期中复习专题01 集合及其运算【知识清单+12大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题01 集合及其运算 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 知识点6：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点7：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点8：子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点9：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点10：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点11：集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点12：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一 判断元素与集合的关系 考点二 集合的表示方法 考点三 集合中元素的特性 考点四 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 考点五 分类讨论法解决集合中元素的个数问题 考点六 子集（真子集）个数 考点七 判断两个集合的关系 考点八 根据集合包含关系求参数 考点九 集合的基本运算 考点十 根据集合的运算求参数 考点十一 图解决集合运算问题 考点十二 集合中的新定义 考点一 判断元素与集合的关系 1．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）下列关系中正确的个数是（    ） ①      ②      ③     ④ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为整数集，是分数不属于整数，∴ 错误，①不符合要求. 为实数集，是无理数属于实数范畴，∴ 表述正确，②符合要求. 为正整数集，不是正整数，∴ 表述错误，③不符合要求. 为有理数集，是无理数不属于有理数，∴ 表述正确，④符合要求. 综上，正确的关系式共个. 2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于选项A：当时，，但，所以A错误； 对于选项B：任何有理数的绝对值仍为有理数，所以B正确； 对于选项C：实数的立方仍是实数，所以C正确； 对于选项D：对于任意，，所以恒成立，所以D正确. 3．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）设，则______．（选填“”、“”） 【答案】 【详解】是有序实数对，且满足，故． 4．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设集合，集合，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合，的定义，分别确定与的奇偶性，再判断两数的和与积所属的集合． 【详解】由可知为奇数，由可知为偶数． 奇数与偶数的和为奇数，积为偶数，因此，． 所以A正确，B、C、D均错误． 考点二 集合的表示方法 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）集合中的元素个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据题意逐个列举满足题意的元素即可. 【详解】由题意，满足的点的坐标如下， 故集合中的元素个数为9. 6．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）集合，试用列举法表示集合_____． 【答案】 【详解】由题意可知可取的值有，因为， 所以， 即. 7．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以． 8．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可得阴影部分中的取值范围是，的取值范围是，所以阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是. 考点三 集合中元素的特性 9．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B．由的解组成的集合可表示为 C．集合和表示同一个集合 D．数值很大的正数可以构成集合 【答案】B 【分析】依据空集、集合相等的含义及集合中元素的确定性，逐项判断． 【详解】对于A，不含任何元素，而含有元素，二者不是同一个集合，A错误． 对于B，由，解得或，故解集为，B正确． 对于C，含有两个元素和，而只有一个元素，二者不是同一个集合，C错误． 对于D，“数值很大”没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，D错误． 10．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）下列说法中，正确说法的个数是（   ）． ①联合国安理会常任理事国能组成一个集合； ②市北中学很喜欢足球的同学能组成一个集合； ③实数，，，，，，组成的集合中有6个元素． A．0； B．1； C．2； D．3． 【答案】B 【详解】①满足集合的定义，故①正确； ②不满足集合的确定性，市北中学很喜欢足球的同学不能组成一个集合，②错误； ③，，根据集合的元素互异性，集合中共有5个元素.③错误. 11．（2026高一·全国·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 考点四 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 13．（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）已知集合，且，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合关系列式计算求解. 【详解】集合，且， 当，所以，但是不符合集合互异性，舍； 当，所以舍或，经检验符合题意； 则． 14．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【答案】2 【详解】，或，解得或， 当时，，同时，不符合互异性，舍去； 当时，合题意； 综上，实数的值为2. 15．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据集合元素的互异性及元素与集合的关系，由和逐步推导求出，的值，再代入目标式子进行指数幂的运算求解. 【详解】因为集合中含有三个实数，且元素具有互异性， 所以，且(即且). 因为，所以只能是，解得. 此时集合. 又因为，分两种情况讨论： 若，解得或. 当时，集合，不满足互异性，故舍去； 当时，集合，满足互异性，符合题意. 若，集合，不满足互异性，舍去. 综上所述，，. 所以. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2) 实数的值为或； 当时，；当时，． 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 考点五 分类讨论法解决集合中元素的个数问题 17．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当均为正数时，，， 当有个正数，个负数时，不妨设，则，， 若有个正数，个负数时，不妨设，则，， 当均为负数时，，， 综上可知，所以D正确，其它选项错误. 18．（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，方程为，解得，集合有 1 个元素，满足条件. 当时，方程是一元二次方程，，解得且. 综上，. （2）当时，方程，有 1 个根，满足至多 1 个元素. 当时，一元二次方程要求，解得. 综上，或. 19．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，若集合有个元素，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设集合中个连续整数元素为，根据整数的边界约束列不等式求解的取值范围. 【详解】首先集合非空，故，即. 设中个整数元素为，则需满足以下条件： ，， 要使区间与有非空交集， 则，，解得，即： ①当时，两区间为和，两区间的交集为， 此时，，，符合题意； ②当时，两区间为和，两区间的交集为， 此时，，，符合题意； ③当时，两区间为和，两区间的交集为， 即，，，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 20．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 考点六 子集（真子集）个数 21．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 【答案】6 【详解】由⫋，可得：，，且，即除外至少含有中的1个元素； 由⫋可得：，即除外至多含有中的2个元素； 因此满足条件的集合与集合的非空真子集一一对应， 其非空真子集个数为， 即满足条件的集合的个数为6. 22．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有___________种． 【答案】7 【详解】由题意，故集合中必定包含元素1和2； 又，即是的真子集，元素只能从中选取，且不能等于； 集合的其余元素需从中选取，的所有子集共个， 排除同时选取3、4、5的情况（此时，不符合真子集要求）， 因此符合要求的选取方式共种，即集合所有可能的情形有7种. 23．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）集合的非空子集的个数是____________________． 【答案】15 【分析】先确定集合 的元素个数，再利用 元集合非空子集个数为 的结论计算结果. 【详解】由 ，可得 ，其元素个数 ， 因此非空子集个数为 . 24．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 【答案】 子集：， 真子集：. 【详解】， 子集：， 真子集：. 考点七 判断两个集合的关系 25．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简集合得到，和，进而求得集合间的关系，得出答案. 【详解】由集合， ， 因为的分子是表示所有除以6余1的整数， 且和的分子表示所有除以3余1的整数， 所以. 26．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）已知集合，集合，集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将三个集合统一写成分母为4的分式，观察分子的整数特征，即可判断集合之间的包含关系. 【详解】因为，所以中元素的分子是除以4余1的整数； 因为，所以中元素的分子是全体奇数； 因为， 所以中元素的分子也是除以4余1的整数，故， 又因为中的元素全部属于，所以. 27．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤⑥ D．④⑤⑧ 【答案】C 【分析】根据集合与元素、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于①，因为，故①不正确； 对于②，因为，故②不正确； 对于③，因为，故③不正确； 对于④，把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤，把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥，把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦，把看作集合，可得，把看作元素，可得，故⑦不正确. 对于⑧，因为且不是中的元素；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确，故C正确. 28．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）集合，以下选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，D正确； 因此，AC正确，B错误. 考点八 根据集合包含关系求参数 29．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：，； 当时，，此时，不满足； 当时，，此时，满足； 当且时，，此时，不满足； 综上所述：的取值集合为. （2）由（1）知：当时，，此时，满足； 当时，，此时，满足； 当且时，，此时， 若，则，解得：（舍）或； 综上所述：的取值集合为. 30．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】分两种情况讨论：和， ①当时，，解得，满足， ②当时，则，得， 综合①，②，成立的完整取值范围是， 对于A：，是的子集，符合； 对于B：，取，此时，不满足，不符合； 对于C：，是的子集，符合； 对于D：，就是完整解集，符合. 31．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，. (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 或或 (3) 【详解】（1）∵ 集合中只有一个元素， ∴ 一元二次方程有两个相等的实数根，判别式. ∴. 解得. （2）①当时，方程无解，故，满足，符合条件. ②当时，解方程得. ∵ ，∴ . 若，解得. 若，解得. 综上，的取值为或或. （3）1. 当时，满足，此时判别式，解得. 2. 当只有一个元素时，需满足且方程的根为-1或4， 由得，代入方程得，解得且， 故该情况不成立. 3. 当时，由韦达定理得，该方程组无解. 综上，的取值范围为. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 考点九 集合的基本运算 33．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合． (1)求； (2)求． 【答案】(1)，； (2)或 【详解】（1）， 故， ； （2）或，， 故或. 34．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集和并集的定义进行求解. 【详解】已知，，所以， 又因为，所以. 35．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】化简集合，逐项做交集、并集、补集即可． 【解答】，∴， 对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C 错误； 对于D：，D正确． 36．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合，，求： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）利用补集和交集的定义即可求解． 【详解】（1）由于，， 故，． （2）由于，，, 故，． 考点十 根据集合的运算求参数 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， （2）当时，满足，此时：，解得， 当时，由知或解得或， 综上所述，实数y的取值范围为 38．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， 或 (2) 【分析】（1）利用集合的交并补定义即可求解； （2）等价于，再由集合的包含关系和对集合是否非空分类讨论，即可列出不等式组求解. 【详解】（1）已知. 所以； 又， 或. （2）因为，所以， 当时， ，解得， 当时，，即， 所以实数的取值范围为. 39．（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】或，又， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，． 40．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或或或或 【分析】（1）由交集条件知2属于集合B，将代入方程求出a，再检验1不在B中； （2）由推出，分B为空集、单元素集合、双元素集合三类讨论判别式与方程根； （3）由转化为，分判别式正负讨论，排除使1或2属于B的a值． 【详解】（1）集合， ，，将代入中的方程， 得，或， 当时，，满足条件； 当时，，也满足条件， 综上可得，的值为或． （2），， 对于集合中的方程，当， 即时，，满足条件； 当时，即时，，满足条件； 当时，即时，，满足条件， 即，此时值不存在， 综上可知，的取值范围是． （3），，， ①当，即时，，满足条件； ②当，即时，，，不满足条件； ③当，即时，，此时只需且即可， 将代入中的方程，得， 将代入中的方程，得， 且且， 综上可知，的取值范围是： 或或或或． 考点十一 图解决集合运算问题 41．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有，，人；同时修数学、语文两门课的学生有人，同时修数学、外语两门课的学生有人，同时修语文、外语两门课的学生有人；三门课全修的学生有人，则只修一门课的学生有__________人. 【答案】 【分析】根据集合的容斥原理的性质即可求解. 【详解】设修数学、语文、外语的学生组成集合分别为， 则，，， ，，，， 所以总人数为 人， 正好修数学、语文的人数为人； 正好修数学、外语的人数为人； 正好修语文、外语的人数为人； 所以只修两门的人数为人， 因此，只修一门的人数为人. 42．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加劳动实践的人数为（    ） A．6 B．5 C．8 D．3 【答案】B 【分析】使用集合的容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为，同时只参加劳动实践和技术培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合劳动实践的总人数，算出只参加劳动实践的人数. 【详解】高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践， 有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训， 同时报名参加劳动实践和研学参观的有人， 同时报名参加研学参观和技术培训的有5人， 设三类都参加的人数为，同时只参加劳动实践和技术培训的人数为，列出韦恩图， 则，可得， 所以只参加劳动实践的人数为人. 43．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为， 由题可得，， 故，或， 故. 44．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）如图，已知表示全集，，是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由图可知，阴影部分由中不在中的元素和中不在中的元素组成，逐一判断即得. 【详解】由图可知，阴影部分表示属于但不属于的部分，可表示为，故C正确； 对于A，只表示右侧阴影部分，故A错误； 对于B，表示全集中去掉后所剩部分，故B错误； 对于D，也表示属于但不属于的部分，故D正确. 考点十二 集合中的新定义 45．（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】①计算得： ， ， ，满足性质， ①正确. ②计算得： ， ， ，不满足性质， ②错误. ③由互异性得且，结合，得. ，，计算得： ， 由逐一验证： ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，，而中均小于，均大于， 无公共元素，满足性质，因此满足性质的的取值为， 由于时不满足性质，所以命题③不成立. ④由，所有两元素差的绝对值都必须是中的元素， 求： ，该值属于.又，不可能等于， 故只能，解得. 求： 代入，，，则属于. 假设，即，此时，但不在中， 即会多出元素，与矛盾，因此不能等于，因此只能，解得. 验证：，，符合条件，此时， ④正确. 46．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 【答案】ACD 【分析】根据“类”的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，即余数为2，故A正确； 对于B，，即余数为1，故B错误； 对于C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，故C正确； 对于D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，故D正确． 47．（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）定义可分比集合：若对于集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．例如：集合是可分比集合．若集合，均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用反证法证明不成立，同理可证均不成立，所以，最后再验证可行可得. 【详解】对任意， 若，都有，即， 即，即较大的数不能大于或等于较小的数的倍且小于或等于较小的数的倍. 若，此时，显然，自动满足条件. 因此只需考虑即可. 下证不成立： 假设存在两个可分比集合和，满足. 对于，必定或，不妨设； 因为，即，所以和不能同组，所以； 因为，即，所以和不能同组，所以； 因为，所以和不能同组，且，所以； 因为，所以和不能同组，且，所以； 如果，因为，且，则集合不符合可分比集合的定义； 如果，因为，且，则集合不符合可分比集合的定义； 因此数字既不能在集合中，也不能在集合中，即，与矛盾. 如果，对称推导，同样可得数字既不能在集合中，也不能在集合中， 即，与矛盾. 因此假设不成立，即时无法分成两个可分比集合. 因为不成立，那么更不成立，因为， 同理数字既不能在集合中，也不能在集合中，因此不成立. 因此. 下面验证可行. 将集合作如下分组：，. 验证集合： ①含元素的配对：，均大于，不在内； ②在子集内部，集合中较大数除以较小数的最大值为，比值都小于，不在内； 因此集合中任意两个数的比值不属于，所以集合是可分比集合. 再验证集合：因为，，所以集合是可分比集合. 因此满足题意. 综上所述，正整数的最大值为. 48．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）定义集合的运算“”：，且．已知，则___________；集合的真子集个数为___________． 【答案】 【详解】由题可得：因为，,则，故集合的真子集个数为 1．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有的正方形 B．方程的所有实数根 C．我国较长的河流 D．四大文明古国 【答案】C 【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合； 对于B选项，“方程的所有实数根”的对象是明确的，故能构成集合； 对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合； 对于D选项，“四大文明古国”的对象是明确的，故能构成集合. 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）用描述法表示下图所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是（    ） A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】B 【详解】由图可知，的取值范围是；的取值范围是. 所以图上所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是且. 3．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 5．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合相等可得出关于、的方程组，结合集合元素满足互异性可求得结果. 【详解】因为集合，，且，分以下两种情况讨论： （1），无解； （2），解得. 综上所述，实数的取值集合为. 6．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，集合，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，集合，若，画出数轴如图，可得 7．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）设集合，集合，且，则的值组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，由得到，分别按照和讨论求出的值组成的集合. 【详解】， 因为，所以， 当时，，满足， 当时，，， 因为，所以或，解得或， 综上，的值组成的集合是. 8．（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）（多选）已知只有一个元素，则实数的取值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】由集合中只有一个元素可知可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，分类讨论即可得出答案. 【详解】因为集合中只有一个元素， 所以可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程 若是一元一次方程，则，此时有，解得，符合题意； 若是一元二次方程，则，解得， 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，实数的取值可以是，，. 9．（26-27高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知集合，若满足，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为满足，所以2一定是集合A中的元素， 当时，或， 若，此时集合元素重复，舍去； 若，此时集合满足，符合条件； 当时，或， 若，此时集合满足，符合条件； 若，此时集合元素重复，舍去； 综上：或. 10．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知，集合，，则下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．不存在实数，使得 【答案】ABD 【分析】根据集合的交并运算、集合包含关系，结合开区间的长度和范围即可求解. 【详解】对于A：当时，，则，故A正确； 对于B：若，则或，即或，所以当时，可以推出，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若，则，即，故不存在实数，使得，故D正确. 11．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将转化为，分和两种情况列不等式求解后合并取值范围. 【详解】由集合运算的性质可知，等价于，分两种情况讨论： 当时，满足，此时区间左端点大于右端点，即，解得； 当时，需同时满足区间有意义和子集的条件，即： 故此时的取值范围为， 将两种情况的取值范围合并，可得实数的取值范围是. 12．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知，，若集合，则的值为____________. 【答案】1 【分析】根据集合相等时元素相同，利用和分别确定、的取值． 【详解】因为有意义，所以． 又因为两集合相等，且右边的集合含有元素，所以． 由，得，即． 因此，． 由于是左边集合的元素，所以或，即或． 当时集合元素重复不符合互异性，舍去，仅满足原集合等式. 故． 13．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为__________． 【答案】3 【分析】根据集合的定义及集合元素的互异性求出集合，再相加求解即可. 【详解】当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，； 所以. 故元素之和为：. 14．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，． (1)若，求的取值集合； (2)若中只有一个元素，求的取值集合； (3)若，且，求的取值集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的条件，对参数进行分类讨论，根据一元二次方程判别式的性质，列出不等式，求出结果； （2）根据中只有一个元素的条件，对参数进行分类讨论，根据一元二次方程判别式的性质，列出方程，求出结果； （3）根据条件，求出集合的元素，根据对集合进行分类讨论，列出方程，求出参数值. 【详解】（1）当时，不符合条件， 当时，若，可得无解，即，解得， 所以的取值集合为. （2）当时，符合条件， 当时，若中只有一个元素，可得只有一个解，即，解得， 所以的取值集合为. （3）当时，， 当时，即时，符合条件， 当时，即，解得，符合条件， 当时，即，解得，符合条件， 所以的取值集合为. 15．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 16．（25-26高一上·海南·阶段检测）已知全集，， (1)用列举法写出集合，，； (2)若，求，的值. 【答案】(1)，， (2)、 【分析】（1）直接用列举法表示，，再由补集、交集的结果得到，，，，利用反证法说明，，，，即可求出集合； （2）依题意可得、为关于方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为， 又，所以，，，， ，，，， 若，则且，则，矛盾，所以， 同理可证，，，所以， . （2）因为， 所以、为关于方程的两根， ∴，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 知识点6：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点7：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点8：子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点9：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点10：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点11：集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点12：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一 判断元素与集合的关系 考点二 集合的表示方法 考点三 集合中元素的特性 考点四 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 考点五 分类讨论法解决集合中元素的个数问题 考点六 子集（真子集）个数 考点七 判断两个集合的关系 考点八 根据集合包含关系求参数 考点九 集合的基本运算 考点十 根据集合的运算求参数 考点十一 图解决集合运算问题 考点十二 集合中的新定义 考点一 判断元素与集合的关系 1．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）下列关系中正确的个数是（    ） ①      ②      ③     ④ A． B． C． D． 2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）设，则______．（选填“”、“”） 4．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设集合，集合，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 考点二 集合的表示方法 5．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）集合中的元素个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．9 6．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）集合，试用列举法表示集合_____． 7．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（    ） A． B． C． D． 考点三 集合中元素的特性 9．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B．由的解组成的集合可表示为 C．集合和表示同一个集合 D．数值很大的正数可以构成集合 10．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）下列说法中，正确说法的个数是（   ）． ①联合国安理会常任理事国能组成一个集合； ②市北中学很喜欢足球的同学能组成一个集合； ③实数，，，，，，组成的集合中有6个元素． A．0； B．1； C．2； D．3． 11．（2026高一·全国·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 考点四 分类讨论法解决元素与集合的关系问题 13．（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）已知集合，且，则__________． 14．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 15．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（     ） A． B． C． D．或 16．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 考点五 分类讨论法解决集合中元素的个数问题 17．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 19．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，若集合有个元素，则实数的取值范围为__________． 20．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 考点六 子集（真子集）个数 21．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 22．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有___________种． 23．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）集合的非空子集的个数是____________________． 24．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 考点七 判断两个集合的关系 25．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知集合，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 26．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）已知集合，集合，集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤⑥ D．④⑤⑧ 28．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）集合，以下选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八 根据集合包含关系求参数 29．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合． 30．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 31．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，. (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的值. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点九 集合的基本运算 33．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合． (1)求； (2)求． 34．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 35．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合，，求： (1)，； (2)，． 考点十 根据集合的运算求参数 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 38．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 39．（26-27高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 考点十一 图解决集合运算问题 41．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有，，人；同时修数学、语文两门课的学生有人，同时修数学、外语两门课的学生有人，同时修语文、外语两门课的学生有人；三门课全修的学生有人，则只修一门课的学生有__________人. 42．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加劳动实践的人数为（    ） A．6 B．5 C．8 D．3 43．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 44．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）如图，已知表示全集，，是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（     ） A． B． C． D． 考点十二 集合中的新定义 45．（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 46．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 47．（26-27高一上·贵州黔西南·阶段检测）定义可分比集合：若对于集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．例如：集合是可分比集合．若集合，均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）定义集合的运算“”：，且．已知，则___________；集合的真子集个数为___________． 1．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有的正方形 B．方程的所有实数根 C．我国较长的河流 D．四大文明古国 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）用描述法表示下图所示阴影部分的点包括边界上的点的坐标的集合是（    ） A．且 B．且 C．且 D．或 3．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，集合，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）设集合，集合，且，则的值组成的集合是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·安徽淮北·阶段检测）（多选）已知只有一个元素，则实数的取值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 9．（26-27高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知集合，若满足，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知，集合，，则下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．不存在实数，使得 11．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 12．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知，，若集合，则的值为____________. 13．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为__________． 14．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，． (1)若，求的取值集合； (2)若中只有一个元素，求的取值集合； (3)若，且，求的取值集合． 15．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 16．（25-26高一上·海南·阶段检测）已知全集，， (1)用列举法写出集合，，； (2)若，求，的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $