北京市西城区 北京师范大学实验华夏女子中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题　

初三数学 2026.10 班级_________姓名_________学号_________ 第一部分（选择题：共16分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上．） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（ ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不确定 3．近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与切于点，，延长，交于点．若，的半径为6 cm，则图中的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题：共84分） 二、填空题（本题共16分，每小题2分．） 9．一元二次方程的解是_______． 10．一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 11．如图，正六边形内接于，，则的长为_______． 12．二次函数中，当时有最小值3，则实数值为_______． 13．若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 14．某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为1.25 m的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为1 m，最大竖直高度为2.25 m．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过2.8 m，水流最大竖直高度大于2.5 m，则喷头高度的取值范围为_______． 15．已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______． 16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 三、解答题（本题共68分，17~23题每题5分，24、25每题6分，26~28题每题7分．） 17．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根差为1，求此时的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点顺时针旋转后得到的图形． （1）在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：_______，_______； （2）在旋转过程中线段扫过的面积为_______． （3）的外接圆圆心坐标为_______． 19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为_______； （4）当时，的取值范围为_______． 20．已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①连接； ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点； ③以为圆心，长为半径作，交于点，； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线． ， 为的直径，，在上， （__________）（填推理的依据）． 半径，半径， 直线，为的切线（__________）（填推理的依据）． 21．如图，内接于，是的直径，，垂足为． （1）求证：； （2）已知的半径为5，，求长． 22．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售． （1）求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） 24．如图，是的直径，点在上，连接，过点作于点，使得． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长 25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A种有机肥，并确保 了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 15 30 45 60 90 金叶女贞增长的高度 3.3 6.3 9.6 12.6 15.9 19.3 连翘增长的高度 1.1 4.0 9.1 15.6 36.2 （1）通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图像； （2）画出关于的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位） （3）实验前，测量金叶女贞的高度为43.6 cm，连翘的高度为31.2 cm，大概在第_____天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 26．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，求的值； （2）若当时，都有，求的取值范围． 27．已知，点是直线上一动点（不含点），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接线段，过点作交直线于点． （1）如图1，点在点右侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）当点在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 28．对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“关联点”． 在平面直角坐标系中， （1）已知点，的半径为2， ①在点，，，中，是点关于的“关联点”的是_______； ②若直线上存在点关于的“关联点”，则的取值范围是_______； （2）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“关联点”，也是点关于的“关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $