第04讲 立体几何中的常考压轴小题期中复习讲义（1大知识点+7大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第04讲 立体几何中的常考压轴小题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 4 题型一：截面问题 4 题型二：轨迹问题 7 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 12 题型四：立体几何中的交线问题 17 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 19 题型六：空间角问题 23 题型七：立体几何装液体问题 28 04 过关测试 33 立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。 题型一：截面问题 【典例1】（2026·高一·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 【变式1-1】（2026·安徽合肥·一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故选：C 【变式1-2】（2026·高二·四川内江·期中）在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵在正三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，， ∴构造以PA，PB，PC为棱长的正方体，且该正方体棱长为， 以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系， 则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R， ∵点E在线段AB上，且AE＝2EB， ∴E，O， ， 过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E， ∴当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径 r， ∴过点E作该正三棱锥外接球的截面， 则所得截面圆面积的最小值为. 故选：D. 【变式1-3】（2026·高一·河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】如图所示， 分别在，，上取点D，E，F，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：B. 题型二：轨迹问题 【典例2】（2026·高二·北京·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系，取， 则三棱锥的棱长均为，符合题意. 因点为的中点，则，设点. 因，则点在以为直径的球的球面上， 故球心为，球的半径为. 又因，则， 即点又在平面上，故点的轨迹为球被平面截得的圆. 因球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 故动点的轨迹为截面圆的周长，即. 【变式2-1】（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 【变式2-2】（2026·高三·北京大兴·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足； ③满足的点P的轨迹长度为； ④满足的点P的轨迹长度为． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，， 动点P设为 ①点M关于平面的对称点为，当动点P在点时， 此时， 当动点P在点时，此时， 所以存在点P满足，所以①正确； ②，， 若，则， 化简得：，解得：，即， 满足题意，所以②正确； ③，， 若，则，即， 取BC中点E，BB1中点F，则点P的轨迹为线段EF，长度为，所以③错误； ④，， 若，则，即， 取BF中点H，BE中点K，则点P的轨迹为线段HK，长度为，所以④正确. 故选：C. 【变式2-3】（2026·高二·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 【典例3】（2026·高二·辽宁鞍山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 【答案】C 【解析】对于A，分别是棱的中点，则， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，因为，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，则，B错误；    对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,    设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：C 【变式3-1】（2026·高三·浙江·阶段检测）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时， 【答案】D 【解析】由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以 对于A：若平面，则，则，解得，故A错误； 对于B：若平面，则，即，解得，故B错误； 当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误； 设到的距离为，则， 当的面积最小时，，故正确． 故选：． 【变式3-2】（2026·高二·北京·阶段检测）如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】边长为2正方体中如图所示，建立空间直角坐标系， 则. 所以，，因为，所以. 所以. 在棱上取中点，则，. 因为，所以，所以. 取棱的中点，则.连接，，所以. 所以四点共面. 因为，平面，所以平面. 所以点和满足条件的所有点P构成的图形为梯形. ，，， 梯形的周长为. 故选：B. 【变式3-3】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）在直三棱柱中，，三棱锥体积最大值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】如图，以为坐标原点，以直线、在平面内垂直于的直线、直线所在方向分别为正半轴.    设,. ，，得，即.即点在底面的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 又因为，. 当取最大时，有最大值. 故选：A. 题型四：立体几何中的交线问题 【典例4】（2026·高二·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 【变式4-1】（2026·高二·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，平面的法向量. 因为直线是平面与平面的交线， 因此直线上的点均满足两个平面方程, 我们可以取上的两个点，来计算直线的一个方向向量. 令,则,即在交线上； 令,则,即在交线上. 故直线的方向向量. 设直线与平面所成角为,则. 故选：A. 【变式4-2】（2026·高二·陕西安康·期中）在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为2， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示： 则、、、、. 设平面的法向量为， ，， 由，取可得. 设平面的法向量为，，， 由，取可得. 设直线的方向向量为，∵平面，平面， 则，， ∴，取可得， ，设直线与所成角为 ，即直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【变式4-3】（2026·高二·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正方体中，上底面下底面. 平面，平面同时与平面、平面相交： 平面平面，平面平面. 由面面平行的性质定理，可得. 以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，， 所以，即为直线的方向向量. 取平面内两个相交向量：，. 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 【典例5】（2026·高二·山西晋中·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则下列说法错误的是（   ） A．当，，时，平面 B．当，时，异面直线与所成的角为45° C．当，时， D．当时，线段的长度最小值为 【答案】B 【解析】在正方体中，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由，得， 对于A，，则， 即是平面的法向量，又，平面，则平面，A正确； 对于B，令，则，，设异面直线与所成的角为， 则，显然，错误； 对于C，点，即，则，，C正确； 对于D，由，得 ，则， 当且仅当时取等号，因此，D正确. 故选：B 【变式5-1】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 【变式5-2】（2026·高二·安徽亳州·阶段检测）如图，棱长为6的正方体中，为正方体表面上的一个动点，､分别为的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 找关于平面的对称点，连接交平面于， 则即为满足最小的点， 正方体的棱长为6，， ，， ， 又，， 在中，由余弦定理可得：． 即的最小值为． 故选：A． 【变式5-3】（【新东方】杭州新东方高中数学试卷360）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点P，M分别为线段，上的动点，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】连接交于点，连接，则平面，所以, 从而的最小值为，此时为的中点，为的四分之一， 连接，设其中点为，连接，则，从而， 连接交于点，则当为时，取得最小值，此时最小值为， 因为正方体的棱长为2， 设DH的中点为O,连接GO,△GOH为直角三角形， 在直角中，可得, 所以. 故选：B. 题型六：空间角问题 【典例6】（2026·高二·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【变式6-1】（2026·高二·湖南·期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 【变式6-2】（2026·高二·四川乐山·期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则： ， ， ； 在线段上，设， ； ； ； 设，； 函数是一次函数，且为减函数，； 在恒成立，； 在上单调递减； 时，取到最大值． 故选：．    【变式6-3】（多选题）（多选题）（2026·高二·江苏南通·期末）边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．四面体的体积为 C．设直线与所成角为，则的最大值为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】如图所示，连接， 因为动点满足，， 所以，即， 所以，即点的轨迹在内（包括边界） 对于A，因为在中，，，，， 所以四边形，均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因为，平面， 所以平面平面 因为平面，所以平面，故A选项正确； 对于B，由平面平面，点的轨迹在内（包括边界） 所以四面体的体积，故B选项错误； 在正方体中，易知平面，平面， 所以，， 又，，，， 所以平面，平面， 所以，， 因为，所以平面， 设与平面相交于点， 由于，， 则点到平面的距离为． 对于C，因为，所以为异面直线与所成的角， 因为，所以，故C正确． 对于D，因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 所以 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 如图所示， 在中，，同理， 即点为等边外接圆圆心， 又，设， 由余弦定理得，解得或 当时，如图，即，此时不在内， 故只需考虑的情况即可， 所以，则 所以的轨迹长度为，故D正确． 故选：ACD 题型七：立体几何装液体问题 【典例7】（2026·高一·安徽·阶段检测）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】，如图， 当侧面水平放置时，水平面与分别相交于 点，则平面平面， ， ， ，即， 由到的距离为，得到的距离为， 设正方形外接圆圆心为，半径为，则， 设矩形外接圆圆心为，半径为，则； 设几何体的外接球的球心为，外接球半径R， 球心的位置可能有2种情况，如图， 则，或， 由得无解；由得， 故外接球表面积为. 故答案为：. 【变式7-1】（2026·高二·四川内江·期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 所以（1）和（2）正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确， 故答案为：（1）（2）（4）（5）. 【变式7-2】（2026·高二·北京海淀·期中）如图，在透明材料制成的长方体容器内灌注一些水，固定容器底面一边于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列结论： （）水的部分始终呈棱柱形； （）水面四边形的面积不会改变； （）棱始终与水面平行； （）当容器倾斜如图所示时，是定值． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】（）（）（） 【解析】(1)由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面， 故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，正确． (2)当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，不正确. (3)平面，在棱柱中，，平面， ∴平面，正确． (4)水量不变时，即棱柱体积是定值，该棱柱的高不变， ，∴是定值，正确. 故答案为: (1) (3) (4) 【变式7-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过四点，则的值为___________. 【答案】 【解析】 如图：作于点，作于点， 因为，则， ， 又因为，所以为等边三角形，则， 取的中点，连接，，则，， ， 因为，所以面， 则， ， 由余弦定理可得：， 所以， 作于点，因为面，面， 所以，因为，所以面， 所以点到面的距离为， 故平面到平面的距离为， 由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半， 所以； 故答案为：. 1．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在矩形中，分别过、作的垂线，垂足记为， 在矩形中，，，. ，所以.同理. ，同理， 所以. 折叠之后，，，， . ，. 所以 得. 设二面角的平面角为，因为与的夹角是. . 得. 所以二面角的余弦值为. 2．（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 可知，则，解得，即， 则， 则，可知当时取得最小值，此时. 3．（2026·高三·北京·阶段检测）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【解析】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D 4．（2026·高二·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解析】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 5．（2026·高二·河南濮阳·阶段检测）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，连接,，且以为原点建立空间直角坐标系， 故,,,,设， 且已知，， 故，，即是的中点，是的三等分点， ，，，， ，的轨迹方程为平面， 故轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和. 联立方程组，，得， 当时，，令，，故此时轨迹长度为， 联立方程组，，得到， 当，时，该方程无解，则交线不在面内，此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，，可得， 当时，，当时，，故此时轨迹长度为， 联立方程组，，可得， 当，时，该方程无解，则交线不在面内，此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，，可得， 当，时，该方程无解，则交线不在面内，此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，，可得， 当时，，当时，，故此时轨迹长度为 综上，轨迹长度为， 故选：C 6．（2026·高一·北京昌平·期末）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 【答案】B 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 7．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变． 其中，所有正确结论的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的边长为，则，设， 由得， ，所以存在点，使得，所以①正确. ， ， 所以到的距离为 ，的对称轴为， 而，所以随的增大而减小， 所以的面积随的增大而减小， 所以②正确. 对于③，，的面积为定值， 点到平面的距离，等于到平面的距离，此距离为定值， 所以四面体的体积不变.所以③正确. 综上所述，正确的有个. 故选：D 8．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：C． 9．（2026·高二·广东湛江·期中）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】D 【解析】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面， 平面，又因为平面 ，同理可得平面，又因为平面， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面， 故平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 若时取得为，所以，故D错误. 故选：D 10．（多选题）（2026·高二·浙江湖州·期末）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 对于A，连接，易证平面平面，平面， 故不平行于平面，故A错误； 对于B，连接，并延长交的延长线于点，连接交于点，故B正确； 对于C，如图：建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 若平面与平面平行，则， 而，，显然不成立， 故平面与平面不可能平行，C错误； 选项D ，由得，，即， 而平面，所以点的轨迹为矩形的四条边， 所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD 11．（多选题）（2026·高一·浙江宁波·期末）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C错误； 当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 故选：AD. 12．（多选题）（2026·河南郑州·三模）如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（   ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 【答案】BD 【解析】取的中点，连接，则且为靠近的一个三等分点，过点作交于点，则， 又平面，如图建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则，，，，， 所以，， 所以，所以与不垂直，故A错误； 因为，所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点C到平面的距离为，故B正确； 对于C：因为，设正四面体的内切球的半径为， 则，即，解得， 所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为，故C错误； 对于D：连接，因为，平面，平面， 所以，所以，所以， 则点在平面所表示的图形为以为圆心，为半径的圆面， 所以动点的轨迹表示图形的面积为，故D正确. 故选：BD 13．（多选题）（2026·山东·模拟预测）在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 14．（2026·高三·河北·阶段检测）已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为________. 【答案】 【解析】正三棱锥中，，， 则，即，同理， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 由，得，整理得， 因此点的轨迹是以点为球心，半径的球面， 而，设平面的法向量， 则，令，得，而， 球心到平面的距离，平面截球面得截面圆，设其半径为， 于是，所以所求周长为. 故答案为： 15．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为___________． 【答案】/ 【解析】令，而O是上底面内切圆圆心， 故可以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，则， 又内切圆半径为，则圆，且， 因为正方形的内切圆圆上的动点， 故可设，则， 则在上的投影向量的模长为， 则点到直线的距离为， 又，则面积为， 令，则，对称轴为，且开口朝下， 故当时，，则面积的最大值为. 故答案为： 16．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 【答案】4 【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为． 故答案为：4 17．（2026·高二·重庆·期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为______. 【答案】 【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 设，， 则， 因为直线平面，则， 可得，解得， 则， 可得 当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为． 故答案为：． 18．（2026·高二·天津河东·期中）在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是______（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 【答案】①②④ 【解析】对于①，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故①正确； 对于②，由题意易得， ， 且，又，即， 故，解得，故②正确； 对于③，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故③错误； 对于④，由②可知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故④正确． 故答案为：①②④ 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 立体几何中的常考压轴小题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 4 题型一：截面问题 4 题型二：轨迹问题 7 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 12 题型四：立体几何中的交线问题 17 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 19 题型六：空间角问题 23 题型七：立体几何装液体问题 28 04 过关测试 33 立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。 题型一：截面问题 【典例1】（2026·高一·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】（2026·安徽合肥·一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·四川内江·期中）在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 题型二：轨迹问题 【典例2】（2026·高二·北京·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·北京大兴·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足； ③满足的点P的轨迹长度为； ④满足的点P的轨迹长度为． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2026·高二·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 【典例3】（2026·高二·辽宁鞍山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 【变式3-1】（2026·高三·浙江·阶段检测）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时， 【变式3-2】（2026·高二·北京·阶段检测）如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）在直三棱柱中，，三棱锥体积最大值为（   ） A． B． C．2 D．4 题型四：立体几何中的交线问题 【典例4】（2026·高二·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·陕西安康·期中）在正方体中，E为线段AD的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 【典例5】（2026·高二·山西晋中·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则下列说法错误的是（   ） A．当，，时，平面 B．当，时，异面直线与所成的角为45° C．当，时， D．当时，线段的长度最小值为 【变式5-1】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·安徽亳州·阶段检测）如图，棱长为6的正方体中，为正方体表面上的一个动点，､分别为的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（【新东方】杭州新东方高中数学试卷360）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点P，M分别为线段，上的动点，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 题型六：空间角问题 【典例6】（2026·高二·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高二·湖南·期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·四川乐山·期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（多选题）（2026·高二·江苏南通·期末）边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．四面体的体积为 C．设直线与所成角为，则的最大值为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为 题型七：立体几何装液体问题 【典例7】（2026·高一·安徽·阶段检测）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 【变式7-1】（2026·高二·四川内江·期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ 【变式7-2】（2026·高二·北京海淀·期中）如图，在透明材料制成的长方体容器内灌注一些水，固定容器底面一边于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列结论： （）水的部分始终呈棱柱形； （）水面四边形的面积不会改变； （）棱始终与水面平行； （）当容器倾斜如图所示时，是定值． 其中所有正确结论的序号是__________． 【变式7-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过四点，则的值为___________. 1．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·北京·阶段检测）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 4．（2026·高二·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 5．（2026·高二·河南濮阳·阶段检测）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2026·高一·北京昌平·期末）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 7．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变． 其中，所有正确结论的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高二·广东湛江·期中）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 10．（多选题）（2026·高二·浙江湖州·期末）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（  ） A．平面 B．直线可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 11．（多选题）（2026·高一·浙江宁波·期末）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 12．（多选题）（2026·河南郑州·三模）如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（   ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 13．（多选题）（2026·山东·模拟预测）在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 14．（2026·高三·河北·阶段检测）已知正三棱锥中，，；动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为________. 15．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为___________． 16．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 17．（2026·高二·重庆·期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为______. 18．（2026·高二·天津河东·期中）在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是______（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $