专题一 空间向量及其运算《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题一 空间向量及其运算 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 空间向量的概念判断 空间向量数量积 · 空间向量的概念 · 共线与共面向量 2025资阳安岳中学期中 5 题 空间向量的线性运算 空间向量线性运算 · 共线与共面向量 2026长郡中学期中 6 题 空间向量基本定理与基底 空间向量基本定理与基底 2025常州联盟学校期中 7 题 空间向量数量积的计算 空间向量数量积 2027三明北附高级中学月考 5 题 夹角与投影向量应用 空间向量数量积 · 坐标运算求模与夹角 · 投影向量与共面向量 2025抚顺四方高中期中 6 题 空间坐标系与坐标运算 空间坐标系与坐标表示 · 空间向量的概念 · 法向量 · 点面距 2026大连二十四中期中 8 题 坐标法求模、夹角与距离 立体几何综合 · 坐标运算求模与夹角 · 空间距离（坐标法） 2025抚顺四方高中期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 空间向量：空间中既有大小又有方向的量，记作 ，其大小叫模，记作 ；特殊向量：零向量 （方向任意）、单位向量（模为 ）、相反向量（等长反向）与相等向量（同向等长）． 2. 共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量；规定 与任意向量共线，因此"共线"不等于"平行且不重合"． 3. 共面向量：平行于同一平面的向量；空间中任意两个向量必共面，任意三个向量不一定共面，是否共面需用定理判定． 4. 基底：空间中三个不共面的向量构成一个基底；基底不唯一，但同一向量在同一基底下的分解式唯一，这是"比较系数"的合法性来源． 5. 空间向量基本定理：若 不共面，则对任意空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ， 称为 在该基底下的分量． 6. 空间直角坐标系：三条坐标轴两两垂直、单位长度统一，点 与三元实数组 一一对应；建系原则是取几何体中两两垂直的三条棱所在直线为轴，使多数点坐标为非负整数． 7. 对称点规律：关于原点对称 ，关于 轴对称 ，关于平面 对称 ； 口诀"对轴变两个号，对面变一个号"，如 关于平面 的对称点是 ． 8. 两点间距离：，它就是向量 的模，求距离与求模是同一件事． 9. 方向向量与法向量：与直线平行（含在直线上）的非零向量叫直线的方向向量，与平面内一切向量垂直的非零向量叫平面的法向量，两者是向量法求空间角与距离的两大工具． ▍二、法则与公式 1. 加法与减法：（三角形法则，首尾相接）；（减向量的终点指向被减向量的终点）． 2. 数乘运算： 与 共线， 同向、 反向、模变为原来的 倍；线性运算律全部保留，如 ． 3. 中点与分点公式：中点 ；若 分有向线段 成定比 ，则 ． 4. 共线向量定理：非零向量 共线 存在唯一实数 使 ；坐标形式为对应分量成比例（分母不为零时），可求参数或判定共线． 5. 共面向量定理：向量 与不共线向量 共面 存在实数 使 ； 推论：点 在平面 内 存在 使 且 （ 为面外任意点）． 6. 数量积：；坐标形式为 ；满足交换律与对加法的分配律，但不满足结合律． 7. 模长公式：；求对角线长常用 展开为基底数量积的组合逐项计算． 8. 夹角公式：，向量夹角范围是 ；垂直 ；平行时夹角为 或 ，几何角与向量夹角需按定义转化取值． 9. 距离公式：点 到直线 （，方向向量 ）的距离 ，其中投影 ； 点 到平面 （，法向量 ）的距离 ． ▍三、方法技巧 1. 基底表示四步法：选共顶点的三条不共面棱为基底 → 把待表示向量沿几何体的棱"走"成首尾相接的折线 → 用相等向量代换统一为基底 → 合并系数后对照待定系数求值． 2. 共面判定两法：基底法设 后比较系数得方程组，有解则共面、无解则不共面；坐标法直接解三个分量方程，结论相同． 3. 建系三步：定原点（取两两垂直三条棱的公共顶点）→ 沿三条棱所在直线作 轴 → 按棱长写出各点坐标；写坐标前先核对每条线段的实际长度，中点、定比分点的坐标先算再写． 4. 求夹角与模四步：由起点、终点写出向量坐标 → 计算数量积与两个模 → 代入公式 → 按题意转化；异面直线所成角、线面角与向量夹角不一定相等，需取绝对值或按几何角范围换算． 5. 锐角与钝角的参数范围：所成角为锐角 且两向量不共线（同向共线夹角为 ）；钝角同理取 且剔除反向共线，遗漏"不共线"是高频失分点． 6. 基底法证垂直（不建系）：把两条目标线段的方向向量都用基底表示，展开数量积，代入各基底向量的模与夹角数值，证得数量积为零即可，适用于不能直接建系的斜平行六面体等问题． 7. 动点最值三步：在定直线段上设参数坐标 → 把数量积、距离或面积写成 的函数 → 配方或用基本不等式求最值，结束前必须核对参数取值范围，防止最值点越界． 8. 正交基底算数量积：长方体（正方体）棱向量两两垂直且长度已知，展开 时交叉项全为零，目标常化为二次三项式，按平方项与区间分别求最值． 9. 检验习惯：建系后先抽查两个点的坐标是否与图形相符（距离、中点关系），求出结果后回代几何意义检验，这一步常能救回整道解答题的计算失误． ▍四、易错警示 1. "数量积小于零则夹角为钝角"不对：反向共线时夹角为 ，如 与 的数量积为负；正确说法：夹角为钝角 数量积小于零且两向量不共线． 2. "所成角为锐角只需数量积为正"不对：同向共线时数量积也为正，如 与 的夹角是 而非锐角；正确做法：数量积大于零再剔除共线情形． 3. "模相等则向量相等"不对：模相等只说明长度相同，方向可以不同，如正方体中 ；相等向量必须同向等长，如正方体中 才成立． 4. "共线可传递"遇零向量失效：任意向量都与 共线，故由 与 推不出 ；传递性仅在所涉向量均非零时成立． 5. "共面向量组可作基底"不对：基底必须不共面，如 都能由 线性表示而共面；判定能否作基底，列方程组看是否有解即可． 6. "方向向量垂直法向量则线面平行"不完整： 只能得 或 ，如正方体底面棱 的方向向量与底面法向量垂直但 底面；判定平行还需再证 ． 7. 对称点坐标易混轴与面：关于 轴对称得 （保留 ），关于平面 对称得 （只变 ）； 如 关于 轴的对称点是 ，写成 就变成关于原点对称了． 8. 比较系数的前提是基底不共面：分解唯一性依赖基底的不共面性，若用共面的 作"基"，表示式不唯一，对照系数会出错；比较系数前先确认向量组不共面． 9. 数量积无结合律： 是与 共线的向量，而 是与 共线的向量，两者一般不相等，不能像实数乘法那样随意"结合"． 　空间向量的概念判断 方法要领　命题真假判断抓三类反例：零向量（ 与任意向量共线，使共线传递性失效、 中 可不唯一）；方向（模相等≠相等，向量平行≠四点共线）；钝角结论需 且不共线。四点共面看分解式系数和是否为 。 【例】（2025资阳安岳中学期中 10）下面四个结论正确的是（　　）（多选） A．已知向量 ，，若 ，则 为钝角 B．已知 ，，则向量 在向量 上的投影向量是 C．若直线 经过第三象限，则 ， D．已知 ，， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ，，， 四点共面 【答案】BD 【分析】A 用反例：取 时两向量共线反向，夹角为 而非钝角；B 按投影向量公式计算核对；C 取特值 ，， 检验；D 看分解式系数和是否为 （共面向量定理的推论）。 【详解】解：对于A，∵ 当 时，，，∴ （数乘向量的坐标运算）， 此时 与 反向共线，夹角为 ，不是钝角（共线向量的夹角为 或 ），∴ A错误； 对于B，，（数量积与模长的坐标公式）， ∴ 在 上的投影向量为 （投影向量公式），B正确； 对于C，令 ，，，则直线 即 ，经过第三象限， 但此时 ，，与结论不符（反例检验），C错误； 对于D，∵ ， ∴ 由共面向量定理的推论知 ，，， 四点共面（四点共面的充要条件：系数和为 ），D正确． 故选：BD． 【练1】（2025广州中学期中 9）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）（多选） A．若 ，则 或 B．若向量 是向量 的相反向量，则 C．在正方体 中， D．若空间向量 ，， 满足 ，，则 【答案】BC 【分析】A 模相等时方向可以任意，不必共线；B 由相反向量的定义得模相等；C 用相等向量（长度相等且方向相同）判断；D 注意零向量与任意向量共线，共线的传递性对零向量失效。 【详解】解：对于A，模相等的两个向量方向可以任意，未必同向或反向（如两个不同方向的单位向量模相等但不共线）， ∴ 或 不一定成立，A错误； 对于B，∵ 是 的相反向量，∴ （相反向量的定义）， ∴ （模的性质），B正确； 对于C，在正方体 中，四边形 是矩形， ∴ 且 ，∴ （相等向量：长度相等且方向相同），C正确； 对于D，当 时， 与 都成立（零向量与任意向量共线）， 但 与 不一定共线，D错误． 故选：BC． 【练2】（2027鹿邑县高中月考 1）下列关于空间向量的命题中，正确的是（　　） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若 ，则 ，，， 一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】A 单位向量方向可以不同，模相等方向不同则不相等；B 按相反向量的定义判断；C 向量平行只代表方向共线，四点可构成平行四边形；D 向量可自由平移，相等与起终点位置无关。 【详解】解：对于A，单位向量只是模为 的向量，方向可以各不相同（如平面内不同方向的单位向量），模相等而方向不同时两向量不相等（向量相等的定义），A错误； 对于B，长度相等且方向相反的两个向量正是相反向量（相反向量的定义），B正确； 对于C， 只说明 与 所在直线平行或重合（共线向量的定义）， 如平行四边形 中 ，但四点不在同一条直线上，C错误； 对于D，向量由大小与方向确定，与起点位置无关（自由向量可随意平移），相等向量平移后可重合，起点与终点不必相同，D错误． 故选：B． 【练3】（2027鑫飞中学月考 7）以下命题中，不正确的个数为（　　） ①“”是“， 共线”的充要条件； ②若 ，则存在唯一的实数 ，使得 ； ③若 ，，则 ； ④若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底； ⑤ ． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】① 两边平方看等价条件是否双向；② 注意零向量的特殊性；③ 垂直关系的传递性不成立；④ 用共面向量定理反证新向量组不共面；⑤ 按数量积定义展开核对模的关系． 【详解】解：对①，由 平方得 ， ∴ ，即 与 反向，共线，充分性成立； 反之 与 同向共线时等式不成立，必要性不成立， ∴ 是充分不必要条件，①错误； 对②，当 且 时 不存在，当 时 不唯一（零向量与任意向量共线），②错误； 对③， 只说明 （或其中有零向量）， 只说明 ， 推不出 （如 时任意 都满足条件），③错误； 对④，反证：若 共面， 设 （共面向量定理）， 展开得 ， 由基底分解的唯一性比较系数得 ，该方程组无解，矛盾， ∴ 三向量不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，（数量积的定义与数乘的模）， 仅当 或 时才等于 ，⑤错误． ∴ 不正确的命题为①②③⑤，共 个． 故选：C． 【练4】（2027鑫飞中学月考 10）下列结论正确的是（　　）（多选） A．已知向量 ，，则 在 上的投影向量为 B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底 D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 【答案】ABC 【分析】A 用投影向量公式计算后对照；B 检验分解式的系数和是否为 ；C 反证：若共面则 可由 线性表示，与基底矛盾；D 由方向向量与法向量的数量积判断线面位置关系． 【详解】解：对于A，∵ ，（数量积与模长的坐标公式）， ∴ 在 上的投影向量为 （投影向量公式），A正确； 对于B，∵ ， ∴ 由共面向量定理的系数和结论知 四点共面（四点共面的充要条件：系数和为 ），B正确； 对于C，反证：假设 共面，则存在实数 使 （共面向量定理）， 即 ，整理得 ， 则 可由 线性表示， 共面，与 是基底矛盾（基底向量不共面）， ∴ 不共面， 也是空间的一组基底，C正确； 对于D，∵ （数量积的坐标公式）， ∴ ，则 或 （线面平行的向量条件），不一定是 ，D错误． 故选：ABC． 　空间向量的线性运算 方法要领　选共顶点的三条不共面棱作基底，沿折线用 首尾相接，相等向量代换后合并系数；中点用 、定比分点用 ；判定共线共面设 比较系数，方程组有解则共面、无解则不共面。 【例】（2026长郡中学期中 2）如图，在四面体 中，，，．点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选 为基底，用分点向量公式与中点公式把 、 用基底表示，再由向量加法的三角形法则合成 ． 【详解】解：∵ 在线段 上，且 ，∴ （分点向量公式）； ∵ 为 的中点，∴ （线段中点的向量表达式）； ∴ （向量加法的三角形法则） ． 故选：B． 【练1】（2027内蒙古大学附中月考 2）如图，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（　　） ① ； ② ； ③ ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】逐个用向量加法的三角形法则（首尾相接）化简，只要起点为 、终点为 ，结果即为 ． 【详解】解：对于①，（向量加法的三角形法则），①正确； 对于②，（首尾相接法则），②正确； 对于③，（首尾相接法则），③正确； ∴ 运算结果为 的共有 个． 故选：D． 【练2】（2027三明北附高级中学月考 1）在长方体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把减法化为加法（），再用首尾相接法则合并成 ，最后用相等向量代换到上底面对角线． 【详解】解：∵ （相反向量）， ∴ 原式 ； ∵ ，（向量加法的三角形法则）， ∴ 原式 ； 又长方体中 且 ，∴ 四边形 为平行四边形， ∴ （相等向量），即原式等于 ． 故选：C． 【练3】（2025辽宁七校协作体期中 3）已知空间向量 ，，，若向量 ，， 共面，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先验证 与 不共线，再由三向量共面设 （共面向量定理），按坐标列方程组求出 ，回代第三个分量得 ． 【详解】解：∵ 与 的坐标对应不成比例，∴ 与 不共线（共线的坐标表示）； ∵ ，， 共面，∴ 存在实数 使 （共面向量定理）， 即 （数乘与加法的坐标运算）； ∴ （分量对应相等）； 由 得 ，代入 得 ，即 ，解得 ， ∴ （消元求解）， ∴ ． 故选：B． 【练4】（2025资阳安岳中学期中 7）如图，已知 ， 分别是四面体 的棱 ， 的中点，点 在线段 上，且 ，设向量 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用中点向量表达式写出 与 ，再由定比分点公式把 用 ， 表示后代入化简． 【详解】解：∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ ，（中点向量表达式）； ∵ 在线段 上，且 ，∴ （定比分点公式）， 而 （减法的三角形法则）， ∴ （合并同类项） （代入化简）． 故选：C． 【练5】（2027凌云中学月考 10）如图，在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点，，，，则下列等式正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】以 为基底，用向量加法法则与中点向量表达式逐项把各向量用基底表示后对照． 【详解】解：对于A，（向量加法法则）， 而 ，（相等向量代换）， ∴ ，A正确； 对于B，∵ 为 的中点，∴ （中点向量表达式）； 又 （相等向量代换）， ∴ （首尾相接法则），B正确； 对于C，（首尾相接法则）， 其中 ，，（中点向量表达式）， ∴ ，与选项C的结论不符，C错误； 对于D，（首尾相接与中点公式），与选项D的结论不符，D错误． 故选：AB． 　空间向量基本定理与基底 方法要领　设 后对照系数求值（分解唯一才可比较系数）；判断三个向量能否作基底，只看是否共面，常设线性表示式列方程组，无解即不共面、可作基底。 【例】（2025常州联盟学校期中 2）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由对角线互相平分得 为上底面两对角线的公共中点，用中点向量表达式写出 ，再沿 、 首尾相接合成 ． 【详解】解：∵ 为 与 的交点，∴ 是 与 的中点（平行四边形对角线互相平分）； ∴ （中点向量表达式）； 又 ，（相等向量代换），， ∴ （首尾相接法则） ． 故选：D． 【练1】（2027揭阳岐山中学月考 3）若 构成空间的一个基底，则下列向量组中不共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】能作基底的向量组必须不共面：前三组各找一个向量由另两个线性表示即知共面；D 用共面向量定理列方程组，由分解唯一性得矛盾． 【详解】解：对于A，∵ （线性表示）， ∴ 三个向量共面，不能构成基底，A错误； 对于B，∵ （线性表示）， ∴ 三个向量共面，B错误； 对于C，∵ （线性表示）， ∴ 三个向量共面，C错误； 对于D，假设 共面，则存在实数 使 （共面向量定理）， 即 ， 由基底分解的唯一性比较系数得 ，方程组无解，矛盾， ∴ 三向量不共面，可以构成空间的一个基底，D正确． 故选：D． 【练2】（2027鹿寨中学月考 5）已知 是空间的一个基底，则可以和 ， 构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与 、 能构成基底 该向量不能由这两向量线性表示：A、B、C 直接拆开即被表示；D 设表示式后由分解唯一性导出矛盾． 【详解】解：对于A，， 可由 与 线性表示，三向量共面，A错误； 对于B，，三向量共面，B错误； 对于C，，三向量共面，C错误； 对于D，假设 与 、 共面， 则 （共面向量定理）， 由基底分解的唯一性比较系数得 ，方程组无解，矛盾， ∴ 三向量不共面，可以构成空间的另一个基底，D正确． 故选：D． 【练3】（2027鑫飞中学月考 12）已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标是______． 【答案】 【分析】先由基底坐标写出 ，再设新基底下的分解式，展开合并后由分解的唯一性比较系数求 ． 【详解】解：由题意 （基底坐标的定义）； 设 ， 展开得 （合并同类项）， 由向量分解的唯一性比较系数得 （空间向量基本定理）， 解得 ， ∴ 以 为基底时的坐标是 ． 故答案为： 【练4】（2027无锡三中基础测试 17）空间中有一种“斜 坐标系”，其三条数轴（ 轴、 轴、 轴）任意两条的夹角均为 ，，， 分别为三条数轴正方向上的单位向量．若向量 ，则称 的斜 坐标为 ，记作 ．在平行六面体 中，，，，建立“斜 坐标系”如图．若 ，，且 ． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】先写出 、、 及两两数量积均为 ；(1) 用中点条件表示 后作差；(2) 由垂直条件展开数量积求出 ，再用模的平方展开式求模；(3) 把两向量都用 表示后逐项展开． 【详解】解：设 分别为 轴正方向的单位向量， 由 ， 得 ，，（基底坐标的定义）， 且 （数量积的定义）； (1)∵ ，∴ 为 的中点， ∴ （中点向量表达式与 ）； 又 （加法的三角形法则）， ∴ （减法的三角形法则）， 其斜 坐标为 ； (2)由 得 ，且 ； ∵ ，∴ （垂直的充要条件）， 即 （数量积展开），解得 ； ∴ ， ∴ （模的平方展开式）； (3) （数量积展开） （代入数值）． 【练5】（2027揭阳岐山中学月考 6）如图，在四面体 中，点 满足 ， 在 上，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以 为基底，用分点公式与共面向量定理把 的两种表示都化成基底分解式，由分解的唯一性比较系数求出 ． 【详解】解：∵ ，∴ （分点向量公式）； ∵ 点 在 上，∴ 设 （ 为实数，共面向量定理）， ∴ （减法的三角形法则）； 又 （相等向量代换与合并）； ∵ 不共面，∴ 由空间向量基本定理比较系数得 （分解的唯一性）， 解得 ，，∴ ， ∴ ． 故选：C． 【练6】（2027无锡三中基础测试 5）已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个基底，一向量 在基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底坐标写出 ，再设新基底下的分解式，展开合并后由分解的唯一性比较系数求 ． 【详解】解：由题意 （基底坐标的定义）； 设 ， 展开得 （合并同类项）， 由分解的唯一性比较系数得 （空间向量基本定理）， 前两式相加解得 ，，且 ， ∴ 在基底 下的坐标为 ． 故选：B． 　空间向量数量积的计算 方法要领　不能建系时选基底，先算各基底向量的模与两两夹角，用 求两两数量积，再对目标向量作模的平方展开式逐项计算；能建系时直接用 。 【例】（2027三明北附高级中学月考 8）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量 与 的夹角是 D． 与 所成角的余弦值为 【答案】B 【分析】以 为基底，先由棱长与夹角算出基底两两数量积均为 ；A 用模的平方展开式求 ；B 展开 看是否为零；C 由向量夹角的定义求出夹角；D 用夹角公式计算所成角的余弦值． 【详解】解：记 ，，， 则 ，且它们两两夹角均为 ， ∴ （数量积的定义）； 对于A，（加法的三角形法则）， ∴ （模的平方展开式） （代入数值）， ∴ ，A错误； 对于B，（减法的三角形法则）， ∴ （数量积的展开与代入）， ∴ （垂直的充要条件），即 ，B正确； 对于C，∵ ，而 是等边三角形，， 又 （相等向量），∴ 向量 与 的夹角为 （向量夹角的定义），C错误； 对于D，， ∴ （模的平方展开式）， ∴ ； 又 （数量积的展开）， ∴ （夹角公式）， ∴ 与 所成角的余弦值为 ，D错误． 故选：B． 【练1】（2026大连二十四中期中 3）平行六面体 中，，，，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 ，先由题设棱长与夹角算出基底向量的两两数量积，再对模的平方展开式逐项计算求 ． 【详解】解：记 ，，， 则 ，（棱长）； 由 得 （垂直的充要条件）， 由 得 ，（数量积的定义）； ∵ （加法的三角形法则）， ∴ （模的平方展开式） （代入数值）， ∴ ． 故选：A． 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 12）如图，在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，则 =______． 【答案】 【分析】连接 ，则 为等边三角形；由中点向量表达式 展开数量积，再用数量积的定义逐项计算． 【详解】解：连接 ，∵ 正方体棱长为 ，∴ （面面对角线的长）， ∴ 是边长为 的等边三角形； ∵ 为 的中点，∴ （中点向量表达式）； ∴ （数量积的分配律） （数量积的定义与代入）． 故答案为： 【练3】（2027凌云中学月考 14）已知正四面体 的每条棱长都等于 ，点 分别是 的中点，则 的值为______． 【答案】 【分析】用中点向量表达式写出 、，由正四面体的等腰面性质算出基底向量的数量积，展开计算． 【详解】解：∵ 为 的中点，∴ （中点向量表达式）； ∵ 为 的中点，∴ （减法的三角形法则与中点公式）； 由正四面体棱长为 知各侧面均为等边三角形， ∴ ，（数量积的定义）； ∴ （数量积展开） （代入数值）． 故答案为： 【练4】（2027揭阳岐山中学月考 16）平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 ，且 ， 为 中点， 为 中点，设 ，，． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 沿 首尾相接，用中点公式化到底面与侧棱的基底向量；(2) 先由题设算出基底的模与两两数量积，再对 展开求值． 【详解】解：(1)∵ 为 中点， 为 中点， ∴ （中点向量表达式）； 又 ，（减法的三角形法则）， ∴ （相等向量代换与合并）； (2)由题设得 ，， （正方形中 ），（数量积的定义）； ∴ （模的平方展开式） （代入数值）， ∴ ，即线段 的长为 ． 　夹角与投影向量应用 方法要领　垂直求参由 列方程，解后回检向量非零；夹角用 ，由数量积正负定锐钝角时必须再剔除共线情形；投影向量用 。 【例】（2025抚顺四方高中期中 2）已知向量 ，，且 与 互相垂直，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】垂直的充要条件是数量积为零：先用坐标运算写出两向量的坐标，再令数量积等于零，解关于 的方程． 【详解】解：（数乘与加法的坐标运算）； ； ∵ 两向量互相垂直，∴ （垂直的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式）， 解得 ． 故选：D． 【练1】（2027凌云中学月考 11）已知空间向量 ，，则以下说法正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．向量 在 上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】A 用加法与模长公式核对；B、C 用数量积与线性运算的坐标公式；D 用投影向量公式 ． 【详解】解：对于A，（加法的坐标运算）， （模长公式），A错误； 对于B，（数量积的坐标公式），B正确； 对于C，（数乘与加法的坐标运算），C正确； 对于D，（模长公式）， ∴ 投影向量为 （投影向量公式），D正确． 故选：BCD． 【练2】（2027无锡三中基础测试 15）已知空间中三点 ，，． (1)求向量 在向量 上的投影向量的坐标； (2)若点 在平面 内，求 的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 先求 、 的坐标与数量积，再代入投影向量公式 ；(2) 由共面向量定理设 ，按分量列方程组求出 ，回代第三个分量求 ． 【详解】解：(1)∵ ，（向量坐标等于终点减起点）， 又 （数量积的坐标公式）， （模长公式）， ∴ 在 上的投影向量为 （投影向量公式）； (2)∵ （终点减起点）， 又点 在平面 内，∴ 存在实数 使 （共面向量定理）， 即 （数乘与加法的坐标运算）； 由前两个分量得 ，解得 （消元求解）， 代入第三个分量得 （分量对应相等）， ∴ ． 【练3】（2027五德中学月考 7）已知空间向量 ，，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为钝角等价于数量积小于 且两向量不共线：先由 解出 的范围，再剔除使两向量共线的 值． 【详解】解：∵ 与 的夹角为钝角，∴ 且 与 不共线（钝角的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式）， 化简得 ，解得 ； 若 ，则坐标对应成比例，由 得 （共线的坐标表示）， 此时 ，，比例式成立，即 时两向量共线（反向），夹角为 不是钝角，须剔除； ∴ 的取值范围是 ． 故选：B． 【练4】（2027鹿邑县高中月考 6）已知在平行六面体 中，，，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，，，先用已知夹角算出 、，再把 用基底展开，解出 判定 ，最后由平行四边形邻角互补得 ． 【详解】解：设 ，，， 则 ，，； 由 ， 得 ，（数量积的定义）； 在平行六面体中 （向量加减法则）， ∴ （模的平方展开式） （代入数值）； 由 得 ， ∴ （垂直的充要条件），即 ； 在平行四边形 中 （邻角互补）， ∴ ． 故选：B． 【练5】（2027周口开封部分校学情检测 10）如图，点 分别是棱长为 的正四面体 的边 和 的中点，点 在线段 上，且 ．则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．向量 在 方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】用中点公式与定比分点把 用基底表示后判断A；由模的平方展开式求模判断B；展开数量积判断C；用投影向量公式判断D． 【详解】解：∵ 分别是 的中点，∴ ，（中点向量表达式）； 对于A，∵ ，且 在线段 上，∴ （定比分点公式）， ∴ （代入合并），A正确； 对于B，由正四面体棱长为 得 ，且它们两两夹角均为 ， ∴ （数量积的定义）； ∴ （模的平方展开式） （代入数值）， ∴ ，B错误； 对于C， （数量积展开并代入），C正确； 对于D， 在 方向上的投影向量为 （投影向量公式），D正确． 故选：ACD． 　空间坐标系与坐标运算 方法要领　建系三步：定原点（取两两垂直三棱的公共顶点）→沿三棱作轴→按棱长写各点坐标；对称点口诀：关于坐标轴对称变号两个坐标，关于坐标平面对称只变号一个坐标。 【例】（2026大连二十四中期中 8）空间直角坐标系 中，点 ，，定义 ．如图，正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点，点 是平面 内的两个动点，，，则线段 长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按新定义去绝对值分类讨论，得 的轨迹是正方形；再由等角条件用锐角三角函数求出 的轨迹是圆；最后求两轨迹上动点间距离的最值． 【详解】解：由 ，设 （ 在平面 内）， 由 得 （新定义的坐标展开）， 分类去绝对值可知 的轨迹是以 ，，， 为顶点的正方形（每类绝对值对应一条边）； 又 ，，，设 ， ∵ ，∴ （等角的正切相等）， 即 （直角三角形中正切定义）， 化简得 ，∴ 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆（轨迹方程）； 圆心到正方形中心 的距离为 （两点间距离公式）； 正方形各顶点到圆心 的最大距离为顶点 到圆心的距离 ， 最小距离为圆心到正方形边所在直线的距离 （如到直线 的距离 ）， ∴ ，， ∴ 线段 长的取值范围是 ． 故选：A． 【练1】（2027河南部分高中联考 1）已知点 在 轴上，且点 到点 与到点 的距离相等，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 轴上的点横、纵坐标均为 ，设 ，由两点间距离公式列等式解 ． 【详解】解：∵ 点 在 轴上，∴ 设 （ 轴上点的坐标特征）； 由 得 （两点间距离公式）， 即 ， 展开得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． 故选：B． 【练2】（2026杭州二中期中 1）在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于坐标平面对称只变号一个坐标：点关于 平面对称时，横、竖坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：设所求对称点为 ， ∵ 点 与 关于平面 对称，∴ ， 不变，（面对称的坐标规律）， ∴ 点 的坐标为 ． 故选：A． 【练3】（2027新泰一中诊断测试 9）下列说法正确的是（　　）（多选） A．在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中， 是坐标平面 的一个法向量 C．已知 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底 D．以 ，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】A 按关于坐标轴对称的变号规律核对；B 看该向量垂直于哪个坐标平面；C 反证：若能线性表示则与基底矛盾；D 用两点间距离公式算三边并用勾股定理逆定理判定． 【详解】解：对于A，关于 轴对称变号两个坐标（），得 （轴对称的坐标规律），A正确； 对于B， 与平面 内任一向量垂直，是平面 的法向量，而平面 的法向量应沿 轴方向（法向量的定义），B错误； 对于C，假设 可由 线性表示， 设 （共面向量定理）， 整理得 ， 则 可由 线性表示， 共面，与 是基底矛盾（基底向量不共面）， ∴ 不共面，也是空间的一组基底，C正确； 对于D，，（两点间距离公式）， ； ∵ ，∴ 是等腰直角三角形（勾股定理的逆定理），D正确． 故选：ACD． 【练4】（2027内蒙古大学附中月考 8）给出下列命题，其中正确的是（　　） A．点 关于平面 对称的点的坐标为 B．若点 ，，且满足 ，则点 的坐标为 C．若 三点不共线，点 在平面 外，点 满足 ，则当点 共面时，实数 D．向量 在向量 上的投影向量的模长为 【答案】D 【分析】A 按面对称规律核对；B 设 的坐标用定比分点列方程组；C 用“四点共面当且仅当分解式系数和为 ”；D 用投影向量的模等于数量积的绝对值除以投影方向的模． 【详解】解：对于A，点关于平面 对称只变号竖坐标，得 （面对称的坐标规律），A错误； 对于B，设 ，由 得 （向量坐标等于终点减起点）， 即 ，解得 ， ∴ ，与选项不符，B错误； 对于C，当 共面时，由共面向量定理的系数和结论得 （四点共面的充要条件），解得 ，C错误； 对于D，，（数量积与模长的坐标公式）， 投影向量为 （投影向量公式）， 其模长为 ，D正确． 故选：D． 【练5】（2027河北部分学校月考 11）空间直角坐标系 中，已知向量 （），则经过点 且法向量为 的平面方程为 ．根据上面的材料，下列说法正确的是（　　）（多选） A．若过点 的平面方程为 ，则 B．若平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，则这两平面夹角的正弦值为 C．若平面 的方程为 ，则点 在平面 内的射影的坐标为 D．若平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，，则直线 与平面 的夹角的余弦值为 【答案】AC 【分析】由平面方程直接读出法向量（一次项系数）：A 代点验证；B 用两法向量夹角求二面角再取正弦；C 设射影 ，用 与法向量平行且 在面内联立；D 由两法向量联立求交线方向向量，再用线面角公式核对． 【详解】解：对于A，把点 代入 得 （点在平面内则坐标满足方程）， 解得 ，A正确； 对于B，平面 的法向量 ，平面 的法向量 （法向量由方程系数读出）， （夹角公式）， ∴ 两平面夹角的余弦值为 ，正弦值为 （面面角与法向量夹角的关系），B错误； 对于C，平面 的法向量 ，设 在 内的射影为 ， 则 且 （射影与法向量平行）， ∴ （平行向量的坐标关系），且 （ 在平面内）， 解得 ，即射影为 ，C正确； 对于D，设 的方向向量 ，则 与 的法向量都垂直， ∴ （线方向向量与法向量的垂直关系），取 得 ； 平面 的法向量 ，设 与 的夹角为 ， 则 （线面角的向量公式）， ∴ （勾股关系），D错误． 故选：AC． 【练6】（2027新泰一中诊断测试 7）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面 经过点 ，向量 （）为平面 的一个法向量， 是平面 内的任意一点，则平面 的方程为 ．已知平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把平面方程配方成标准形式，由新定义读出法向量与所过定点，写出 后用点面距的向量公式计算． 【详解】解：把 化为 （配方成标准形式）， 由新定义得平面 的一个法向量为 ，且平面经过点 （法向量由一次项系数读出）； ∵ （终点减起点）， ∴ 点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）． 故选：A． 【练7】（2027鹿寨中学月考 10）给出以下命题，其中错误的是（　　）（多选） A．平面 的法向量分别为 ，，则 B．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 C．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直 D．平面 经过三个点 ，，，向量 是平面 的法向量，则 【答案】ABD 【分析】A 看两法向量是否共线；B 由方向向量与法向量的数量积判断线面位置关系；C 算两方向向量的数量积验证垂直；D 由法向量与面内两向量垂直列方程组求出 后对照． 【详解】解：对于A， 与 的坐标对应不成比例（共线的坐标表示）， ∴ 两法向量不共线，∴ 与 不平行，A错误； 对于B，∵ （数量积的坐标公式）， ∴ ，则 或 （线面平行的向量条件），不一定是 ，B错误； 对于C，∵ （数量积的坐标公式）， 又 均为非零向量，∴ （垂直的充要条件），C正确； 对于D，∵ 是平面 的法向量，∴ 且 （法向量的定义）， 而 ，（终点减起点）， ∴ ，解得 （解方程组）， ∴ ，D错误． ∴ 错误的命题为ABD． 故选：ABD． 　坐标法求模、夹角与距离 方法要领　动点在定线段上先设参数坐标 ，再按模用 、夹角用数量积公式、点线距用 （ 为投影）列式，把目标化为二次函数求最值并核对参数范围。 【例】（2025抚顺四方高中期中 11）已知正方体 的棱长为 ，点 是底面正方形 内及边界上的动点，点 是棱 上的动点（包括点 ），已知 ， 为 的中点，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．无论 在何位置， 与 为异面直线 B．若 是棱 的中点，则点 的轨迹长度为 C． 存在唯一的位置，使 平面 D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】以 为原点建系，用中点公式把 的坐标用 表示，由 得 满足 ；A 判定 恒不在对角面内；B 得圆弧求弧长；C 联立法向量条件与轨迹方程看解的个数；D 用线面角公式结合基本不等式求最值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，； 设 ，（ 为 中点的对称形式）， ∵ 在底面内，∴ ；由 得 （两点间距离公式）， ∴ 满足 且 （轨迹为以 为球心的八分之一球面）； 对于A，平面 即 ， 到该平面的距离恒为 （点面距公式）， 若 在该平面内，则由中点位置得 ，此时 ，与 矛盾， ∴ 恒不在平面 内，而 该平面且 在该平面内、， 直线 与该平面只有公共点 ，∴ 与 无公共点且不平行，为异面直线，A正确； 对于B，当 是 中点时 ，则 ，轨迹方程化为 ，， 又 ，，∴ 轨迹是该圆在正方体内的四分之一圆弧（第一象限部分）， 其长度为 （弧长公式），B正确； 对于C，由 ， 得平面 的法向量 （法向量方程组取特解）， 平面 且 不在面内（线面平行的向量条件）， 即 ，得 ； 联立 ，代入得 （消元）， 该方程有无穷多组非负解（如 或 均满足）， ∴ 的位置不唯一，C错误； 对于D，∵ 平面 （长方体的侧棱垂直于侧面）， ∴ ；又正方形 的对角线 ，且 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理），即 为该平面的法向量； 设 与平面 所成角为 ，由线面角的向量公式得 （代入化简）； ∵ （基本不等式， 时取等号）， 且 （代入轨迹方程）， ∴ （约分整理）； 令 ，则 ，， ∴ （基本不等式 ， 即 时取等）， ∴ ，其最大值为 ，D正确． 故选：ABD． 【练1】（2025连州中学期中 11）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，下列说法正确的有（　　）（多选） A．当点 是 的中点时，直线 平面 B．直线 到平面 的距离是 C．存在点 ，使得 D． 的面积的最小值是 【答案】AC 【分析】A 用三角形中位线加线面平行判定；B 先证线面平行再转化为点面距，用等体积法求出后对照；C 建系设参数点 ，由数量积为零列方程看是否有界内解；D 写出面积函数配方求最值对照． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系，则 ，，，，，； 对于A，当 是 中点时，由 且 得 是 的中点， 连接 ，则 也是 的中点，∴ （三角形中位线性质）， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理），A正确； 对于B，∵ 分别是 的中点，∴ （三角形中位线）， 又 平面 ，∴ 平面 ， ∴ 直线 到平面 的距离等于点 到该平面的距离 （线面平行时距离处处相等）； 用等体积法：（换底计算锥体体积）， ，（两点间距离公式）， ∴ （等腰三角形求高）， 由 得 ，B错误； 对于C，设 ，（共线向量的参数设法），则 ， ∴ ，（终点减起点）； 若 ，则 （垂直的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式）， 解得 ，其中 ， ∴ 存在点 使 ，C正确； 对于D，点 在直线 上的射影为 （ 轴）， ∴ 的底边 ，高为 （两点间距离公式）， ∴ （配方求最值）， 面积的最小值为 ，D错误． 故选：AC． 【练2】（2027周口开封部分校学情检测 15）已知向量 ，． (1)求 ； (2)求 与 的夹角； (3)若 与 垂直，求实数 的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1) 先求差的坐标再用模长公式；(2) 用夹角公式求余弦值后定角；(3) 由垂直得数量积为零，解方程并检验两向量非零． 【详解】解：(1)∵ （减法的坐标运算）， ∴ （模长公式）； (2)（数量积的坐标公式）， （模长公式）， ∴ （夹角公式）， 又 ，∴ 所求夹角为 ； (3)，（数乘与加减的坐标运算）； 由垂直得 （垂直的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式），解得 ； 此时 与 均为非零向量（垂直概念只对非零向量定义）， ∴ ． 【练3】（2027五德中学月考 8）在三棱台 中，，，且 ，若 平面 ，则点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以 为原点、 为三轴建系，写出各点坐标后，用点到直线的距离公式（模的平方扣除投影的平方）计算． 【详解】解：∵ 平面 ，， ∴ 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，（三棱台上下底面相似且 ）； ∴ （直线 的方向向量），（终点减起点）， 其中 ，（模长公式）， 且 （数量积的坐标公式）； ∴ 点 到直线 的距离 （点到直线的距离公式）． 故选：C． 【练4】（2027鹿寨中学月考 11）已知正方体 的棱长为 ，点 分别是 的中点， 在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．点 到直线 的距离是 B．点 到直线 的距离为 C．平面 与平面 间的距离为 D．点 到平面 的距离为 【答案】ACD 【分析】以 为原点建系写出各点坐标，由基底分解式定出 ；A、B 用点线距离公式（模的平方扣除投影的平方）；C 先证两面平行再求点面距；D 求法向量后用点面距公式． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，，，（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； 由 得 （基底分解与坐标的对应）； 对于A，，（终点减起点）， ∴ （点到直线的距离公式），A正确； 对于B，，， ∴ （点到直线的距离公式），B错误； 对于C，∵ ，∴ （相等向量）； 又 ，∴ （相等向量）， ，且两线都不在平面 内， ∴ 平面 平面 （面面平行的判定定理）， 两平面间的距离等于点 到平面 的距离（两平行平面间的距离定义）； 设平面 的法向量 ，由 得 （法向量方程组取特解）， 又 ， ∴ 距离为 （点面距的向量公式），C正确； 对于D，，，设平面 的法向量 ， 由 得 （法向量方程组取特解）， 又 ， ∴ 点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式），D正确． 故选：ACD． 【练5】（2027执信中学阶段训练 7）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 ，活动弹子 分别在对角线 上移动，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质得 平面 后以 为原点建系，用参数写出 的坐标，把 表示为参数的二次函数，配方并核对参数范围求最大值． 【详解】解：∵ 平面 平面 ，交线为 ，而 平面 且 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，， ∴ ，（终点减起点）； 由 且 ，设 ，，（等长同比例的参数设法）， 则 ，； ∴ （两点间距离公式与配方）， ∵ 二次函数 在 上于区间端点取得最大值 ，即 或 时 ， ∴ 的最大值为 ． 故选：C． 【练6】（2027新泰一中诊断测试 8）如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的正方形，， 分别是 的中点，设点 是线段 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以 为原点建系写出各点坐标，设 为线段 上的参数点，把 表示为参数的二次函数，配方求最小值并核对参数范围． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，； ∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，（中点坐标公式）； ∵ 在线段 上，∴ 设 ，（共线向量的参数设法）， 即 ； ∴ （两点间距离公式） （展开并配方）； ∵ ，∴ 当 时 取得最小值 （二次函数求最值）， 即 的最小值为 ． 故选：D． 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025钱塘联盟期中 3）在空间直角坐标系中，已知点 ，下列叙述中正确的是（　　） ①点 关于 轴的对称点是 ②点 关于 平面的对称点是 ③点 关于 轴的对称点是 ④点 关于原点的对称点是 A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】依据"关于坐标平面对称只变一个坐标、关于坐标轴对称变两个坐标、关于原点对称变三个坐标"逐条核对． 【详解】解：点 关于 轴的对称点是 （关于轴对称变号两个坐标），①错误； 点 关于 平面的对称点是 （关于面对称只变号 ），②正确； 点 关于 轴的对称点是 ，③错误； 点 关于原点的对称点是 （中心对称全变号），④正确． 故选：C． 2．（6分）（2025广州中学期中 2）已知 为空间的一组基底，能与 组成基底的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能组成基底 该向量与 不共面；逐一检验能否由这两向量线性表示． 【详解】解：∵ ，（向量的线性分解）， （合并同类项）， ∴ 由共面向量定理知 均与 共面，不能组成基底，A、B、D错误； 而 不在 所确定的平面内（基底性质）， ∴ 与 不共面，能组成一组基底，C正确． 故选：C． 3．（6分）（2025常州联盟学校期中 7）如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在线段 上，则点 到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系后用参数设出动点 ，由点到直线的距离公式（模的平方扣除投影的平方）得到关于参数的函数，配方求最小值． 【详解】解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，， ∴ ，（终点坐标减起点坐标）； ∵ 在线段 上，∴ 设 ，（共线向量的参数设法）， 则 ，∴ ； 记投影量 （投影公式）， ∴ 点 到直线 的距离为 （点到直线距离的向量公式） （代入化简） （配方求最值）， 当 时取等号，即最小值为 ． 故选：A． 4．（6分）（2025广州中学期中 8）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（　　） A． B．直线 与 所成角的正弦值为 C．向量 与 的夹角是 D． 平面 【答案】D 【分析】以 为基底：模的平方展开判断A；数量积与夹角公式判断B；相等向量转化夹角判断C；证 与面内两相交向量垂直判断D． 【详解】解：基底向量两两夹角为 且模均为 ， ∴ （数量积的定义）； 对于A，∵ ， ∴ （模的平方展开式）， ∴ ，A错误； 对于B，∵ ，（向量加减法则）， ∴ ，，（展开逐项计算）， ∴ （夹角公式）， ∴ 所成角的正弦值为 （异面直线所成角与向量夹角的转化），B错误； 对于C，∵ ，∴ 与 的夹角即 与 的夹角（共线向量等价转化）， 而 且 ，∴ 为等边三角形， ∴ 所求夹角为 的补角，即 （向量夹角从同一起点看方向），C错误； 对于D，（展开合并同类项）， 同理 ，其中 ， ∴ ，（垂直的充要条件）， 又 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理），D正确． 故选：D． 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 11）在长方体 中，，， 为 的中点．动点 满足 ，其中 ，，则下列说法中正确的是（　　）（多选） A．点 一定在平面 内 B．当 时，点 的轨迹的长为 C．当 三点共线时， D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】A 把 整理成 后用共面向量定理；B 取 中点得轨迹为线段求长；C 用共线条件对照系数找等量关系；D 利用正交基底展开数量积化为二次函数求最值． 【详解】解：对于A，∵ （加法三角形法则）， ∴ （合并同类项）， ∴ 与 共面（共面向量定理），∴ 点 在平面 内，A正确； 对于B，取 的中点 ，连接 ，可证四边形 为平行四边形， ∴ （平行四边形法则）； 当 时，，， ∴ 点 的轨迹为线段 ，其长度为 （三个两两垂直方向分别投影），B正确； 对于C，若 三点共线，则 在直线 上（在平面 内看截线）， 设 （直线 上点的向量设法）， 与 对照得 ，，∴ ，C错误； 对于D，由长方体性质知 两两垂直，且 ，（模长与垂直关系）， ∵ ， ∴ （相反向量数量积不变） （展开时交叉项因两两垂直而为零） （配方求最值）， 当 时取得最小值 ，D正确． 故选：ABD． 6．（6分）（2025连州中学期中 10）在空间直角坐标系 中，已知 ，，，，则以下正确的是（　　）（多选） A． B． 与 夹角的余弦值为 C． 四点共面 D．点 到直线 的距离是 【答案】ACD 【分析】A 用数量积的坐标公式直接验证；B 用夹角公式重算对照；C 用共面向量定理看 能否由 线性表示；D 用点线距离的向量公式（模的平方扣除投影的平方）． 【详解】解：∵ ，（终点减起点）， ∴ （数量积的坐标公式），A正确； ，（模长公式）， ∴ （夹角公式），B错误； ∵ （坐标逐项相加验证）， 由共面向量定理知 四点共面，C正确； ，， 点 在直线 上的投影量平方为 （投影公式）， ∴ 点 到直线 的距离 （点线距离的向量公式），D正确． 故选：ACD． 7．（6分）（2027河南部分高中联考 10）下列说法正确的有（　　）（多选） A．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 B．在三棱锥 中， C．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 D．若空间向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A 反证：若共面则由分解的唯一性导出矛盾；B 用首尾相接法则化简后对照；C 由异面直线所成角与向量夹角的关系取绝对值；D 锐角等价于数量积为正且两向量不共线，逐一验证． 【详解】解：对于A，假设 共面， 则存在实数 使 （共面向量定理）， 整理得 ； ∵ 是基底，∴ 不共面，上式中各系数须同时为 （基底分解的唯一性）， 得 ，第三个等式不可能成立，方程组无解，矛盾， ∴ 三向量不共面， 也是空间的一个基底，A正确； 对于B，∵ （首尾相接法则与相反向量）， 而 ，∴ 等式不成立，B错误； 对于C，∵ 异面直线所成角的范围是 ， ∴ 所成角的余弦值为 （异面直线所成角与向量夹角的关系），C正确； 对于D，若夹角为锐角，则 且 不共线（锐角的充要条件）； ∵ （数量积的坐标公式），∴ ； 再检验共线：设 ，则 （共线的坐标表示）， 由第三式 代入第一式得 ，矛盾，∴ 两向量不可能共线， ∴ 实数 的取值范围是 ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2025广州天河外国语学校期中 13）《九章算术》中将底面为矩形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为"阳马"．如图，在阳马 中， 底面 ，底面 是矩形，，， 是 的中点，．若点 在矩形 内，且 平面 ，则 =______． 【答案】 【分析】以 为原点建系，求平面 的法向量，由 平面 得 与法向量平行，定出 后用两点间距离公式求 ． 【详解】解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（ 底面保证三轴两两垂直）， 则 ，，，（由中点与定比分点算出）， ∴ ，； 设平面 的法向量 ，则 （法向量定义）， 即 ，令 得 （取特解）； 设 （ 在底面内），则 ， ∵ 平面 ，∴ （线面垂直等价于与法向量平行）， ∴ （平行向量的坐标关系），解得 ，， ∴ ， ∴ （两点间距离公式）． 故答案为： 9．（6分）（2026大连二十四中期中 12）已知 为平面 外的一点， 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 ，则实数 的值为______． 【答案】 【分析】把 化为含 的向量，使 的分解式中三个基向量都以 为起点，再用"四点共面当且仅当分解式系数和为 "求 ． 【详解】解：∵ （向量减法的三角形法则）， ∴ （合并同类项）； ∵ 四点共面，且 为该平面外一点， ∴ 由共面向量定理的系数和结论得 （四点共面的充要条件：系数和为 ）， 解得 ． 故答案为： 10．（6分）（2027五德中学月考 14）对于两个空间向量 与 ，定义 为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为 ．如图，在棱长为 的正方体 中，=______；若点 在底面 内（含边界）运动，且 ，则 的取值范围是______． 【答案】； 【分析】建系写出各向量坐标：第一空按直线距离的定义直接计算；第二空由 得 的轨迹为四分之一圆弧，设参数把曼哈顿距离化为三角函数求值域． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，，， ∴ ，，（终点减起点）； 第一空：（直线距离的定义）； 第二空：设 （，），则 ， 由 （模长公式）得 ， ∴ 的轨迹是底面内以 为圆心、半径为 的四分之一圆弧（弧 ）； 设 ，，（参数设法）， 则 （曼哈顿距离的定义，按范围去绝对值）， 而 （辅助角公式）； ∵ ，∴ ， ∴ ，即 的取值范围是 ． 故答案为：； 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025广州天河外国语学校期中 15）已知 ，，，，． (1)若 与 共线，求实数 的值； (2)若向量 与 所成角为锐角，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】先由模长条件与垂直条件求出 ；(1) 共线用坐标对应成比例；(2) 锐角等价于数量积为正且两向量不共线，注意剔除共线情形． 【详解】解：∵ ，∴ （模长的坐标公式）； ∵ ，∴ （垂直的充要条件），解得 ， ∴ ，； ∴ ，（坐标运算）； (1)∵ 两向量共线，∴ 对应坐标成比例，得 （共线的坐标表示）， 解得 ； (2)若所成角为锐角，则 （锐角的必要条件）， 即 ，解得 ； 又当 时两向量共线，此时夹角为 或 ，不是锐角（共线情形必须剔除）， ∴ 实数 的取值范围是 ． 12．（15分）（2025钱塘联盟期中 16）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)求证：； (2)求 的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】以 为基底表示 与 ：(1) 展开数量积证其为零；(2) 用模的平方展开式求模． 【详解】解：(1)以 为基底向量（空间向量基本定理）， 则 （减法三角形法则）， （加法法则与相等向量代换）； 由题设得 ， （数量积的定义）； ∴ （数量积展开） （代入数值）， ∴ （垂直的充要条件），即 ． (2)由(1)知 ， ∴ （模的平方展开式） （代入数值）， ∴ ，即 的长为 ． 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题一 空间向量及其运算 全国各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 空间向量的概念判断 空间向量数量积 · 空间向量的概念 · 共线与共面向量 2025资阳安岳中学期中 5 题 空间向量的线性运算 空间向量线性运算 · 共线与共面向量 2026长郡中学期中 6 题 空间向量基本定理与基底 空间向量基本定理与基底 2025常州联盟学校期中 7 题 空间向量数量积的计算 空间向量数量积 2027三明北附高级中学月考 5 题 夹角与投影向量应用 空间向量数量积 · 坐标运算求模与夹角 · 投影向量与共面向量 2025抚顺四方高中期中 6 题 空间坐标系与坐标运算 空间坐标系与坐标表示 · 空间向量的概念 · 法向量 · 点面距 2026大连二十四中期中 8 题 坐标法求模、夹角与距离 立体几何综合 · 坐标运算求模与夹角 · 空间距离（坐标法） 2025抚顺四方高中期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 空间向量：空间中既有大小又有方向的量，记作 ，其大小叫模，记作 ；特殊向量：零向量 （方向任意）、单位向量（模为 ）、相反向量（等长反向）与相等向量（同向等长）． 2. 共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量；规定 与任意向量共线，因此"共线"不等于"平行且不重合"． 3. 共面向量：平行于同一平面的向量；空间中任意两个向量必共面，任意三个向量不一定共面，是否共面需用定理判定． 4. 基底：空间中三个不共面的向量构成一个基底；基底不唯一，但同一向量在同一基底下的分解式唯一，这是"比较系数"的合法性来源． 5. 空间向量基本定理：若 不共面，则对任意空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ， 称为 在该基底下的分量． 6. 空间直角坐标系：三条坐标轴两两垂直、单位长度统一，点 与三元实数组 一一对应；建系原则是取几何体中两两垂直的三条棱所在直线为轴，使多数点坐标为非负整数． 7. 对称点规律：关于原点对称 ，关于 轴对称 ，关于平面 对称 ； 口诀"对轴变两个号，对面变一个号"，如 关于平面 的对称点是 ． 8. 两点间距离：，它就是向量 的模，求距离与求模是同一件事． 9. 方向向量与法向量：与直线平行（含在直线上）的非零向量叫直线的方向向量，与平面内一切向量垂直的非零向量叫平面的法向量，两者是向量法求空间角与距离的两大工具． ▍二、法则与公式 1. 加法与减法：（三角形法则，首尾相接）；（减向量的终点指向被减向量的终点）． 2. 数乘运算： 与 共线， 同向、 反向、模变为原来的 倍；线性运算律全部保留，如 ． 3. 中点与分点公式：中点 ；若 分有向线段 成定比 ，则 ． 4. 共线向量定理：非零向量 共线 存在唯一实数 使 ；坐标形式为对应分量成比例（分母不为零时），可求参数或判定共线． 5. 共面向量定理：向量 与不共线向量 共面 存在实数 使 ； 推论：点 在平面 内 存在 使 且 （ 为面外任意点）． 6. 数量积：；坐标形式为 ；满足交换律与对加法的分配律，但不满足结合律． 7. 模长公式：；求对角线长常用 展开为基底数量积的组合逐项计算． 8. 夹角公式：，向量夹角范围是 ；垂直 ；平行时夹角为 或 ，几何角与向量夹角需按定义转化取值． 9. 距离公式：点 到直线 （，方向向量 ）的距离 ，其中投影 ； 点 到平面 （，法向量 ）的距离 ． ▍三、方法技巧 1. 基底表示四步法：选共顶点的三条不共面棱为基底 → 把待表示向量沿几何体的棱"走"成首尾相接的折线 → 用相等向量代换统一为基底 → 合并系数后对照待定系数求值． 2. 共面判定两法：基底法设 后比较系数得方程组，有解则共面、无解则不共面；坐标法直接解三个分量方程，结论相同． 3. 建系三步：定原点（取两两垂直三条棱的公共顶点）→ 沿三条棱所在直线作 轴 → 按棱长写出各点坐标；写坐标前先核对每条线段的实际长度，中点、定比分点的坐标先算再写． 4. 求夹角与模四步：由起点、终点写出向量坐标 → 计算数量积与两个模 → 代入公式 → 按题意转化；异面直线所成角、线面角与向量夹角不一定相等，需取绝对值或按几何角范围换算． 5. 锐角与钝角的参数范围：所成角为锐角 且两向量不共线（同向共线夹角为 ）；钝角同理取 且剔除反向共线，遗漏"不共线"是高频失分点． 6. 基底法证垂直（不建系）：把两条目标线段的方向向量都用基底表示，展开数量积，代入各基底向量的模与夹角数值，证得数量积为零即可，适用于不能直接建系的斜平行六面体等问题． 7. 动点最值三步：在定直线段上设参数坐标 → 把数量积、距离或面积写成 的函数 → 配方或用基本不等式求最值，结束前必须核对参数取值范围，防止最值点越界． 8. 正交基底算数量积：长方体（正方体）棱向量两两垂直且长度已知，展开 时交叉项全为零，目标常化为二次三项式，按平方项与区间分别求最值． 9. 检验习惯：建系后先抽查两个点的坐标是否与图形相符（距离、中点关系），求出结果后回代几何意义检验，这一步常能救回整道解答题的计算失误． ▍四、易错警示 1. "数量积小于零则夹角为钝角"不对：反向共线时夹角为 ，如 与 的数量积为负；正确说法：夹角为钝角 数量积小于零且两向量不共线． 2. "所成角为锐角只需数量积为正"不对：同向共线时数量积也为正，如 与 的夹角是 而非锐角；正确做法：数量积大于零再剔除共线情形． 3. "模相等则向量相等"不对：模相等只说明长度相同，方向可以不同，如正方体中 ；相等向量必须同向等长，如正方体中 才成立． 4. "共线可传递"遇零向量失效：任意向量都与 共线，故由 与 推不出 ；传递性仅在所涉向量均非零时成立． 5. "共面向量组可作基底"不对：基底必须不共面，如 都能由 线性表示而共面；判定能否作基底，列方程组看是否有解即可． 6. "方向向量垂直法向量则线面平行"不完整： 只能得 或 ，如正方体底面棱 的方向向量与底面法向量垂直但 底面；判定平行还需再证 ． 7. 对称点坐标易混轴与面：关于 轴对称得 （保留 ），关于平面 对称得 （只变 ）； 如 关于 轴的对称点是 ，写成 就变成关于原点对称了． 8. 比较系数的前提是基底不共面：分解唯一性依赖基底的不共面性，若用共面的 作"基"，表示式不唯一，对照系数会出错；比较系数前先确认向量组不共面． 9. 数量积无结合律： 是与 共线的向量，而 是与 共线的向量，两者一般不相等，不能像实数乘法那样随意"结合"． 　空间向量的概念判断 方法要领　命题真假判断抓三类反例：零向量（ 与任意向量共线，使共线传递性失效、 中 可不唯一）；方向（模相等≠相等，向量平行≠四点共线）；钝角结论需 且不共线。四点共面看分解式系数和是否为 。 【例】（2025资阳安岳中学期中 10）下面四个结论正确的是（　　）（多选） A．已知向量 ，，若 ，则 为钝角 B．已知 ，，则向量 在向量 上的投影向量是 C．若直线 经过第三象限，则 ， D．已知 ，， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ，，， 四点共面 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025广州中学期中 9）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）（多选） A．若 ，则 或 B．若向量 是向量 的相反向量，则 C．在正方体 中， D．若空间向量 ，， 满足 ，，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027鹿邑县高中月考 1）下列关于空间向量的命题中，正确的是（　　） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若 ，则 ，，， 一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027鑫飞中学月考 7）以下命题中，不正确的个数为（　　） ①“”是“， 共线”的充要条件； ②若 ，则存在唯一的实数 ，使得 ； ③若 ，，则 ； ④若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底； ⑤ ． A．2 B．3 C．4 D．5 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027鑫飞中学月考 10）下列结论正确的是（　　）（多选） A．已知向量 ，，则 在 上的投影向量为 B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底 D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　空间向量的线性运算 方法要领　选共顶点的三条不共面棱作基底，沿折线用 首尾相接，相等向量代换后合并系数；中点用 、定比分点用 ；判定共线共面设 比较系数，方程组有解则共面、无解则不共面。 【例】（2026长郡中学期中 2）如图，在四面体 中，，，．点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027内蒙古大学附中月考 2）如图，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（　　） ① ； ② ； ③ ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027三明北附高级中学月考 1）在长方体 中， 等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025辽宁七校协作体期中 3）已知空间向量 ，，，若向量 ，， 共面，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025资阳安岳中学期中 7）如图，已知 ， 分别是四面体 的棱 ， 的中点，点 在线段 上，且 ，设向量 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027凌云中学月考 10）如图，在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点，，，，则下列等式正确的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　空间向量基本定理与基底 方法要领　设 后对照系数求值（分解唯一才可比较系数）；判断三个向量能否作基底，只看是否共面，常设线性表示式列方程组，无解即不共面、可作基底。 【例】（2025常州联盟学校期中 2）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027揭阳岐山中学月考 3）若 构成空间的一个基底，则下列向量组中不共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027鹿寨中学月考 5）已知 是空间的一个基底，则可以和 ， 构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027鑫飞中学月考 12）已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标是______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027无锡三中基础测试 17）空间中有一种“斜 坐标系”，其三条数轴（ 轴、 轴、 轴）任意两条的夹角均为 ，，， 分别为三条数轴正方向上的单位向量．若向量 ，则称 的斜 坐标为 ，记作 ．在平行六面体 中，，，，建立“斜 坐标系”如图．若 ，，且 ． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027揭阳岐山中学月考 6）如图，在四面体 中，点 满足 ， 在 上，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027无锡三中基础测试 5）已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个基底，一向量 在基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　空间向量数量积的计算 方法要领　不能建系时选基底，先算各基底向量的模与两两夹角，用 求两两数量积，再对目标向量作模的平方展开式逐项计算；能建系时直接用 。 【例】（2027三明北附高级中学月考 8）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量 与 的夹角是 D． 与 所成角的余弦值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026大连二十四中期中 3）平行六面体 中，，，，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 12）如图，在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，则 =______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027凌云中学月考 14）已知正四面体 的每条棱长都等于 ，点 分别是 的中点，则 的值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027揭阳岐山中学月考 16）平行六面体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 ，且 ， 为 中点， 为 中点，设 ，，． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　夹角与投影向量应用 方法要领　垂直求参由 列方程，解后回检向量非零；夹角用 ，由数量积正负定锐钝角时必须再剔除共线情形；投影向量用 。 【例】（2025抚顺四方高中期中 2）已知向量 ，，且 与 互相垂直，则 的值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027凌云中学月考 11）已知空间向量 ，，则以下说法正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．向量 在 上的投影向量的坐标为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027无锡三中基础测试 15）已知空间中三点 ，，． (1)求向量 在向量 上的投影向量的坐标； (2)若点 在平面 内，求 的值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027五德中学月考 7）已知空间向量 ，，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027鹿邑县高中月考 6）已知在平行六面体 中，，，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027周口开封部分校学情检测 10）如图，点 分别是棱长为 的正四面体 的边 和 的中点，点 在线段 上，且 ．则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．向量 在 方向上的投影向量为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　空间坐标系与坐标运算 方法要领　建系三步：定原点（取两两垂直三棱的公共顶点）→沿三棱作轴→按棱长写各点坐标；对称点口诀：关于坐标轴对称变号两个坐标，关于坐标平面对称只变号一个坐标。 【例】（2026大连二十四中期中 8）空间直角坐标系 中，点 ，，定义 ．如图，正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点，点 是平面 内的两个动点，，，则线段 长的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027河南部分高中联考 1）已知点 在 轴上，且点 到点 与到点 的距离相等，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026杭州二中期中 1）在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027新泰一中诊断测试 9）下列说法正确的是（　　）（多选） A．在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中， 是坐标平面 的一个法向量 C．已知 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底 D．以 ，， 为顶点的三角形是等腰直角三角形 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027内蒙古大学附中月考 8）给出下列命题，其中正确的是（　　） A．点 关于平面 对称的点的坐标为 B．若点 ，，且满足 ，则点 的坐标为 C．若 三点不共线，点 在平面 外，点 满足 ，则当点 共面时，实数 D．向量 在向量 上的投影向量的模长为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027河北部分学校月考 11）空间直角坐标系 中，已知向量 （），则经过点 且法向量为 的平面方程为 ．根据上面的材料，下列说法正确的是（　　）（多选） A．若过点 的平面方程为 ，则 B．若平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，则这两平面夹角的正弦值为 C．若平面 的方程为 ，则点 在平面 内的射影的坐标为 D．若平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，，则直线 与平面 的夹角的余弦值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027新泰一中诊断测试 7）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面 经过点 ，向量 （）为平面 的一个法向量， 是平面 内的任意一点，则平面 的方程为 ．已知平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练7】（2027鹿寨中学月考 10）给出以下命题，其中错误的是（　　）（多选） A．平面 的法向量分别为 ，，则 B．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 C．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直 D．平面 经过三个点 ，，，向量 是平面 的法向量，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　坐标法求模、夹角与距离 方法要领　动点在定线段上先设参数坐标 ，再按模用 、夹角用数量积公式、点线距用 （ 为投影）列式，把目标化为二次函数求最值并核对参数范围。 【例】（2025抚顺四方高中期中 11）已知正方体 的棱长为 ，点 是底面正方形 内及边界上的动点，点 是棱 上的动点（包括点 ），已知 ， 为 的中点，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．无论 在何位置， 与 为异面直线 B．若 是棱 的中点，则点 的轨迹长度为 C． 存在唯一的位置，使 平面 D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025连州中学期中 11）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，下列说法正确的有（　　）（多选） A．当点 是 的中点时，直线 平面 B．直线 到平面 的距离是 C．存在点 ，使得 D． 的面积的最小值是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027周口开封部分校学情检测 15）已知向量 ，． (1)求 ； (2)求 与 的夹角； (3)若 与 垂直，求实数 的值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027五德中学月考 8）在三棱台 中，，，且 ，若 平面 ，则点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027鹿寨中学月考 11）已知正方体 的棱长为 ，点 分别是 的中点， 在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．点 到直线 的距离是 B．点 到直线 的距离为 C．平面 与平面 间的距离为 D．点 到平面 的距离为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027执信中学阶段训练 7）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 ，活动弹子 分别在对角线 上移动，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2027新泰一中诊断测试 8）如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的正方形，， 分别是 的中点，设点 是线段 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025钱塘联盟期中 3）在空间直角坐标系中，已知点 ，下列叙述中正确的是（　　） ①点 关于 轴的对称点是 ②点 关于 平面的对称点是 ③点 关于 轴的对称点是 ④点 关于原点的对称点是 A．①② B．①③ C．②④ D．②③ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2025广州中学期中 2）已知 为空间的一组基底，能与 组成基底的向量是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2025常州联盟学校期中 7）如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在线段 上，则点 到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2025广州中学期中 8）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（　　） A． B．直线 与 所成角的正弦值为 C．向量 与 的夹角是 D． 平面 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 11）在长方体 中，，， 为 的中点．动点 满足 ，其中 ，，则下列说法中正确的是（　　）（多选） A．点 一定在平面 内 B．当 时，点 的轨迹的长为 C．当 三点共线时， D． 的最小值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2025连州中学期中 10）在空间直角坐标系 中，已知 ，，，，则以下正确的是（　　）（多选） A． B． 与 夹角的余弦值为 C． 四点共面 D．点 到直线 的距离是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2027河南部分高中联考 10）下列说法正确的有（　　）（多选） A．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 B．在三棱锥 中， C．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 D．若空间向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2025广州天河外国语学校期中 13）《九章算术》中将底面为矩形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为"阳马"．如图，在阳马 中， 底面 ，底面 是矩形，，， 是 的中点，．若点 在矩形 内，且 平面 ，则 =______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2026大连二十四中期中 12）已知 为平面 外的一点， 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 ，则实数 的值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2027五德中学月考 14）对于两个空间向量 与 ，定义 为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为 ．如图，在棱长为 的正方体 中，=______；若点 在底面 内（含边界）运动，且 ，则 的取值范围是______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025广州天河外国语学校期中 15）已知 ，，，，． (1)若 与 共线，求实数 的值； (2)若向量 与 所成角为锐角，求实数 的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2025钱塘联盟期中 16）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)求证：； (2)求 的长． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $