考点 10　数量积条件翻译成圆：向量语言与圆方程的互化（跨章综合） 17 易错专练 18 方法清单 19 方法 01　基底法：先选三条共点且已知长度夹角的向量作基底，目标向量沿棱路走一遍写组合 19 方法 02　坐标法建系：优先找两两垂直的三条棱，点坐标逐个写并用向量长度自检 19 方法 03　法向量：设 n=(x,y,z)，与平面内两个不共线向量数量积为 0，令一个分量为便于计算的非零数 19 方法 04　角：先判是哪类角再选正弦或余弦，最后看是否取绝对值 19 方法 05　距离：点面距用投影长，点线距用勾股型，平行线面距离转化为点面距 19 方法 06　斜率：先看倾斜角是否为直角，再用两点斜率公式 19 方法 07　设直线方程：已知点和斜率用点斜式，截距条件记得补过原点或竖直的情形 20 方法 08　平行垂直：一般式系数判定可避开斜率不存在的讨论，平行记得排除重合 20 方法 09　定圆：已知圆心半径相关条件用标准式，已知三点用一般式 20 方法 10　直线与圆：几何法算 d 与 r 比较，弦长用半弦、弦心距、半径构成的直角三角形 20 课后作业（一）基础过关 3 　知识梳理 知识点梳理　01　第一章·1.1 空间向量的线性运算：加减与数乘的几何意义 空间任意两个向量都可以通过平移转化到同一个平面内，因此空间向量的加法、减法与数乘运算的法则与平面向量完全一致：加法用三角形法则或平行四边形法则，减法看成加上相反向量，数乘 的模是 ，方向由 λ 的正负决定。以一点为公共起点、三个不共面的向量为棱作平行六面体时，其体对角线对应的向量就是这三个向量的和。 交换律＋=＋，结合律 ＋＋=＋＋ 数乘分配律 ＋=＋，(λ＋μ)=＋ 小提示：λ=0时 =（零向量）；求一串向量的加减时先把它们首尾相接再合并最省事。 知识点梳理　02　第一章·1.1 共线向量与共面向量：两个判定式 如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，这些向量叫共线向量（或平行向量）；由数乘的定义可知∥≠0) 的充要条件是存在实数 λ 使=。平行于同一个平面的向量叫共面向量：若 与不共线的两个向量, 共面，则存在唯一实数对x,y使=＋。把这一判定式用于空间四点，就得到空间点P在平面ABC内的充要条件。 ∥≠0)⇔存在λ使= 与,共面,不共线)⇔=＋ 判定对象 判定式 说明 两向量共线 =≠0) λ唯一确定 向量与不共线,共面 =+ x,y唯一确定 空间点P在平面ABC内 =++且x+y+z=1 对任意点O都成立 小提示：判断四点共面时先写成=＋＋ 的形式，再检验三个系数之和是否等于1，别只看系数是否为分数。 知识点梳理　03　第一章·1.1 空间向量的数量积：定义、运算律与三个用途 已知两个非零向量,，把 ⟨,⟩ 叫做, 的数量积，记作·；当=0或=0时约定·=0。数量积满足交换律与分配律·＋=·＋·，但不满足结合律。数量积最常见的三个用途是求模长（=·）、求两向量的夹角、判断两向量是否垂直（⊥⇔·=0）。 ·=⟨,⟩ cos⟨,⟩=·÷ 小提示：⟨,⟩∈[0,π]，求出的夹角别忘了这个取值范围；⊥⇔·=0只对两个非零向量成立，零向量与任何向量的数量积都为0。 知识点梳理　04　第一章·1.2 空间向量基本定理：基底与唯一分解 如果三个向量,, 不共面，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的有序实数组x,y,z，使得=＋＋；这组不共面的向量 ,, 叫做空间的一个基底，,, 都叫基向量。两两垂直的单位向量组成的基底叫单位正交基底，通常记作 ,,，此时 分解得到的 (x,y,z) 就是 在空间直角坐标系中的坐标。 =＋＋（x,y,z唯一确定） 基底存在的条件：,,不共面 小提示：判断一组向量能否作基底，只需看它们共不共面；系数解不唯一，往往说明这组向量本身不满足不共面条件。 知识点梳理　05　第一章·1.3 空间直角坐标系：点与向量的坐标 在空间中任取一点O，以O为原点、按右手系作三条两两垂直的数轴x轴、y轴、z轴，就建立了空间直角坐标系Oxyz；空间任意一点P都对应唯一的有序实数组 (x,y,z)，叫做点P的坐标。向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，即若A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则=(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁)。点关于坐标轴、坐标平面、原点作对称时，坐标按下表变号。 =(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁) 对称对象 变号规律 举例(a,b,c)→ 关于x轴对称 y,z变号，x不变 (a,−b,−c) 关于yOz平面对称 x变号，y,z不变 (−a,b,c) 关于原点对称 x,y,z都变号 (−a,−b,−c) 小提示：关于坐标轴对称时只有该轴对应的坐标不变，另外两个都变号；容易和关于坐标平面对称的规律弄反。 知识点梳理　06　第一章·1.3 空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系中，若=(x₁,y₁,z₁)，=(x₂,y₂,z₂)，则加减法和数乘运算都逐分量进行：±=(x₁±x₂,y₁±y₂,z₁±z₂)，=(λx₁,λy₁,λz₁)；数量积·=x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂，模长 =。由数量积的坐标公式可以直接得到平行与垂直的坐标判据。 ·=x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂ = ∥⇔坐标对应成比例；⊥⇔·=0 小提示：用坐标比例判断平行时，若某个分量为0要单独讨论，不能直接写成分式相等，否则会漏掉这种情形。 知识点梳理　07　第一章·1.4 直线的方向向量与平面的法向量 与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量；与平面 α 内两个不共线向量都垂直的非零向量 叫做平面 α 的法向量。求法向量时，通常设=(x,y,z)，列出 与平面内两个不共线向量的数量积都等于0的方程组，再取其中一组非零解。同一条直线的方向向量、同一个平面的法向量都不唯一，它们互相之间成比例。 设=(x,y,z)，·=0且·=0（,为平面内两个不共线向量） 小提示：解方程组时先令一个分量为便于计算的非零数（比如1），再解出另外两个分量，能避免出现分数。 知识点梳理　08　第一章·1.4 用向量判定平行与垂直：六种位置关系对照 空间中两条直线、直线与平面、两个平面之间的平行与垂直，都可以转化成方向向量或法向量之间的位置关系来判断：两条直线看各自的方向向量，直线与平面看直线的方向向量与平面的法向量，两个平面看两个法向量。 l₁∥l₂⇔∥；l₁⊥l₂⇔⊥ 直线l∥α(直线l⊄α)⇔⊥；直线l⊥α⇔∥ α∥β⇔∥；α⊥β⇔⊥ 位置关系 向量条件 坐标运算落点 l₁∥l₂ ∥ 对应分量成比例 l₁⊥l₂ ·=0 分量乘积之和为0 l∥α(l⊄α) ·=0 分量乘积之和为0 l⊥α ∥ 对应分量成比例 α∥β ∥ 对应分量成比例 α⊥β ·=0 分量乘积之和为0 小提示：直线l∥α 除了⊥ 还要检验 直线l不在 α 内（否则也满足这个条件但不是'平行'）。 知识点梳理　09　第一章·1.4 三类空间角的向量公式 两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面的夹角都可以转化为对应方向向量或法向量的夹角来计算，但取的三角函数与范围各不相同：异面直线所成角和两平面的夹角都取余弦的绝对值，直线与平面所成角取正弦的绝对值。 异面直线所成角θ：cosθ=|cos⟨,⟩| 线面角θ：sinθ=|cos⟨,⟩| 面面夹角θ：cosθ=|cos⟨n₁→,n₂→⟩| 角的类型 公式 取值范围 异面直线所成角 cosθ=·÷ (0,π÷2] 直线与平面所成角 sinθ=·÷ [0,π÷2] 平面与平面的夹角 cosθ=|n₁→·n₂→|÷(|n₁→||n₂→|) [0,π÷2] 小提示：线面角用的是正弦不是余弦，这是三类角里最容易记混的一条。 知识点梳理　10　第一章·1.4 点到平面的距离：投影长公式 设 是平面 α 的一个法向量，A是平面 α 内任意一点，P是平面外一点，则P到平面 α 的距离等于向量 在法向量方向上的投影长的绝对值。直线与平面平行时，线面距离转化为直线上任意一点到平面的距离；两个平面平行时，面面距离转化为其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离。 d=·÷ 小提示：A必须取在平面内、P取在平面外，代入前先确认 是这个平面的法向量而不是别的向量。 知识点梳理　11　第一章·1.4 点到直线的距离：勾股型公式 设直线l的单位方向向量为，A是直线l上一点，P是直线外一点，把 沿 方向投影得到 在直线上的分量 ·，剩下与直线垂直部分的长度就是P到直线l的距离，这本质上是勾股定理在向量法下的体现。 d=（为单位向量） 小提示： 必须先除以自身的模化成单位向量，直接代入没有单位化的方向向量会得到错误的距离。 知识点梳理　12　第二章·2.1 倾斜角与斜率 在平面直角坐标系中，一条直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定当直线与x轴平行或重合时倾斜角为0°；倾斜角 α 的取值范围是 [0,π)。当 α≠π÷2时，直线的斜率k=tanα；若直线经过P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂) 且x₁≠x₂，也可以用两点的坐标算出斜率。当 α=π÷2时直线垂直于x轴，斜率不存在。 k=tanα（α≠π÷2） k=(y₂−y₁)÷(x₂−x₁)（x₁≠x₂） 小提示：α 在 [0,π÷2) 上k从0增大到＋∞，在 (π÷2,π) 上k从 −∞ 增大到0，两段各自单调但整体不连续，别当成一条单调曲线。 知识点梳理　13　第二章·2.1 两直线平行与垂直的斜率判定 当两条直线l₁,l₂ 的斜率都存在时，l₁∥l₂ 的充要条件是k₁=k₂ 且两直线不重合；l₁⊥l₂ 的充要条件是k₁k₂=−1。如果其中一条直线的斜率不存在（即这条直线垂直于x轴），必须单独讨论：两条竖直线互相平行，一条竖直线与一条水平线互相垂直。 l₁∥l₂⇔k₁=k₂（不重合） l₁⊥l₂⇔k₁k₂=−1 小提示：只写k₁=k₂ 就断定平行是不严谨的，必须补上'不重合'，否则重合直线也会被误判成平行。 知识点梳理　14　第二章·2.2 直线方程的五种形式及适用范围 直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种常见形式，前四种都有各自不能表示的情形，只有一般式Ax＋By＋C=0（A,B不同时为0）能表示平面内的任意一条直线。 点斜式y−y₀=k(x−x₀)；斜截式y=kx＋b 两点式 (x−x₁)÷(x₂−x₁)=(y−y₁)÷(y₂−y₁)；截距式x÷a＋y÷b=1 形式 方程 不能表示的情形 点斜式 y−y₀=k(x−x₀) 斜率不存在的竖直线 斜截式 y=kx+b 竖直线 两点式 (x−x₁)÷(x₂−x₁)=(y−y₁)÷(y₂−y₁) 与坐标轴平行的直线 截距式 x÷a+y÷b=1 过原点或与坐标轴平行的直线 一般式 Ax+By+C=0 无限制，可表示所有直线 小提示：遇到含参数的直线方程题，优先设成一般式或先讨论斜率是否存在，能避免漏解竖直线的情形。 知识点梳理　15　第二章·2.2 一般式下的平行与垂直 对于一般式直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁=0与l₂：A₂x＋B₂y＋C₂=0，不需要讨论斜率是否存在就能直接判断位置关系：两直线垂直的充要条件是A₁A₂＋B₁B₂=0；两直线平行的充要条件是A₁B₂−A₂B₁=0且两直线不重合。 l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂=0 l₁∥l₂⇔A₁B₂−A₂B₁=0且不重合 小提示：求出使A₁B₂−A₂B₁=0成立的参数后，一定要把这个参数代回两条直线方程，检验是否变成同一条直线，重合的取值要剔除。 知识点梳理　16　第二章·2.3 两条直线的交点坐标 两条直线l₁，l₂ 的公共点坐标，就是把它们的方程联立成方程组后的解：方程组有唯一解，两直线相交，这个解就是交点坐标；方程组无解，两直线平行；方程组有无穷多组解，两直线重合。 联立 {A₁x＋B₁y＋C₁=0; A₂x＋B₂y＋C₂=0} 解方程组 小提示：求交点前可以先用一般式的系数比判断两直线是否平行或重合，避免对无解的方程组白费力气去解。 知识点梳理　17　第二章·2.3 两点间距离与中点坐标 平面内两点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂) 间的距离，可以用两点坐标的差构造直角三角形，再用勾股定理得到；线段P₁P₂ 的中点坐标等于两端点对应坐标的算术平均数。 |P₁P₂|= 中点M((x₁＋x₂)÷2,(y₁＋y₂)÷2) 小提示：距离公式里是坐标差的平方和再开方，不要漏掉根号，也不要把两个坐标差交叉相乘。 知识点梳理　18　第二章·2.3 点到直线的距离与两平行线间的距离 点P(x₀,y₀) 到直线Ax＋By＋C=0的距离，可以先求垂足坐标再用两点间距离公式导出，对A=0或B=0的情形同样成立。求两条平行直线之间的距离时，要先把两条直线的一般式化成x，y系数分别相同的形式，再用两个常数项之差除以系数模长。 d=|Ax₀＋By₀＋C|÷ 两平行线(系数相同后) d=|C₁−C₂|÷ 小提示：两平行线的系数不同时（比如一个是另一个的2倍），一定要先通分成同一组A，B，再套用两平行线的距离公式，直接用原始的两个常数项相减是错的。 知识点梳理　19　第二章·2.4 圆的标准方程 平面内到定点 (a,b) 的距离等于定长r(r>0) 的点的集合叫做圆，方程 (x−a)²＋(y−b)²=r² 叫做圆的标准方程，其中 (a,b) 是圆心坐标，r是半径。判断一个点与圆的位置关系，只需要比较这个点到圆心的距离与半径r的大小：距离小于r在圆内，等于r在圆上，大于r在圆外。 (x−a)²＋(y−b)²=r²（圆心(a,b)，半径r） 小提示：已知直径的两个端点求标准方程时，圆心是这两点的中点，半径是这两点间距离的一半，不要直接把端点当成圆心。 知识点梳理　20　第二章·2.4 圆的一般方程及其成立条件 把圆的标准方程展开可以得到关于x，y的二元二次方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0，其中x²，y² 的系数相等且都不为0、没有xy项。反过来，这样的方程只有在D²＋E²−4F>0时才表示一个圆，此时圆心坐标是 (−D÷2,−E÷2)，半径是 ÷2。 圆心(−D÷2,−E÷2)，半径r=÷2（要求D²＋E²−4F>0） 小提示：看到含参数的一般方程题，先写出D²＋E²−4F>0这一条件再求圆心半径，不能只顾着配方而漏掉这一步检验。 知识点梳理　21　第二章·2.5 直线与圆的位置关系：几何法与代数法 判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，d<r相交、d=r相切、d>r相离；代数法把直线方程代入圆的方程消元，用判别式 Δ 的符号判断。当直线与圆相交时，弦长可以用弦心距d与半径r构成的直角三角形算出。 几何法：比较d与r；代数法：比较 Δ=b²−4ac与0 弦长= 位置关系 几何法(d与r) 代数法(判别式Δ) 相交 d<r Δ>0 相切 d=r Δ=0 相离 d>r Δ<0 小提示：算弦长时先求出弦心距d（点到直线的距离），别把d和其他线段长度搞混。 知识点梳理　22　第二章·2.5 圆的切线与切线长 圆上一点处的切线与过该点的半径互相垂直，据此可以直接写出圆上一点处切线的方程。过圆外一点可以作两条切线，其中一条切线的斜率可能不存在（此时是竖直线），只设点斜式方程会漏掉这种情形。圆外一点P到切点的距离（切线长），可以用勾股定理由P到圆心的距离与半径算出。 圆上一点M处的切线：该切线⊥半径CM 切线长= （P为圆外一点，C为圆心） 小提示：求过圆外一点的切线方程时，先检验过这点的竖直线是否与圆相切，两条切线都要写，别漏掉竖直的那条。 知识点梳理　23　第二章·2.5 圆与圆的位置关系与公共弦 比较两圆的圆心距d与两半径之和r₁＋r₂、两半径之差的绝对值 |r₁−r₂| 的大小，可以确定两圆的位置关系，一共有外离、外切、相交、内切、内含五种情形。当两圆相交时，把两个圆的一般方程相减，消去二次项，得到的一次方程就是两圆公共弦所在直线的方程。 d>r₁＋r₂外离；d=r₁＋r₂外切；|r₁−r₂|<d<r₁＋r₂相交；d=|r₁−r₂|内切；d<|r₁−r₂|内含 位置关系 圆心距d与半径的关系 外离 d>r₁+r₂ 外切 d=r₁+r₂ 相交 |r₁−r₂|<d<r₁+r₂ 内切 d=|r₁−r₂| 内含 0≤d<|r₁−r₂| 小提示：两圆方程相减得到的是公共弦所在直线的方程，不是两圆的交点坐标，还需要联立才能求出具体交点。 　【题型1】基底拆分：把目标线段写成三条共点棱的组合再求长 1．帐篷支撑架搭成四面体P－QRS（P为顶端连接点），从P出发的三条支撑杆PQ＝3，PR＝2，PS＝4（单位：分米），且∠QPR＝90°，∠QPS＝60°，∠RPS＝90°。记＝，＝，＝。在底边QR上取点M，使QM∶MR＝1∶2，从S到M加装一根加固杆。(1) 用，， 表示；(2) 求加固杆SM的长。 　题型1　变式 2．同一个灯架也搭成四面体形状，从顶端连接点O出发的三条支杆OA＝2，OB＝1，OC＝2，且∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∠BOC＝90°。挂点M满足＝t·＋（t为正实数）。若 |OM|＝，则t＝________。 　【题型2】四点共面与三点共线的系数判定 3．给定不共线三点A，B，C以及空间中一点O，动点P分别按下列四组向量式取值；这四组条件里，哪一组能确定P落在平面ABC内（　　） A．=(1÷2)＋(1÷3)＋(1÷6) B．=(1÷2)＋(1÷3)＋(1÷4) C．=(2÷3)＋(1÷3)＋(1÷3) D．=(1÷4)＋(1÷4)＋(1÷4) 　题型2　变式 4．光伏支架上有四个安装点A(1,0,1)，B(2,1,0)，C(0,1,2)，D(m,2,1)（单位：米），要求四点在同一块平面支架上（即四点共面），则m＝________。 　【题型3】法向量速求与线面、面面位置的坐标判定 5．书柜的骨架是直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥AB，AB＝4，AD＝3，DC＝2，侧棱AA₁＝2（单位：分米）。取A为坐标原点，把两两垂直的AB，AD，AA₁ 分别当作x轴、y轴、z轴的正方向，写出各顶点坐标。(1) 写出平面A₁BD的一个法向量；(2) 再写出平面BDC₁ 的一个法向量；(3) 求直线AA₁ 的方向向量与平面BDC₁ 的法向量的数量积，并由此判断直线AA₁ 与平面BDC₁ 的位置关系。 　题型3　变式 6．某仓库屋顶的三棱锥形支撑架P－ABC满足PA⊥底面ABC且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，PA＝2（单位：米）。因为棱PA，AB，AC三条棱两两垂直，把A点选为原点，让这三条棱各自当作一条坐标轴（，，）。N是棱AC的中点，M是棱PC上一点，＝（0＜λ＜1）。求 λ 的值，使支杆MN与侧面PAB平行。 　【题型4】三类空间角的公式选用：正弦还是余弦、何时取绝对值 7．四棱锥P－ABCD是展馆的采光顶骨架：底面ABCD为正方形，边长是2；侧棱PD垂直于底面ABCD，其长度为3（单位：米）。由于PD⊥底面ABCD且底面是正方形，取D为坐标原点，DA，DC，DP两两垂直，依次沿x轴、y轴、z轴正方向建系。(1) 棱PB与地面（底面ABCD）之间的夹角，其正弦值等于多少；(2) 沿棱PB折出的两块采光面PAB、PCB之间的夹角余弦值是多少。 　题型4　变式 8．滑梯的支撑结构是四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4（单位：米），建系方式与例题相同（D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴）。M是棱PB上一点，＝（0≤λ≤1）。若直线DM与底面ABCD所成角的正弦值为 ÷3，则 λ＝________。 　【题型5】空间距离的两个公式：点到平面投影长与点到直线勾股型 9．集装箱内用隔板分割空间，隔板轮廓是长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的一个截面三角形BDC₁，其中AB＝5，AD＝3，AA₁＝2（单位：米）。长方体的三条棱两两垂直，取A为坐标原点，沿AB方向为x轴、沿AD方向为y轴、沿AA₁ 方向为z轴建立空间直角坐标系。(1) 长方体顶点A到截面BDC₁ 所在平面的距离是多少；(2) 求顶点A₁ 到面对角线BC₁ 所在直线的距离。 　题型5　变式 10．仓库管理员在平面 α 内标出一点A(1,2,0)，测得平面 α 的一个法向量=(2,−1,2)，平面外货物所在点P(3,−1,2)（单位：米），则P到平面 α 的距离是________；又知平面 β 与 α 平行，且 β 过点Q(0,0,3)，则平面 α 与 β 之间的距离是________。 　【题型6】方向向量写直线：从向量条件到直线方程（跨章综合） 11．无人机航线直线l经过起降点A(1,2)（单位：百米），方向向量为=(2,−1)，则直线l的一般式方程是________；另一条航线直线l′ 经过起降点B(3,0)，且以 为法向量，则直线l′ 的一般式方程是________。 　题型6　变式 12．两条索道分别由空间中的两对支撑点确定：索道① 经过M₁(1,2,5)，M₂(3,4,2)；索道② 经过N₁(0,1,3)，N₂(4,−1,6)（单位：百米）。把这两条索道分别投影到地面xOy平面上（即取各点的横、纵坐标）。(1) 求两条投影直线的方程；(2) 求这两条投影直线夹角的余弦值。 　【题型7】点线距离两种算法对照：平面公式与空间向量公式（跨章综合） 13．在z=0平面内，一盏路灯的底座在点P(4,1,0)，一条道路所在直线l：3x＋4y−7=0（把它看作空间中z=0平面内的直线）。(1) 用平面几何的点到直线距离公式求P到 直线l的距离；(2) 在 直线l上取一点A(1,1,0)，用空间向量的点到直线距离公式再算一次P到 直线l的距离，并比较两次结果。 　题型7　变式 14．两条平行直线l₁：3x＋4y−2=0与l₂：6x＋8y＋c=0（河道两岸的堤坝走向），已知这两条堤坝走向之间相隔的距离恰好是3，求c的值（　　） A．c=13或c=−17 B．c=−34或c=26 C．c=34或c=−26 D．c=−46或c=38 　【题型8】由几何条件定圆：待定系数选标准式还是一般式 15．喷灌系统的一段圆形喷洒范围，其直径的两个端点分别是M(1,2)，N(5,6)（单位：米），水泵房位于坐标原点O。(1) 写出这个圆的标准方程；(2) 喷洒圆周上的点到水泵房O的距离，最大能到多少米？最小呢？ 　题型8　变式 16．某信号塔的覆盖圆经过三个测量点A(7,1)，B(2,6)，C(−1,5)（单位：千米），设圆的一般方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0，则D＝________，E＝________，F＝________，圆心坐标是________，半径是________。 　【题型9】直线与圆、圆与圆：用 d 与 r 比较解决弦长、切线与相切求参 17．雷达基站的覆盖圆C：(x−4)²＋(y−1)²=25（单位：十千米）。(1) 一条过定点Q(3,−7)（航标）、斜率为k的扫描线被圆C截得的弦长为6，求k的值；(2) 求过圆外一点R(9,9) 的圆C的所有切线方程。 　题型9　变式 18．水波扩散问题：石子甲激起的定圆C₁：x²＋y²=4（圆心A(0,0)，半径2），石子乙激起的圆C₂ 圆心为B(8,6)，半径为t（t＞0，随时间增大）。(1) 求圆C₁ 与圆C₂ 外切时t的值；(2) 求圆C₁ 与圆C₂ 内切时t的值。 　【题型10】数量积条件翻译成圆：向量语言与圆方程的互化（跨章综合） 19．已知平面内两定点A(1,2)，B(5,6)，动点P满足·=8，则点P所在圆的圆心坐标是________，半径是________。 　题型10　变式 20．无人车巡检路径问题：在上一题中以点C(3,4) 为圆心、半径为4的圆上，直线l：x＋y＋m=0是无人车的一条巡检基准线，它与圆交于E，F两个停靠点。若·=0，求实数m的值。 　易错专练 21．关于直线的倾斜角 α 与斜率k，下列说法正确的是（　　） A．α∈[0,π]，且任意直线都存在斜率 B．α∈(0,π)，当 α 为钝角时直线的斜率不存在 C．α∈[0,π)，当 α=π÷2时直线的斜率不存在（其余情况k=tanα） D．α∈[0,π)，且任意直线的斜率都等于tanα 22．有一条直线l过点A(2,3)，题目要求 直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程是________（写出所有可能的情形）。 23．直线l₁：(m−1)x＋2y＋3=0与直线l₂：3x＋my−3=0互相平行，求m的值（　　） A．m=−3或m=2 B．m=3或m=−2 C．m=−2 D．m=3 24．已知圆C：(x＋1)²＋(y−2)²=4，点P(1,5)。求过点P的圆C的切线方程（写出全部）。 25．无人机巡检屋面与航线的夹角问题：无人机航线l的一个方向向量为=(1,−1,0)，仓库屋面 α 的一个法向量为=(1,0,−1)，机务人员想知道航线l与屋面 α 所成角的正弦值是多少（　　） A． B．/2 C．/2 D．1 26．设平面 β 的法向量为=(−1,−2,2)，平面 α 的法向量为=(2,2,1)，则平面 α 与平面 β 夹角的余弦值是________。 27．老师在黑板上写下方程x²＋y²＋6x−8y＋m=0，并说这个方程表示一个圆，请指出m应当满足的取值范围（　　） A．m>25 B．m<25 C．m≤25 D．m<100 28．已知空间向量=(1,−2,2)，=(x,1,−1)。已知向量与所成的角是钝角，那么实数x的取值范围为________。 　方法清单 方法　01　基底法：先选三条共点且已知长度夹角的向量作基底，目标向量沿棱路走一遍写组合 遇到求某条线段长度或证明位置关系的问题，先在图中选三条从同一点出发、长度与夹角都已知的棱作为基底，把目标向量沿着棱的路径逐段替换成基底的线性组合，再用数量积展开求模长；这样可以避免建立坐标系。 目标向量＝路径上各段向量之和，逐段替换为＋＋ 方法　02　坐标法建系：优先找两两垂直的三条棱，点坐标逐个写并用向量长度自检 遇到含直角（或垂直关系）的几何体时，优先寻找两两垂直的三条棱作为x，y，z轴建立空间直角坐标系，逐个写出各顶点的坐标，再用两点间距离公式把关键棱长核对一遍，确认坐标没有写错。 =　用于自检坐标是否正确 方法　03　法向量：设 n=(x,y,z)，与平面内两个不共线向量数量积为 0，令一个分量为便于计算的非零数 想求某个平面的法向量，可以设它为=(x,y,z)；在该平面里挑两个不共线的向量，让 分别与它们的数量积都等于零，就凑出了两条方程。 ·=0且·=0（,为平面内两个不共线向量） 方法　04　角：先判是哪类角再选正弦或余弦，最后看是否取绝对值 遇到求角的问题，先判断这是异面直线所成角、线面角还是面面角，再确定要用余弦还是正弦公式；异面直线所成角和面面角的公式都要在最后取绝对值，线面角公式本身就是用正弦表示，别用错三角函数。 异面、面面用cosθ=|cos⟨方向或法向量⟩|；线面用sinθ=|cos⟨方向向量,法向量⟩| 方法　05　距离：点面距用投影长，点线距用勾股型，平行线面距离转化为点面距 点到平面的距离用投影长公式计算，点到直线的距离用勾股型公式计算；线面平行时的距离、面面平行时的距离，都可以转化成上述两种点到平面（或点到直线）的距离来求。 点面距d=·÷；点线距d=（为单位向量） 方法　06　斜率：先看倾斜角是否为直角，再用两点斜率公式 求直线的斜率时，先看这条直线是否垂直于x轴（斜率不存在），排除这种情形后，再用两点坐标代入斜率公式计算，注意分子分母的顺序不要写反。 k=(y₂−y₁)÷(x₂−x₁)（x₁≠x₂） 方法　07　设直线方程：已知点和斜率用点斜式，截距条件记得补过原点或竖直的情形 已知一个点和斜率时用点斜式设直线方程；已知截距条件时要想到还可能存在过原点或与坐标轴平行这两种特殊情形，不要只设截距式就把它们漏掉。 点斜式y−y₀=k(x−x₀)；截距式x÷a＋y÷b=1（a,b均不为0） 方法　08　平行垂直：一般式系数判定可避开斜率不存在的讨论，平行记得排除重合 判断两条直线的平行或垂直关系时，用一般式的系数直接判断可以避免讨论斜率是否存在这一麻烦；用平行条件求出参数后，一定要代回两条直线方程检验是否会导致重合，重合的取值要排除掉。 l₁⊥l₂⇔A₁A₂＋B₁B₂=0；l₁∥l₂⇔A₁B₂−A₂B₁=0且不重合 方法　09　定圆：已知圆心半径相关条件用标准式，已知三点用一般式 已知圆心和半径（或能直接算出圆心半径）的条件，用标准方程设圆比较方便；已知圆上三个点的坐标时，用一般方程设圆、代入三个点列方程组求D，E，F更省事。 标准式(x−a)²＋(y−b)²=r²；一般式x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0（D²＋E²−4F>0） 方法　10　直线与圆：几何法算 d 与 r 比较，弦长用半弦、弦心距、半径构成的直角三角形 两个数放在一起比：先求出圆心到直线的距离d，再与半径r比大小，由此就能判断直线和圆之间有没有公共点、有几个公共点；一旦有两个公共点，弦长直接由半弦长、弦心距d、半径r组成的直角三角形算出。 d<r相交（弦长=）、d=r相切、d>r相离 　课后作业（一）基础过关 29．工程测量中记录了一个空间监测点A(2,−3,4)（单位：米），因监测面板设在yOz平面上，需要标出它关于yOz平面的镜像点用于校准仪器，这个镜像点的坐标是（　　） A．(2,3,4) B．(2,−3,−4) C．(−2,−3,4) D．(−2,3,−4) 30．已知空间向量=(2,3,3)，=(2,2,2)，求 的值（　　） A．36 B．10 C． D．6 31．某工程测量记录了两个方向向量=(3,1,−2) 和=(2,k,5)，工程师说这两个方向互相垂直，则k＝________。 32．工地上一根钢梁所在直线l的方向向量是=(2,−1,3)，一块钢板所在平面 α 的法向量是=(1,2,0)，判断钢梁所在直线l与钢板所在平面 α 的位置关系（　　） A．直线l∥α 或 直线l⊂α B．直线l⊥α C．直线l与 α 斜交（既不平行也不垂直） D．无法确定位置关系 33．正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，面对角线A₁B与AD₁ 所成角的余弦值是________。 34．无人机巡检时测得：信号塔天线阵列所在平面 α 内一点A(1,1,1)，其法向量=(2,−2,1)，无人机所在位置P(3,0,2) 在平面外，则无人机到平面 α 的距离是________。 35．在比例尺地图上量得两点A(0,1)，B(−1,1＋（单位：百米），过这两点的道路所在直线的倾斜角是（　　） A．60° B．120° C．150° D．30° 36．已知直线l₁：ax＋3y−1=0与l₂：2x−4y＋5=0互相垂直，则a＝________。 37．直线在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，求这条直线的一般式方程（　　） A．2x−3y＋6=0 B．3x−2y−6=0 C．2x−3y−6=0 D．2x＋3y−6=0 38．两条平行的巡逻航线l₁：2x＋3y−4=0与l₂：4x＋6y＋10=0（单位：海里），它们之间的距离是________。 39．圆的一般方程是x²＋y²−4x＋6y−12=0，求圆心坐标与半径（　　） A．圆心(−2,3)，半径5 B．圆心(2,−3)，半径10 C．圆心(2,3)，半径5 D．圆心(2,−3)，半径5 40．已知圆C：圆心 (2,1)，半径5，直线l：3x−4y＋5=0。(1) 判断圆心到直线l的距离与半径的大小关系，并给出该距离的值；(2) 直线l与圆C相交于两点，求这两个交点之间的线段长度。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $