期中复习专题01 空间向量及其运算【知识清单+11大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 知识点6：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 知识点7：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 知识点8：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点9：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点10：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点11：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 考点一 空间向量的有关概念 考点二 空间向量的线性运算 考点三 空间向量共线、共面的判定及其应用 考点四 空间向量基本定理及其应用 考点五 空间向量的坐标运算 考点六 空间中点的对称问题 考点七 空间向量的数量积及其应用 考点八 空间向量投影的问题 考点九 空间向量模长的问题 考点十 空间向量平行、垂直的问题 考点十一 空间向量夹角的问题 考点一 空间向量的有关概念 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 2．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 3．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 4．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 考点二 空间向量的线性运算 5．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 考点三 空间向量共线、共面的判定及其应用 9．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 10．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 11．（26-27高二上·新疆·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面且不在该平面内，若，则实数的值为____. 12．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）对于空间一点，下列命题中正确的是（     ） A．若，则，，，C四点共面 B．若，则，，，四点共面 C．若，则，，三点共线 D．若，则是线段的中点 考点四 空间向量基本定理及其应用 13．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（   ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在四面体中，点满足，点在线段上，，则（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 考点五 空间向量的坐标运算 17．（26-27高二上·天津宝坻·阶段检测）已知，，，则__________． 18．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知，则______. 19．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知，，.求： (1)； (2). 20．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 考点六 空间中点的对称问题 21．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 考点七 空间向量的数量积及其应用 25．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若空间的单位基底满足，则（     ） A． B． C． D． 26．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 27．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 28．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则_______． 考点八 空间向量投影的问题 29．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 30．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 31．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 考点九 空间向量模长的问题 33．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知空间向量 ，． (1)求 与 的坐标，并求 ； (2)若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ． 34．（26-27高二上·广东·期中）已知_______ 35．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）在空间四边形ABCD中，若向量，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（     ） A． B． C． D． 36．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 考点十 空间向量平行、垂直的问题 37．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知向量，，若，共线，则（    ） A．15 B．12 C．10 D．7 38．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）已知空间向量，，． (1)若与垂直，求x的值； (2)若，求． 39．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 40．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，，且，则（ ） A． B． C．6 D． 考点十一 空间向量夹角的问题 41．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 42．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求向量与所成夹角的余弦值； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）． 43．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）已知空间向量，． (1)若，求z的值； (2)若，求与的夹角． 44．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，，则用，，表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间向量，，则（   ） A．2 B． C． D．1 7．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 8．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知，若（  ） A．1 B． C．2 D． 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·新疆·期中）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A．若 与 关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若 三点共线，则 11．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 13．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则________． 14．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，． (1)用基底表示向量，； (2)利用空间向量证明； (3)求的长． 16．（26-27高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角； (2)若向量与互相垂直，求实数的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 知识点1：空间向量的有关概念及其简单应用 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同． (3)空间向量不能比较大小． 知识点2：空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＝或＋…＋＝0． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (2)向量λa与向量a一定是共线向量． 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 知识点4：空间向量共线的充要条件 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性． (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 证明空间三点共线的方法 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 知识点5：空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 知识点6：空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． 知识点7：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【注意】(1)基底中不能有零向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 用基底表示向量时应注意的两点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求． 知识点8：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点9：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点10：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点11：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 考点一 空间向量的有关概念 考点二 空间向量的线性运算 考点三 空间向量共线、共面的判定及其应用 考点四 空间向量基本定理及其应用 考点五 空间向量的坐标运算 考点六 空间中点的对称问题 考点七 空间向量的数量积及其应用 考点八 空间向量投影的问题 考点九 空间向量模长的问题 考点十 空间向量平行、垂直的问题 考点十一 空间向量夹角的问题 考点一 空间向量的有关概念 1．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 【答案】AC 【详解】A选项，单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，所以A选项错误； B选项，长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，所以B选项正确； C选项，，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，所以C选项错误； D选项，向量相等要求模相等、方向相同，当终点位置相同，则起点必须相同，所以D选项正确． 2．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 3．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 4．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 考点二 空间向量的线性运算 5．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 6．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 8．（26-27高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用平行六面体向量运算法则，结合向量加减法、相等与相反向量对每个表达式拆分合并，判断结果是否为零向量. 【详解】选项A：由平行四边形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项B：由向量减法法则得，再由三角形法则得，符合要求； 选项C：由三角形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项D：，，代入得原式，符合要求.    考点三 空间向量共线、共面的判定及其应用 9．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 10．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 11．（26-27高二上·新疆·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面且不在该平面内，若，则实数的值为____. 【答案】 【详解】， 因为四点共面， 所以，解得. 12．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）对于空间一点，下列命题中正确的是（     ） A．若，则，，，C四点共面 B．若，则，，，四点共面 C．若，则，，三点共线 D．若，则是线段的中点 【答案】BC 【详解】对于A，由，则，，，C四点不共面，故A错误； 对于B，由，则，，共面，则，，，四点共面，故B正确； 对于C，由，则，，三点共线，故C正确； 对于D，由，则，即，则，，三点共线，且是线段的中点，故D错误． 考点四 空间向量基本定理及其应用 13．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用空间基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，因，即，，是共面向量，不能构成空间基底，故A错误； 对于B，因，即，是共面向量， 不能构成空间基底，故B错误； 对于C，因，即是共面向量， 不能构成空间基底，故C错误； 对于D，对于，假若， 则可得，该方程显然无解， 即不是共面向量，能构成空间的一个基底，故D正确. 14．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以，解得，所以. 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在四面体中，点满足，点在线段上，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算将用基底表示，结合空间向量基本定理对应系数相等求解，进而计算. 【详解】由，可得； 因点在线段上，设，则； 由向量减法法则得：； 将展开，其中，代入得：； 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等，列方程组： ，解得，； 计算得. 16．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 【答案】 / 【分析】利用空间向量基本定理将用线性表示，对照求出的值即得. 【详解】因点为与的交点，则, 于是 ，则， 故. 考点五 空间向量的坐标运算 17．（26-27高二上·天津宝坻·阶段检测）已知，，，则__________． 【答案】 【详解】根据空间向量的坐标线性运算法则， . 18．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知，则______. 【答案】 【详解】因为，则， 且，所以. 19．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知，，.求： (1)； (2). 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 因为 ，所以. （2）因为，，， 所以. 20．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用、确定平面的一个法向量，再由平面得与该法向量垂直，从而得到的关系，任取一组满足条件的数即可. 【详解】由得 向量满足所以是平面的一个法向量. 又在平面内，所以与垂直，即因此 例如取，可得一个符合题意的点 答案不唯一，任取满足的均可. 考点六 空间中点的对称问题 21．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据空间直角坐标系的定义，点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 22．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 23．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点关于原点对称的坐标规则即可得到对称点坐标. 【详解】点关于原点成中心对称的点的坐标是. 24．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是. 考点七 空间向量的数量积及其应用 25．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若空间的单位基底满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合单位向量的模长性质及已知的基底夹角的余弦值代入计算即可得到结果. 【详解】根据向量数量积的线性运算律，将所求表达式展开，得， 由为单位基底，得，因此， 根据向量数量积的定义，结合已知，可得： ， 将上述结果代入展开式计算，得，故D正确. 26．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 【答案】 【分析】利用三角形中位线化简向量，结合正四面体棱长相等、棱夹角为的特点，先由已知数量积求出棱长的平方；再借助向量中点公式拆分目标向量，展开数量积运算求值. 【详解】因为分别是的中点，由三角形中位线性质得：. 设正四面体的棱长为，正四面体从同一顶点出发的两条棱的夹角为，因此：, 代入已知，得：，因为，所以，即正四面体的棱长为2. 拆分目标向量 ：，，计算点积得 27．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设得到点的坐标参数，将转化为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，故可设，， 则，. ， 该式为关于的开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为. 28．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则_______． 【答案】/ 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为 考点八 空间向量投影的问题 29．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，. . . 在上的投影向量的模为：. 30．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【详解】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【分析】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 31．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 32．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    考点九 空间向量模长的问题 33．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知空间向量 ，． (1)求 与 的坐标，并求 ； (2)若 与 平行（共线），求实数 的值，并求 ． 【答案】(1) ，，. (2) ，. 【详解】（1）由 ，，得 ， ， 故 . （2），，由 与 平行， 则 ，可得 ，得 ，经检验符合题意， 此时 ，故 . 34．（26-27高二上·广东·期中）已知_______ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】已知，所以， 则. 35．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）在空间四边形ABCD中，若向量，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点构造三角形中位线，利用空间向量线性运算求出的坐标，再计算其模长即可。 【详解】取的中点，连接、. 因为为的中点，为的中点，所以是的中位线，因此； 同理，为的中点，所以是的中位线，因此. 由向量减法的三角形法则得：. 代入已知，， 得： ， ， 因此. 根据空间向量模长公式，. 36．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：， 解得，所以或，所以； 解法二：， 所以. 考点十 空间向量平行、垂直的问题 37．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知向量，，若，共线，则（    ） A．15 B．12 C．10 D．7 【答案】A 【详解】因为向量，，且，共线， 所以，解得，，所以． 38．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）已知空间向量，，． (1)若与垂直，求x的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解； （2）由，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，，， 可得， 因为，可得，解得. （2）解：因为，可得，解得，即， 则，且， 所以. 39．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【详解】选项A、若，则， 即， 解得，选项A错误； 选项B、当时，， 解得，选项B正确； 选项C、当时，， 则，选项C正确； 选项D、当时，， ，， 所以，选项D正确． 40．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，，且，则（ ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 所以，， 得． 考点十一 空间向量夹角的问题 41．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【分析】选项A，根据空间向量模长公式求解；选项B，根据空间向量垂直的坐标表示求解；选项C，向量夹角为钝角说明数量积小于，并且不能是平角；选项D，根据投影向量的公式求解. 【详解】对于选项A，若，则，解得，选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，选项B正确． 对于选项C，若为钝角，则，解得， 且两向量夹角不能是平角，即两向量不共线，则，所以且，选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 42．（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求向量与所成夹角的余弦值； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用空间向量平行的比例关系求出，再由向量垂直数量积为求出； （1）求出，代入向量夹角公式计算余弦值； （2）套用投影向量公式，计算得到在上的投影向量． 【详解】（1），，， 由，得，解得，， 所以，， 又，所以， 解得，所以， 所以，， ， ，， 所以； （2）因为，， 所以，， 在上的投影向量为． 43．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）已知空间向量，． (1)若，求z的值； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量垂直等价于数量积为0，先求出的坐标，再利用数量积公式列方程求解参数，最后检验向量非零. （2）先求得的坐标，分别计算数量积与向量模长，代入夹角公式求出余弦值，再结合向量夹角范围求出夹角. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 即， 解得，此时为非零向量，所以． （2）若，则，， 所以. 又，， 所以. 因为，所以与的夹角为． 44．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）当时，求出向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为空间向量，，则， 故. （2）若，则，则， 故， 又因为，故， 即当时，与的夹角为. 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】D 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的方向是任意的，它们不一定相等，A正确； 对于B，在正方体中，对角面是矩形，则，B正确； 对于C，空间向量满足，则，C正确； 对于D，空间向量满足，而向量的方向不一定相同，因此向量不一定相等，D错误. 2．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，，且，得在上的投影向量为. 3．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点在上的位置参数化，利用平行于平面，把表示为平面内两个不共线向量的线性组合，再比较、、的系数． 【详解】设，其中． 取，，，则，，． 由直线平面，且平面存在，向量、不共线，故存在实数、，使． 由于为平行四边形，与不共线； 又不在底面所在平面内，所以、、线性无关． 比较三者的系数，得，，． 由得，再由得，代入得，所以． 因此． 4．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，，则用，，表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算，结合中点公式及共线向量定理，将逐步转化为基底向量的线性组合. 【详解】由题意可知，是的中点，根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得， 因为点在线段上，且，即，所以， 故. 又因为点在线段上，且，所以， 根据向量减法的三角形法则，， 所以， 最后，由向量加法的三角形法则可得：， 将代入上式，得：， 故选A. 5．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量线性运算，可得，再利用数量积运算性质即可求解． 【详解】因为， 且，，，， 所以 ， 因此线段的长为． 6．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间向量，，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】，故. 7．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积计算即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 所以当时，. 8．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知，若（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】，，， 又，所以， 解得. 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知，，若为钝角，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】转化为且不平行. 【详解】若为钝角，则，得， 当，，得， 所以，且，选项中满足条件的只有或. 10．（26-27高二上·新疆·期中）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A．若 与 关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若 三点共线，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则 ，故A错误； 对于B，由共面向量定理可得B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D， ，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以 ，故D正确． 11．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 选项A：根据空间向量加法的法则，， 在平行六面体中，，， 所以 ，A正确； 选项B：因为为 的中点，所以 ，又 ， 所以 ，B正确； 选项C：， 因为 为 的中点，所以 ， 又 ，，所以 ， 这与选项中的 不符，C错误； 选项D：， 因为 ，。， 所以 ， 这与选项中的 不符，D错误. 12．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 【答案】 【分析】根据向量共面的充要条件可得存在，使得成立，根据坐标列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】因为三向量共面， 所以存在，使得成立， 即，解得. 13．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则________． 【答案】 【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为， 点关于坐标平面的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 从而. 14．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】选取从出发的三条棱作为空间基底，引入参数t表示P，展开数量积得到关于t的二次函数，结合求值域． 【详解】设，已知， ， 点P在线段上，设， 由平行六面体的性质得， ， ， ， ， 令，二次函数开口向上，对称轴， 故最小值， ， 故． 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，． (1)用基底表示向量，； (2)利用空间向量证明； (3)求的长． 【答案】(1) (2)，，， 则夹角为，夹角为， 故 ， 故，即． (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，把目标向量拆解成的线性组合。 （2）把用基底表示，计算数量积，算出结果为0，进而证明垂直； （3）根据向量模长公式，代入各基底模长与两两数量积． 【详解】（1）由菱形的性质得， 故． （2）略 （3）夹角为，夹角为，夹角为， 则 ． 16．（26-27高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角； (2)若向量与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求解即可； （2）利用向量与互相垂直，得 即可求解. 【详解】（1）因为，所以，，，     所以，     因为，所以与的夹角为． （2），，     因为向量与互相垂直，所以，     即，解得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $