第1-3章期中复习讲义（36 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一至三章 期中复习 课时同步练习 期中复习知识清单（第一至三章：36 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 集合与常用逻辑用语 · 一元二次函数、方程和不等式 · 函数的概念与性质 共 40 题（变式 10 · 易错 8 · 作业 12）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．集合：元素三特性、∈/∉、列举法与描述法、⊆/⫋、子集个数2ⁿ、A∪B、A∩B、∁UA的数轴与Venn图运算 2．常用逻辑用语：p⇒q的充分/必要判断与集合包含互译、充要条件、全称量词命题 ∀x∈M,p(x) 与存在量词命题 ∃x∈M,p(x) 的否定 3．不等式：8条不等式性质、作差比较、a²+b²≥2ab、≤及取等条件、积定和最小与和定积最大 4．三个二次：Δ>0/Δ=0/Δ<0时ax²+bx+c>0的解集对照表、由解集反求系数、恒成立的判别式条件 5．函数：函数定义与三要素、区间记号、同一个函数、分段函数、单调性定义证明四步、最值、奇偶性定义与图象对称、五个幂函数y=x, x², x³, , 的性质 学习重难点 重点：集合的运算与含参数子集问题；充分条件、必要条件与集合包含关系的互译；按“一正二定三相等”用基本不等式求最值；按Δ分类解一元二次不等式并由解集反求系数；单调性定义证明四步；奇偶性判断前先看定义域是否关于原点对称。 难点：含参数的分类讨论（子集是否为空、二次项系数正负、恒成立条件）；把“充分不必要条件”“恒成立”翻译成集合包含或函数最值问题。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　1.1 集合的含义：元素的三个特性 3 知识点 02　1.1 元素与集合的关系及常用数集 3 知识点 03　1.1 集合的表示方法 4 知识点 04　1.2 子集与真子集 4 知识点 05　1.2 集合相等与空集 4 知识点 06　1.2 子集个数公式 4 知识点 07　1.3 并集 5 知识点 08　1.3 交集 5 知识点 09　1.3 全集与补集 5 知识点 10　1.4 充分条件与必要条件 5 知识点 11　1.4 充要条件 6 知识点 12　1.5 全称量词与存在量词及命题的否定 6 知识点 13　2.1 等式的性质 6 知识点 14　2.1 不等式的基本性质 6 知识点 15　2.1 作差比较大小 7 知识点 16　2.1 重要不等式 7 知识点 17　2.2 基本不等式 7 知识点 18　2.2 基本不等式求最值 7 知识点 19　2.3 一元二次不等式的概念 8 知识点 20　2.3 二次函数的零点 8 知识点 21　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 8 知识点 22　2.3 解一元二次不等式的步骤 8 知识点 23　2.3 不等式恒成立的判别式条件 8 知识点 24　2.3 一元二次不等式的实际应用 9 知识点 25　3.1 函数的概念 9 知识点 26　3.1 区间的表示 9 知识点 27　3.1 同一个函数 9 知识点 28　3.1 函数的表示法 10 知识点 29　3.1 分段函数 10 知识点 30　3.2 函数的单调性 10 知识点 31　3.2 函数的最值 10 知识点 32　3.2 函数的奇偶性 10 知识点 33　3.2 奇偶函数的图象与性质 10 知识点 34　3.3 幂函数的概念 11 知识点 35　3.3 五个常见幂函数的图象与性质 11 知识点 36　3.4 函数的应用（一） 11 考点 1　描述法里的代表元素：数集、点集与解集的辨认及运算 11 考点 2　数轴定端点：由交、并、补的运算结果反推参数的开闭 12 考点 3　小范围推大范围：用解集包含关系判定条件并求参 12 考点 4　量词命题：先写否定，再把真假转成取值范围 12 考点 5　作差配方定号与同向可加：比较大小及求商差的范围 13 考点 6　凑定值三验证：基本不等式在实际用料中的优化 13 考点 7　看图读解集：由抛物线与横轴交点写不等式解集并反推系数 14 考点 8　分段函数：先定段求值，再按段解不等式 14 考点 9　单调性与奇偶性联用：对称区间上的函数不等式 15 考点 10　建模先写定义域：二次函数模型的定价决策 16 易错专练 16 方法清单 17 方法 01　数轴定端点：区间运算画数轴，端点能否取等单独代入核 17 方法 02　小范围推大范围：p 对应集合 ⫋ q 对应集合 ⇔ p 是 q 的充分不必要条件 17 方法 03　否定两步走：改量词 ＋ 否结论，量词后的范围不否定 17 方法 04　作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 17 方法 05　同向不等式可加可乘（正数），不可相减相除，求差与商先化成和与积 18 方法 06　基本不等式三验证：一正二定三相等 18 方法 07　看图读解集：开口 ＋ 与 x 轴交点 → 解集，解集端点即对应方程的根 18 方法 08　单调性定义法四步：取值—作差—变形定号—结论 18 方法 09　先定义域后性质：判断奇偶性、求单调区间、解函数不等式前先写定义域 18 方法 10　建模三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并回答 18 课后作业（一）基础过关 18 　知识梳理 知识点梳理　01　1.1 集合的含义：元素的三个特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合中的元素必须满足确定性：给定集合后，一个对象要么是它的元素要么不是，不能模棱两可；满足互异性：同一集合中的元素互不相同；满足无序性：元素的排列次序不影响集合本身。含参数的集合问题解出字母后，必须把每个解逐一代回集合检验，凡使集合中出现两个相同元素的解都要舍去。 确定性＋互异性＋无序性——三性缺一不可，互异性是解题最易漏查的一条 知识点梳理　02　1.1 元素与集合的关系及常用数集 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A，两者必居其一。数学中几个常用数集都有固定符号：非负整数集（自然数集）记作N，正整数集记作N*或N₊，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。 a∈A与a∉A二者必居其一，判断前先看清元素属于哪一类数集 记号 读法 含义 举例 N 自然数集 全体非负整数 0，1，2，3…都在N中 N*（N₊） 正整数集 N中去掉0 1，2，3… Z 整数集 正整数、0、负整数的全体 －2，0，5 Q 有理数集 整数与分数的全体 ，－3 R 实数集 有理数与无理数的全体 ，π 知识点梳理　03　1.1 集合的表示方法 把集合的元素一一列举出来，写在花括号内，这种方法叫做列举法；把集合中元素的共同特征描述出来，写成{x∈A|p(x)}的形式，这种方法叫做描述法。用描述法时要先看清代表元素x究竟是一个数、一个点还是别的对象，代表元素不同，同样的条件所刻画的集合含义也不同。 描述法｛x∈A|p(x)｝：竖线左边写代表元素及其所在数集，右边写元素满足的条件 知识点梳理　04　1.2 子集与真子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说集合A是集合B的子集，记作A⊆B。如果A⊆B，且集合B中至少存在一个元素不属于A，就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。判断子集关系时要逐一核查A中的每一个元素是否都在B中。 A⊆B：A中每个元素都属于B；A⫋B：A⊆B且B中有元素不属于A 知识点梳理　05　1.2 集合相等与空集 如果集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么A与B的元素完全相同，此时称A与B相等，记作A=B。不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。证明两个集合相等的标准做法是分别证明A⊆B与B⊆A两个方向都成立。 A=B当且仅当A⊆B且B⊆A；∅⊆A对任意集合A都成立 知识点梳理　06　1.2 子集个数公式 含有n个元素的集合，它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数都可以用固定公式直接算出，不必逐一罗列。 子集：2ⁿ 个；真子集：2ⁿ－1个（去掉集合本身）；非空真子集：2ⁿ－2个（再去掉空集） 元素个数n 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 2 1 0 2 4 3 2 3 8 7 6 n 2ⁿ 2ⁿ－1 2ⁿ－2 知识点梳理　07　1.3 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。这里的“或”包含“只属于A”“只属于B”“两者都属于”三种情形，重复的元素按互异性只算一次。A∪B=B与A⊆B是等价的说法。 A∪B={x|x∈A，或x∈B}；A∪B=B当且仅当A⊆B 知识点梳理　08　1.3 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。交集只保留两个集合的公共部分，若A与B没有公共元素，则A∩B=∅。A∩B=A与A⊆B是等价的说法。 A∩B={x|x∈A，且x∈B}；A∩B=A当且仅当A⊆B 知识点梳理　09　1.3 全集与补集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作U。对于全集U的一个子集A，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA，即∁UA={x|x∈U且x∉A}。求区间型集合的补集时，端点的开闭要互换：原来取到的端点变为取不到，原来取不到的端点变为取到。 ∁UA={x|x∈U，且x∉A}；∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 小提示：求半开区间在R中的补集时最容易漏掉端点开闭的互换，务必逐个端点单独核对。 知识点梳理　10　1.4 充分条件与必要条件 如果“若p，则q”是真命题，就说由p可以推出q，记作p⇒q，并称p是q的充分条件，q是p的必要条件。把p、q各自对应的取值集合记为A、B，则p⇒q对应集合关系A⊆B，这条互译是判断含参数条件问题的关键一步。 p⇒q当且仅当p是q的充分条件 当且仅当q是p的必要条件 当且仅当A⊆B（A、B为p、q对应集合） 说法 记号 集合语言 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B q是p的必要条件 p⇒q A⊆B p是q的充分不必要条件 p⇒q且q推不出p A⫋B p是q的必要不充分条件 q⇒p且p推不出q B⫋A 知识点梳理　11　1.4 充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p当且仅当q，此时称p是q的充要条件，也称p与q互为充要条件。证明一个命题是充要条件，必须分充分性、必要性两步分别证明：充分性证p⇒q，必要性证q⇒p，两步缺一不可。 p当且仅当q当且仅当p⇒q且q⇒p；证明充要条件必写“充分性”“必要性”两步 知识点梳理　12　1.5 全称量词与存在量词及命题的否定 含有“所有”“任意一个”等全称量词的命题叫做全称量词命题，记作∀x∈M，p(x)；含有“存在一个”“至少一个”等存在量词的命题叫做存在量词命题，记作∃x∈M，p(x)。∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x)，否定时只改变量词并否定结论，量词后面的取值范围M保持不变。 ∀x∈M，p(x) 的否定：∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x) 的否定：∀x∈M，¬p(x) 命题形式 为真的验证方式 为假的验证方式 ∀x∈M，p(x) M中每个元素都验证成立 举出一个反例 ∃x∈M，p(x) 找到一个成立的元素 说明M中没有元素成立 知识点梳理　13　2.1 等式的性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个非零数，所得结果仍是等式。这些性质是研究不等式性质、解方程与解不等式的共同出发点。 a=b ⇒ a±c=b±c；a=b ⇒ ac=bc；a=b，c≠0 ⇒ = 知识点梳理　14　2.1 不等式的基本性质 关于实数大小关系有一条基本事实：a－b>0当且仅当a>b，a－b=0当且仅当a=b，a－b<0当且仅当a<b，由此可以类比等式的性质，推出一系列不等式的性质，包括对称性、传递性、可加性和可乘性等。不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向要反过来，这是最容易出错的一条。 a>b当且仅当b<a；a>b，b>c ⇒ a>c；a>b ⇒ a＋c>b＋c；a>b，c>0⇒ac>bc，c<0⇒ac<bc 性质名称 式子 条件 对称性 a>b ⇒ b<a 任意实数 传递性 a>b，b>c ⇒ a>c 任意实数 可加性 a>b ⇒ a+c>b+c c为任意实数 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；c<0⇒ac<bc c的符号决定方向 同向可加 a>b，c>d⇒a+c>b+d 两式同向 正数同向可乘 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 四数均为正 知识点梳理　15　2.1 作差比较大小 比较两个实数或代数式a与b的大小，最基本的方法是作差：算出a－b，再对差式进行变形（配方或因式分解），根据差式的符号确定a与b的大小关系。整个过程分为作差、变形、定号、下结论四步，其中变形是决定能否顺利定号的关键。 a－b>0当且仅当a>b；a－b=0当且仅当a=b；a－b<0当且仅当a<b；四步：作差—变形—定号—结论 知识点梳理　16　2.1 重要不等式 对任意实数a，b，都有a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，这个不等式叫做重要不等式，它的证明只需要对差式a²＋b²－2ab作配方，得到(a－b)²≥0。这条不等式是推导基本不等式的基础。 a²＋b²≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号；证明：a²＋b²－2ab=(a－b)²≥0 知识点梳理　17　2.2 基本不等式 当a>0，b>0时，有≤，当且仅当a=b时等号成立，这个不等式叫做基本不等式。式中叫做a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，因此基本不等式也可以说成：两个正数的几何平均数不超过它们的算术平均数。 ≤（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号 知识点梳理　18　2.2 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值时，若两个正数x、y的积xy为定值P，则和x＋y有最小值；若x、y的和为定值S，则积xy有最大值。使用这一结论必须同时满足三个条件，通常概括为一正、二定、三相等：各项都为正数，和或积中有一项是定值，并且存在使各项相等的自变量取值。 积定和最小：xy=P⇒x＋y≥；和定积最大：x＋y=S⇒xy≤；使用前提：一正二定三相等 小提示：自变量受限制导致等号取不到时，不能直接套用基本不等式的结果作最值，应改用函数单调性求解。 知识点梳理　19　2.3 一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax²＋bx＋c>0或ax²＋bx＋c<0（a≠0）。求解一元二次不等式的依据是对应二次函数图象与x轴的位置关系。 一元二次不等式一般形式：ax²＋bx＋c>0（或<0，≥0，≤0），a≠0 知识点梳理　20　2.3 二次函数的零点 对于二次函数y=ax²＋bx＋c，使ax²＋bx＋c=0成立的实数x，叫做这个二次函数的零点，也就是函数图象与x轴交点的横坐标。零点的个数由判别式Δ=b²－4ac的符号决定。 ax²＋bx＋c=0的实数解＝二次函数y=ax²＋bx＋c的零点＝图象与x轴交点的横坐标 知识点梳理　21　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 二次函数的图象与x轴的位置关系，把一元二次方程的根与一元二次不等式的解集紧密联系在一起：当a>0时，按判别式Δ的符号可以分三种情形，分别列出方程ax²＋bx＋c=0的根、不等式>0与<0的解集。 a>0且Δ>0（两根x₁<x₂）：>0解集{x|x<x₁，或x>x₂}，<0解集{x|x₁<x<x₂} a>0且Δ=0（根x₀）：>0解集{x|x≠x₀}，<0解集∅ a>0且Δ<0：>0解集R，<0解集∅；a<0时先两边乘－1并把不等号反向 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax²+bx+c=0的根 两个不等实根x₁<x₂ 两个相等实根x₁=x₂ 没有实数根 ax²+bx+c>0的解集 {x|x<x₁或x>x₂} {x|x≠x₁} R ax²+bx+c<0的解集 {x|x₁<x<x₂} ∅ ∅ 知识点梳理　22　2.3 解一元二次不等式的步骤 解一元二次不等式一般按四步进行：先把二次项系数化为正数，再求出判别式与方程的根，然后画出草图判断开口方向，最后按“大于取两边、小于取中间”的口诀写出解集，其中“两边”“中间”都是相对于两根而言的。 步骤：化正—求根（判别式）—画图—按“大于两边、小于中间”写解集 知识点梳理　23　2.3 不等式恒成立的判别式条件 若要求ax²＋bx＋c>0对一切实数x都恒成立，需要分两种情形讨论：当a=0时，不等式退化为一次式，需要b=0且c>0；当a≠0时，需要抛物线开口向上且与x轴没有交点，即a>0且Δ<0。含参数的二次项系数不能默认不为零，必须先讨论是否退化。 ax²＋bx＋c>0对一切实数x恒成立 当且仅当 （a=0且b=0且c>0）或（a>0且Δ<0） 小提示：二次项系数含参数时，直接套用Δ<0会漏掉系数为0退化成一次式的情形，必须先分类讨论。 知识点梳理　24　2.3 一元二次不等式的实际应用 解决与一元二次不等式有关的实际问题，通常按设变量、列不等式、解不等式、结合实际取值范围作答四步进行，其中最后一步要注意舍去不符合实际意义的解（如自变量必须为正整数、不能超过某个上限等）。 步骤：设变量—列不等式—解不等式—结合实际范围取舍作答 知识点梳理　25　3.1 函数的概念 设A，B是两个非空的实数集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f为从A到B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，其中值域由定义域和对应关系共同决定。 y=f(x)，x∈A：A中任一x在B中都有唯一确定的y对应；三要素：定义域、对应关系、值域 知识点梳理　26　3.1 区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作[a,b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记作(a,b)；只在一端取等号的区间叫做半开半闭区间。区间的写法与集合的写法一一对应，端点是否带等号决定用方括号还是圆括号。 闭区间[a,b]＝{x|a≤x≤b}；开区间(a,b)＝{x|a<x<b}；含∞的一端必须用圆括号 集合写法 区间写法 名称 {x|a≤x≤b} [a,b] 闭区间 {x|a<x<b} (a,b) 开区间 {x|a≤x<b} [a,b) 半开半闭区间 {x|a<x≤b} (a,b] 半开半闭区间 {x|x≥a} [a,+∞) — {x|x<b} (－∞,b) — 知识点梳理　27　3.1 同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数，与自变量所用的字母无关。判断时只需比较定义域与对应关系这两项，不必考虑值域，因为值域由前两者唯一确定。 同一个函数 当且仅当 定义域相同 且 对应关系相同（化简后比较，与字母无关） 知识点梳理　28　3.1 函数的表示法 函数常用的表示方法有三种：用数学表达式表示函数关系的解析法，用表格表示函数关系的列表法，用图象表示函数关系的图象法，三种方法各有侧重。求函数解析式时常用待定系数法（已知函数类型）或换元法（已知复合表达式）。 三种表示法：解析法、列表法、图象法；求解析式常用待定系数法、换元法 知识点梳理　29　3.1 分段函数 如果一个函数在其定义域的不同部分上，对应关系用不同的式子表示，这样的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数，它的定义域是各段自变量取值范围的并集，求函数值时要先判断自变量落在哪一段，再代入相应的式子。 分段函数定义域＝各段范围的并集；求值先定段，再代入该段的解析式 知识点梳理　30　3.2 函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时都有f(x₁)<f(x₂)，就称f(x)在区间I上单调递增；如果都有f(x₁)>f(x₂)，就称f(x)在区间I上单调递减。区间I叫做f(x)的单调区间，写单调区间时不能把两个分离的区间用并集符号连接。 任取x₁<x₂∈I，f(x₁)<f(x₂)⇒递增；f(x₁)>f(x₂)⇒递减；单调区间不能用∪连接 知识点梳理　31　3.2 函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M，对任意x∈D都有f(x)≤M，并且存在x₀∈D使得f(x₀)=M，那么M叫做函数的最大值；把不等号方向反过来，就得到最小值的定义。若函数在闭区间上单调，最值必在区间的端点处取得。 最大值M：∀x∈D，f(x)≤M，且∃x₀∈D，f(x₀)=M；闭区间上单调函数的最值在端点取得 知识点梳理　32　3.2 函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，如果对任意x∈D都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，就称f(x)为偶函数；如果都有f(－x)=－f(x)，就称f(x)为奇函数。判断奇偶性之前必须先检验定义域是否关于原点对称，不满足前提就直接得出“非奇非偶”的结论。 偶函数：f(－x)=f(x)；奇函数：f(－x)=－f(x)；前提：定义域关于原点对称 小提示：先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶，不必再代入f(－x)计算。 知识点梳理　33　3.2 奇偶函数的图象与性质 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。奇函数若定义域包含x＝0这一点，其在该点处的函数值必为0（即f(0)＝0）。奇函数在两个对称的区间上单调性相同，偶函数在两个对称的区间上单调性相反。 奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；奇函数若在0处有定义则f(0)=0 知识点梳理　34　3.3 幂函数的概念 形如y=（α为常数）的函数叫做幂函数，其中x是自变量，幂函数要求系数为1且底数必须是自变量本身，指数α可以是任意常数。 幂函数：y=（α为常数），系数必须是1，底数必须是自变量x 知识点梳理　35　3.3 五个常见幂函数的图象与性质 高中阶段先研究y=x，y=x²，y=x³，y=，y=这五个常见的幂函数，它们的定义域、值域、奇偶性、单调性各不相同，但图象都经过公共点(1,1)。 五个幂函数的图象都经过(1,1)；奇偶性与单调性因α而异，需分别记忆 幂函数 定义域 值域 奇偶性 (0,+∞)上单调性 y=x R R 奇函数 递增 y=x² R [0,+∞) 偶函数 递增 y=x³ R R 奇函数 递增 y= [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 递增 y= {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 递减 知识点梳理　36　3.4 函数的应用（一） 用函数模型解决实际问题，一般按设变量、建立函数式、写出定义域、求解、作答五步进行，常用的模型有一次函数、二次函数、分段函数与幂函数模型。求最值时二次函数模型常用配方法，涉及两个变量之积或和为定值时可考虑基本不等式。 建模五步：设变量—建函数式—写定义域—求解—作答；二次模型配方，定值型可用基本不等式 　【题型1】描述法里的代表元素：数集、点集与解集的辨认及运算 1．设集合A＝{x|x＝2t＋1，t∈Z}，B＝{y|y＝2s－1，s∈Z}，C＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈Z，y∈Z}，下列判断正确的是（　　） A．A＝B B．A＝C C．A∩C≠∅ D．B⊆C 　题型1　变式 2．已知M＝{(x，y)|2x－y＝1}，N＝{(x，y)|x＋y＝5}，用列举法写出M∩N＝________。 　【题型2】数轴定端点：由交、并、补的运算结果反推参数的开闭 3．已知集合A为不等式x²－x－6≤0的解集，集合B＝[a－1，2a＋3]（B为非空集合）。若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围，并说明端点能否取到。 　题型2　变式 4．A＝，，B＝(－∞，m]，并且A∩B中的整数共有2个。此时m的取值区间为____。 　【题型3】小范围推大范围：用解集包含关系判定条件并求参 5．已知条件p：|x|≤1，条件q：x²－x－6<0，则p作为q的条件，其类型为（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 　题型3　变式 6．设p：x²－(2m＋1)x＋m²＋m≤0，q：x²－2x－8<0（m为实数）。（1）解不等式x²－(2m＋1)x＋m²＋m≤0（结果用含m的式子表示p对应的解集）；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 　【题型4】量词命题：先写否定，再把真假转成取值范围 7．命题“∃x∈N*，x²－6x＋8<0”的否定是________，原命题的真假是________。 　题型4　变式 8．已知命题“∃x∈[1，4]，x²－2x＋t<0”为假命题，求实数t的取值范围。 　【题型5】作差配方定号与同向可加：比较大小及求商差的范围 9．已知a<b<0，c∈R，下列结论中一定成立的是（　　） A．a²<b² B．ac²<bc² C．|a|<|b| D．>1 　题型5　变式 10．已知a∈(2，5)，b∈(－4，－2)，分别求a－2b与的取值范围。 　【题型6】凑定值三验证：基本不等式在实际用料中的优化 11．某冷链公司计划建一座地面为矩形的冷库，总面积为150平方米，内部用两道与一组对边平行的隔墙隔成3间面积相等的冷藏间。已知外墙每米造价400元，隔墙每米造价200元（墙高相同，只按墙长计价）。设冷库与隔墙垂直的一边长x米，与隔墙平行的一边长y米，问x，y各为多少时墙体总造价最低？最低总造价是多少元？ 　题型6　变式 12．正数x、y之间有关系5x＋y＝xy。当x＋2y取到最小值时，该最小值为________，这时x＝________。 　【题型7】看图读解集：由抛物线与横轴交点写不等式解集并反推系数 13．如图，已知抛物线y＝f(x)的图象开口向下，与x轴交于(－1，0)与(3，0)两点，则不等式f(x)≥0与f(x)<0的解集分别是（　　） A．[－1，3]；x<－1或x>3 B．(－1，3)；x≤－1或x≥3 C．x≤－1或x≥3；(－1，3) D．[－1，3]；(－1，3) 　题型7　变式 14．关于x的不等式x²－ax－b≤0的解集是 [－2，5]。（1）确定a，b的值；（2）当x在什么范围内取值时，bx²＋ax－1<0？ 　【题型8】分段函数：先定段求值，再按段解不等式 15．函数f(x)按分段规则确定：对于x<2，f(x)＝2x＋1；对于x≥2，f(x)＝x²－3。则f(f(1))＝________；使f(t)＝6成立的实数t＝________。 　题型8　变式 16．某停车场按停车时长计费：单次停车时长不超过1小时，不收费；超出1小时以后，超出部分按每小时2元计费（停车时长可连续变化，可按比例折算，允许取小数）。记某车主一次停车的时长为x小时（x≥0），本次应缴停车费为y元。（1）请用分段函数表示y与x的对应关系；（2）该车主本次停车费不超过10元时，x的取值范围是什么？（3）该车主本次停车费恰为7元时，这次停车持续了多长时间？ 　【题型9】单调性与奇偶性联用：对称区间上的函数不等式 17．已知函数f(x)＝的定义域为[－2，2]。（1）判断f(x)的奇偶性；（2）设0≤x₁<x₂≤2，将x₁、x₂分别代入并作差化简，据此说明f(x)在该区间上的增减性；（3）根据奇偶性写出f(x)在[－2，0]上的单调性。 　题型9　变式 18．已知函数f(x)＝，x∈[－3，3]。（1）判断f(x)的奇偶性，并说明f(x)在[0，3]上的单调性；（2）解不等式f(2m－1)<f(m)。 　【题型10】建模先写定义域：二次函数模型的定价决策 19．某网店销售一款台灯，每个进价40元。经调查，日销量y（个）是售价x（元）的一次函数，部分数据如下：售价50元时日销量100个；售价60元时日销量80个。（1）求y关于x的函数解析式；（2）售价x取哪些值时，日利润能达到1000元及以上；（3）设该网店日利润为W元，则售价x为何值时W最大？最大利润是多少元？ 　题型10　变式 20．某农机厂年固定成本为54万元。设该厂年产量为x（单位：百台，x∈N*，且1≤x≤12），每生产x百台还需投入可变成本4x²万元；每百台产品的售价为(60－2x)万元。（1）若该厂当年要盈利（利润为正），求x的取值范围；（2）求该厂年利润最高时的产量，最高利润是多少万元？ 　易错专练 21．已知集合A＝{2，b，b²－5b＋8}，且4∈A，则实数b的值为________。 22．已知全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，则∁UA＝（　　） A．{x|－2<x≤3} B．{x|x<－2，或x≥3} C．{x|x≤－2，或x>3} D．{x|x<－2，或x>3} 23．对于命题“x>3的一个充分条件是x>5”，下列理解正确的是（　　） A．由x>5可以推出x>3 B．由x>3可以推出x>5 C．x>3是x>5的充分条件 D．{x|x>3}⊆{x|x>5} 24．已知命题“∀x∈[0，3]，x²＋1≥1”，写出它的否定：________；并判断所得否定命题的真假：________。 25．已知x∈[3，5]，求x＋的最小值。 A．4 B． C． D．2 26．已知关于x的不等式(m－1)x²＋2(m－1)x－4<0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 27．对于f(2x＋1)，自变量x的取值范围是 [0，2]；那么函数f(x) 的定义域是____。 28．判断函数f(x)＝x²，x∈[－2，3]的奇偶性。 A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数 　方法清单 方法　01　数轴定端点：区间运算画数轴，端点能否取等单独代入核 遇到区间型集合的交、并、补运算，先把每个集合在数轴上画出对应的一段，标清端点是实心（取得到）还是空心（取不到）。运算得到的边界端点，要单独代入原不等式或原集合逐一验证能否取到，不能凭画图直觉直接照抄。 画数轴后先定端点开闭，再算交并补，端点取舍单独代入核 方法　02　小范围推大范围：p 对应集合 ⫋ q 对应集合 ⇔ p 是 q 的充分不必要条件 判断充分、必要条件时，把命题p、q分别对应的取值集合记为A、B，“p是q的充分不必要条件”就翻译成A⫋B，也就是p对应的范围要比q对应的范围小一圈，这条互译是解含参数条件题的入口。 p是q的充分不必要条件 当且仅当A⫋B（A为p对应集合，B为q对应集合） 方法　03　否定两步走：改量词 ＋ 否结论，量词后的范围不否定 写含量词命题的否定，只做两件事：把“全称”改成“存在”（或反过来），再把结论本身否定，量词后面跟着的取值范围（如x∈R、x∈[1,4]）原样保留，绝不能一并改动。 否定＝改量词＋否结论；量词后的取值范围保持不变 方法　04　作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 比较两个式子的大小，先用大的式子减去小的式子（或按顺序作差），再把差式变形成完全平方、几个因式相乘或恒正（负）的形式，根据变形结果直接判断差的符号，最后写出大小结论。 作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 方法　05　同向不等式可加可乘（正数），不可相减相除，求差与商先化成和与积 两个方向相同的不等式可以相加，同向且两边都是正数的不等式可以相乘，但不等式之间不能相减也不能相除；要求两个式子的差或商的范围，必须先把其中一个不等式改写成相反数或倒数的形式，再与另一个同向相加或相乘。 同向不等式：可加可乘（正数），不可相减相除；求差商先化成和积 方法　06　基本不等式三验证：一正二定三相等 用基本不等式求最值前，先检查三个条件是否同时满足：参与运算的各项是否都为正数，和或积中是否已经凑出一个定值，是否存在自变量取值使各项相等，三者缺一都不能直接下最值的结论。 一正：各项为正；二定：和或积为定值；三相等：等号能取到 方法　07　看图读解集：开口 ＋ 与 x 轴交点 → 解集，解集端点即对应方程的根 已知或画出二次函数的图象后，先看开口方向，再看图象与x轴的交点，图象在x轴上方对应的x取值范围就是>0的解集，在下方对应的就是<0的解集，交点的横坐标正好是对应方程的根。 图在x轴上方 ⇒ 对应x取值使y>0；解集端点＝方程的根 方法　08　单调性定义法四步：取值—作差—变形定号—结论 用定义证明函数单调性，固定按四步进行：在区间上任取两个自变量x₁<x₂，作差f(x₁)－f(x₂)，把差式变形并判断符号，最后根据符号写出单调递增或递减的结论，任何一步都不能跳过。 先设x₁<x₂，再算f(x₁)－f(x₂)，化成因式后看符号，最后写结论 方法　09　先定义域后性质：判断奇偶性、求单调区间、解函数不等式前先写定义域 判断函数的奇偶性、求单调区间或解与函数有关的不等式之前，都要先把函数的定义域求出来并写在解答的第一步，定义域是后续一切结论成立的前提，尤其判断奇偶性时必须先确认定义域关于原点对称。 定义域优先原则：判奇偶、求单调、解函数不等式，第一步都先写定义域 方法　10　建模三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并回答 用函数解决实际优化问题，先设变量并写出它的实际取值范围（定义域），再根据题意列出目标量关于变量的函数关系式，最后用配方法或基本不等式求出最值，并结合定义域检验取值是否合理再作答。 三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并作答 　课后作业（一）基础过关 29．关于自然数集N、有理数集Q、整数集Z与空集∅，下列结论中正确的是（　　） A．0∈N B．∈Q C．∈Z D．∅＝{0} 30．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5，8}，求(∁UA)∩B。 A．{1，4，6，7} B．{2，4，6，8} C．{3，5} D．{2，8} 31．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，则A的所有子集中，元素个数为奇数的子集共有________个。 32．命题p为“x＝2”，命题q为“x²－5x＋6＝0”，判断p是q成立的条件类型（　　） A．充分且必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既非充分也非必要条件 33．设c>d>0，a>b，能够保证恒成立的选项是（　　） A．ac>bd B．a＋c>b＋d C．a－c>b－d D．> 34．比较大小(x∈R)：x²＋4x＋7________2x＋3（填“>”“<”或“＝”）。 35．对于x>0，式子4x＋有最小值，请分别填写：最小值________；取得最小值时的x值________。 36．分别求下列不等式的解集：（1）x²－x－12>0；（2）－x²＋3x＋4≥0。 37．已知f(x)＝2x（x∈R），下列函数g(x)中，与f(x)表示同一函数的是（　　） A．g(x)＝x＋1（x∈R） B．g(x)＝2|x|（x∈R） C．g(x)＝x＋x（x∈R） D．g(x)＝（x≠0） 38．已知函数f(x)＝，使该函数有意义的自变量x的取值范围是____。 39．已知函数f(x)对任意实数都有定义，并且是奇函数；当x>0时，f(x)=x²－2x＋3。试求：当x<0时，f(x)=________；f(－2)=________。 40．幂函数f(x)＝的图象过点(2，8)，求α，并判断f(x)的奇偶性与在(0，＋∞)上的单调性。 A．α＝2，偶函数，单调递增 B．α＝3，偶函数，单调递增 C．α＝3，奇函数，单调递增 D．α＝3，奇函数，单调递减 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一至三章 期中复习 课时同步练习 期中复习知识清单（第一至三章：36 个知识点+10 大题型+8 个易错+方法清单+基础过关）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 集合与常用逻辑用语 · 一元二次函数、方程和不等式 · 函数的概念与性质 共 40 题（变式 10 · 易错 8 · 作业 12）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．集合：元素三特性、∈/∉、列举法与描述法、⊆/⫋、子集个数2ⁿ、A∪B、A∩B、∁UA的数轴与Venn图运算 2．常用逻辑用语：p⇒q的充分/必要判断与集合包含互译、充要条件、全称量词命题 ∀x∈M,p(x) 与存在量词命题 ∃x∈M,p(x) 的否定 3．不等式：8条不等式性质、作差比较、a²+b²≥2ab、≤及取等条件、积定和最小与和定积最大 4．三个二次：Δ>0/Δ=0/Δ<0时ax²+bx+c>0的解集对照表、由解集反求系数、恒成立的判别式条件 5．函数：函数定义与三要素、区间记号、同一个函数、分段函数、单调性定义证明四步、最值、奇偶性定义与图象对称、五个幂函数y=x, x², x³, , 的性质 学习重难点 重点：集合的运算与含参数子集问题；充分条件、必要条件与集合包含关系的互译；按“一正二定三相等”用基本不等式求最值；按Δ分类解一元二次不等式并由解集反求系数；单调性定义证明四步；奇偶性判断前先看定义域是否关于原点对称。 难点：含参数的分类讨论（子集是否为空、二次项系数正负、恒成立条件）；把“充分不必要条件”“恒成立”翻译成集合包含或函数最值问题。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　1.1 集合的含义：元素的三个特性 3 知识点 02　1.1 元素与集合的关系及常用数集 3 知识点 03　1.1 集合的表示方法 4 知识点 04　1.2 子集与真子集 4 知识点 05　1.2 集合相等与空集 4 知识点 06　1.2 子集个数公式 4 知识点 07　1.3 并集 5 知识点 08　1.3 交集 5 知识点 09　1.3 全集与补集 5 知识点 10　1.4 充分条件与必要条件 5 知识点 11　1.4 充要条件 6 知识点 12　1.5 全称量词与存在量词及命题的否定 6 知识点 13　2.1 等式的性质 6 知识点 14　2.1 不等式的基本性质 6 知识点 15　2.1 作差比较大小 7 知识点 16　2.1 重要不等式 7 知识点 17　2.2 基本不等式 7 知识点 18　2.2 基本不等式求最值 7 知识点 19　2.3 一元二次不等式的概念 8 知识点 20　2.3 二次函数的零点 8 知识点 21　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 8 知识点 22　2.3 解一元二次不等式的步骤 8 知识点 23　2.3 不等式恒成立的判别式条件 8 知识点 24　2.3 一元二次不等式的实际应用 9 知识点 25　3.1 函数的概念 9 知识点 26　3.1 区间的表示 9 知识点 27　3.1 同一个函数 9 知识点 28　3.1 函数的表示法 10 知识点 29　3.1 分段函数 10 知识点 30　3.2 函数的单调性 10 知识点 31　3.2 函数的最值 10 知识点 32　3.2 函数的奇偶性 10 知识点 33　3.2 奇偶函数的图象与性质 10 知识点 34　3.3 幂函数的概念 11 知识点 35　3.3 五个常见幂函数的图象与性质 11 知识点 36　3.4 函数的应用（一） 11 考点 1　描述法里的代表元素：数集、点集与解集的辨认及运算 11 考点 2　数轴定端点：由交、并、补的运算结果反推参数的开闭 12 考点 3　小范围推大范围：用解集包含关系判定条件并求参 12 考点 4　量词命题：先写否定，再把真假转成取值范围 12 考点 5　作差配方定号与同向可加：比较大小及求商差的范围 12 考点 6　凑定值三验证：基本不等式在实际用料中的优化 13 考点 7　看图读解集：由抛物线与横轴交点写不等式解集并反推系数 13 考点 8　分段函数：先定段求值，再按段解不等式 14 考点 9　单调性与奇偶性联用：对称区间上的函数不等式 14 考点 10　建模先写定义域：二次函数模型的定价决策 14 易错专练 15 方法清单 15 方法 01　数轴定端点：区间运算画数轴，端点能否取等单独代入核 15 方法 02　小范围推大范围：p 对应集合 ⫋ q 对应集合 ⇔ p 是 q 的充分不必要条件 16 方法 03　否定两步走：改量词 ＋ 否结论，量词后的范围不否定 16 方法 04　作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 16 方法 05　同向不等式可加可乘（正数），不可相减相除，求差与商先化成和与积 16 方法 06　基本不等式三验证：一正二定三相等 16 方法 07　看图读解集：开口 ＋ 与 x 轴交点 → 解集，解集端点即对应方程的根 16 方法 08　单调性定义法四步：取值—作差—变形定号—结论 16 方法 09　先定义域后性质：判断奇偶性、求单调区间、解函数不等式前先写定义域 17 方法 10　建模三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并回答 17 课后作业（一）基础过关 17 参考答案与解析 18 　知识梳理 知识点梳理　01　1.1 集合的含义：元素的三个特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合中的元素必须满足确定性：给定集合后，一个对象要么是它的元素要么不是，不能模棱两可；满足互异性：同一集合中的元素互不相同；满足无序性：元素的排列次序不影响集合本身。含参数的集合问题解出字母后，必须把每个解逐一代回集合检验，凡使集合中出现两个相同元素的解都要舍去。 确定性＋互异性＋无序性——三性缺一不可，互异性是解题最易漏查的一条 知识点梳理　02　1.1 元素与集合的关系及常用数集 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A，两者必居其一。数学中几个常用数集都有固定符号：非负整数集（自然数集）记作N，正整数集记作N*或N₊，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。 a∈A与a∉A二者必居其一，判断前先看清元素属于哪一类数集 记号 读法 含义 举例 N 自然数集 全体非负整数 0，1，2，3…都在N中 N*（N₊） 正整数集 N中去掉0 1，2，3… Z 整数集 正整数、0、负整数的全体 －2，0，5 Q 有理数集 整数与分数的全体 ，－3 R 实数集 有理数与无理数的全体 ，π 知识点梳理　03　1.1 集合的表示方法 把集合的元素一一列举出来，写在花括号内，这种方法叫做列举法；把集合中元素的共同特征描述出来，写成{x∈A|p(x)}的形式，这种方法叫做描述法。用描述法时要先看清代表元素x究竟是一个数、一个点还是别的对象，代表元素不同，同样的条件所刻画的集合含义也不同。 描述法｛x∈A|p(x)｝：竖线左边写代表元素及其所在数集，右边写元素满足的条件 知识点梳理　04　1.2 子集与真子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说集合A是集合B的子集，记作A⊆B。如果A⊆B，且集合B中至少存在一个元素不属于A，就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。判断子集关系时要逐一核查A中的每一个元素是否都在B中。 A⊆B：A中每个元素都属于B；A⫋B：A⊆B且B中有元素不属于A 知识点梳理　05　1.2 集合相等与空集 如果集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么A与B的元素完全相同，此时称A与B相等，记作A=B。不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。证明两个集合相等的标准做法是分别证明A⊆B与B⊆A两个方向都成立。 A=B当且仅当A⊆B且B⊆A；∅⊆A对任意集合A都成立 知识点梳理　06　1.2 子集个数公式 含有n个元素的集合，它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数都可以用固定公式直接算出，不必逐一罗列。 子集：2ⁿ 个；真子集：2ⁿ－1个（去掉集合本身）；非空真子集：2ⁿ－2个（再去掉空集） 元素个数n 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 2 1 0 2 4 3 2 3 8 7 6 n 2ⁿ 2ⁿ－1 2ⁿ－2 知识点梳理　07　1.3 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。这里的“或”包含“只属于A”“只属于B”“两者都属于”三种情形，重复的元素按互异性只算一次。A∪B=B与A⊆B是等价的说法。 A∪B={x|x∈A，或x∈B}；A∪B=B当且仅当A⊆B 知识点梳理　08　1.3 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。交集只保留两个集合的公共部分，若A与B没有公共元素，则A∩B=∅。A∩B=A与A⊆B是等价的说法。 A∩B={x|x∈A，且x∈B}；A∩B=A当且仅当A⊆B 知识点梳理　09　1.3 全集与补集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作U。对于全集U的一个子集A，由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA，即∁UA={x|x∈U且x∉A}。求区间型集合的补集时，端点的开闭要互换：原来取到的端点变为取不到，原来取不到的端点变为取到。 ∁UA={x|x∈U，且x∉A}；∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 小提示：求半开区间在R中的补集时最容易漏掉端点开闭的互换，务必逐个端点单独核对。 知识点梳理　10　1.4 充分条件与必要条件 如果“若p，则q”是真命题，就说由p可以推出q，记作p⇒q，并称p是q的充分条件，q是p的必要条件。把p、q各自对应的取值集合记为A、B，则p⇒q对应集合关系A⊆B，这条互译是判断含参数条件问题的关键一步。 p⇒q当且仅当p是q的充分条件 当且仅当q是p的必要条件 当且仅当A⊆B（A、B为p、q对应集合） 说法 记号 集合语言 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B q是p的必要条件 p⇒q A⊆B p是q的充分不必要条件 p⇒q且q推不出p A⫋B p是q的必要不充分条件 q⇒p且p推不出q B⫋A 知识点梳理　11　1.4 充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p当且仅当q，此时称p是q的充要条件，也称p与q互为充要条件。证明一个命题是充要条件，必须分充分性、必要性两步分别证明：充分性证p⇒q，必要性证q⇒p，两步缺一不可。 p当且仅当q当且仅当p⇒q且q⇒p；证明充要条件必写“充分性”“必要性”两步 知识点梳理　12　1.5 全称量词与存在量词及命题的否定 含有“所有”“任意一个”等全称量词的命题叫做全称量词命题，记作∀x∈M，p(x)；含有“存在一个”“至少一个”等存在量词的命题叫做存在量词命题，记作∃x∈M，p(x)。∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，¬p(x)，否定时只改变量词并否定结论，量词后面的取值范围M保持不变。 ∀x∈M，p(x) 的否定：∃x∈M，¬p(x)；∃x∈M，p(x) 的否定：∀x∈M，¬p(x) 命题形式 为真的验证方式 为假的验证方式 ∀x∈M，p(x) M中每个元素都验证成立 举出一个反例 ∃x∈M，p(x) 找到一个成立的元素 说明M中没有元素成立 知识点梳理　13　2.1 等式的性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个非零数，所得结果仍是等式。这些性质是研究不等式性质、解方程与解不等式的共同出发点。 a=b ⇒ a±c=b±c；a=b ⇒ ac=bc；a=b，c≠0 ⇒ = 知识点梳理　14　2.1 不等式的基本性质 关于实数大小关系有一条基本事实：a－b>0当且仅当a>b，a－b=0当且仅当a=b，a－b<0当且仅当a<b，由此可以类比等式的性质，推出一系列不等式的性质，包括对称性、传递性、可加性和可乘性等。不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向要反过来，这是最容易出错的一条。 a>b当且仅当b<a；a>b，b>c ⇒ a>c；a>b ⇒ a＋c>b＋c；a>b，c>0⇒ac>bc，c<0⇒ac<bc 性质名称 式子 条件 对称性 a>b ⇒ b<a 任意实数 传递性 a>b，b>c ⇒ a>c 任意实数 可加性 a>b ⇒ a+c>b+c c为任意实数 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；c<0⇒ac<bc c的符号决定方向 同向可加 a>b，c>d⇒a+c>b+d 两式同向 正数同向可乘 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 四数均为正 知识点梳理　15　2.1 作差比较大小 比较两个实数或代数式a与b的大小，最基本的方法是作差：算出a－b，再对差式进行变形（配方或因式分解），根据差式的符号确定a与b的大小关系。整个过程分为作差、变形、定号、下结论四步，其中变形是决定能否顺利定号的关键。 a－b>0当且仅当a>b；a－b=0当且仅当a=b；a－b<0当且仅当a<b；四步：作差—变形—定号—结论 知识点梳理　16　2.1 重要不等式 对任意实数a，b，都有a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，这个不等式叫做重要不等式，它的证明只需要对差式a²＋b²－2ab作配方，得到(a－b)²≥0。这条不等式是推导基本不等式的基础。 a²＋b²≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号；证明：a²＋b²－2ab=(a－b)²≥0 知识点梳理　17　2.2 基本不等式 当a>0，b>0时，有≤，当且仅当a=b时等号成立，这个不等式叫做基本不等式。式中叫做a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，因此基本不等式也可以说成：两个正数的几何平均数不超过它们的算术平均数。 ≤（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号 知识点梳理　18　2.2 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值时，若两个正数x、y的积xy为定值P，则和x＋y有最小值；若x、y的和为定值S，则积xy有最大值。使用这一结论必须同时满足三个条件，通常概括为一正、二定、三相等：各项都为正数，和或积中有一项是定值，并且存在使各项相等的自变量取值。 积定和最小：xy=P⇒x＋y≥；和定积最大：x＋y=S⇒xy≤；使用前提：一正二定三相等 小提示：自变量受限制导致等号取不到时，不能直接套用基本不等式的结果作最值，应改用函数单调性求解。 知识点梳理　19　2.3 一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax²＋bx＋c>0或ax²＋bx＋c<0（a≠0）。求解一元二次不等式的依据是对应二次函数图象与x轴的位置关系。 一元二次不等式一般形式：ax²＋bx＋c>0（或<0，≥0，≤0），a≠0 知识点梳理　20　2.3 二次函数的零点 对于二次函数y=ax²＋bx＋c，使ax²＋bx＋c=0成立的实数x，叫做这个二次函数的零点，也就是函数图象与x轴交点的横坐标。零点的个数由判别式Δ=b²－4ac的符号决定。 ax²＋bx＋c=0的实数解＝二次函数y=ax²＋bx＋c的零点＝图象与x轴交点的横坐标 知识点梳理　21　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 二次函数的图象与x轴的位置关系，把一元二次方程的根与一元二次不等式的解集紧密联系在一起：当a>0时，按判别式Δ的符号可以分三种情形，分别列出方程ax²＋bx＋c=0的根、不等式>0与<0的解集。 a>0且Δ>0（两根x₁<x₂）：>0解集{x|x<x₁，或x>x₂}，<0解集{x|x₁<x<x₂} a>0且Δ=0（根x₀）：>0解集{x|x≠x₀}，<0解集∅ a>0且Δ<0：>0解集R，<0解集∅；a<0时先两边乘－1并把不等号反向 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax²+bx+c=0的根 两个不等实根x₁<x₂ 两个相等实根x₁=x₂ 没有实数根 ax²+bx+c>0的解集 {x|x<x₁或x>x₂} {x|x≠x₁} R ax²+bx+c<0的解集 {x|x₁<x<x₂} ∅ ∅ 知识点梳理　22　2.3 解一元二次不等式的步骤 解一元二次不等式一般按四步进行：先把二次项系数化为正数，再求出判别式与方程的根，然后画出草图判断开口方向，最后按“大于取两边、小于取中间”的口诀写出解集，其中“两边”“中间”都是相对于两根而言的。 步骤：化正—求根（判别式）—画图—按“大于两边、小于中间”写解集 知识点梳理　23　2.3 不等式恒成立的判别式条件 若要求ax²＋bx＋c>0对一切实数x都恒成立，需要分两种情形讨论：当a=0时，不等式退化为一次式，需要b=0且c>0；当a≠0时，需要抛物线开口向上且与x轴没有交点，即a>0且Δ<0。含参数的二次项系数不能默认不为零，必须先讨论是否退化。 ax²＋bx＋c>0对一切实数x恒成立 当且仅当 （a=0且b=0且c>0）或（a>0且Δ<0） 小提示：二次项系数含参数时，直接套用Δ<0会漏掉系数为0退化成一次式的情形，必须先分类讨论。 知识点梳理　24　2.3 一元二次不等式的实际应用 解决与一元二次不等式有关的实际问题，通常按设变量、列不等式、解不等式、结合实际取值范围作答四步进行，其中最后一步要注意舍去不符合实际意义的解（如自变量必须为正整数、不能超过某个上限等）。 步骤：设变量—列不等式—解不等式—结合实际范围取舍作答 知识点梳理　25　3.1 函数的概念 设A，B是两个非空的实数集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f为从A到B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，其中值域由定义域和对应关系共同决定。 y=f(x)，x∈A：A中任一x在B中都有唯一确定的y对应；三要素：定义域、对应关系、值域 知识点梳理　26　3.1 区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作[a,b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记作(a,b)；只在一端取等号的区间叫做半开半闭区间。区间的写法与集合的写法一一对应，端点是否带等号决定用方括号还是圆括号。 闭区间[a,b]＝{x|a≤x≤b}；开区间(a,b)＝{x|a<x<b}；含∞的一端必须用圆括号 集合写法 区间写法 名称 {x|a≤x≤b} [a,b] 闭区间 {x|a<x<b} (a,b) 开区间 {x|a≤x<b} [a,b) 半开半闭区间 {x|a<x≤b} (a,b] 半开半闭区间 {x|x≥a} [a,+∞) — {x|x<b} (－∞,b) — 知识点梳理　27　3.1 同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数，与自变量所用的字母无关。判断时只需比较定义域与对应关系这两项，不必考虑值域，因为值域由前两者唯一确定。 同一个函数 当且仅当 定义域相同 且 对应关系相同（化简后比较，与字母无关） 知识点梳理　28　3.1 函数的表示法 函数常用的表示方法有三种：用数学表达式表示函数关系的解析法，用表格表示函数关系的列表法，用图象表示函数关系的图象法，三种方法各有侧重。求函数解析式时常用待定系数法（已知函数类型）或换元法（已知复合表达式）。 三种表示法：解析法、列表法、图象法；求解析式常用待定系数法、换元法 知识点梳理　29　3.1 分段函数 如果一个函数在其定义域的不同部分上，对应关系用不同的式子表示，这样的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数，它的定义域是各段自变量取值范围的并集，求函数值时要先判断自变量落在哪一段，再代入相应的式子。 分段函数定义域＝各段范围的并集；求值先定段，再代入该段的解析式 知识点梳理　30　3.2 函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时都有f(x₁)<f(x₂)，就称f(x)在区间I上单调递增；如果都有f(x₁)>f(x₂)，就称f(x)在区间I上单调递减。区间I叫做f(x)的单调区间，写单调区间时不能把两个分离的区间用并集符号连接。 任取x₁<x₂∈I，f(x₁)<f(x₂)⇒递增；f(x₁)>f(x₂)⇒递减；单调区间不能用∪连接 知识点梳理　31　3.2 函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M，对任意x∈D都有f(x)≤M，并且存在x₀∈D使得f(x₀)=M，那么M叫做函数的最大值；把不等号方向反过来，就得到最小值的定义。若函数在闭区间上单调，最值必在区间的端点处取得。 最大值M：∀x∈D，f(x)≤M，且∃x₀∈D，f(x₀)=M；闭区间上单调函数的最值在端点取得 知识点梳理　32　3.2 函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，如果对任意x∈D都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，就称f(x)为偶函数；如果都有f(－x)=－f(x)，就称f(x)为奇函数。判断奇偶性之前必须先检验定义域是否关于原点对称，不满足前提就直接得出“非奇非偶”的结论。 偶函数：f(－x)=f(x)；奇函数：f(－x)=－f(x)；前提：定义域关于原点对称 小提示：先看定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶，不必再代入f(－x)计算。 知识点梳理　33　3.2 奇偶函数的图象与性质 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。奇函数若定义域包含x＝0这一点，其在该点处的函数值必为0（即f(0)＝0）。奇函数在两个对称的区间上单调性相同，偶函数在两个对称的区间上单调性相反。 奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；奇函数若在0处有定义则f(0)=0 知识点梳理　34　3.3 幂函数的概念 形如y=（α为常数）的函数叫做幂函数，其中x是自变量，幂函数要求系数为1且底数必须是自变量本身，指数α可以是任意常数。 幂函数：y=（α为常数），系数必须是1，底数必须是自变量x 知识点梳理　35　3.3 五个常见幂函数的图象与性质 高中阶段先研究y=x，y=x²，y=x³，y=，y=这五个常见的幂函数，它们的定义域、值域、奇偶性、单调性各不相同，但图象都经过公共点(1,1)。 五个幂函数的图象都经过(1,1)；奇偶性与单调性因α而异，需分别记忆 幂函数 定义域 值域 奇偶性 (0,+∞)上单调性 y=x R R 奇函数 递增 y=x² R [0,+∞) 偶函数 递增 y=x³ R R 奇函数 递增 y= [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 递增 y= {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 递减 知识点梳理　36　3.4 函数的应用（一） 用函数模型解决实际问题，一般按设变量、建立函数式、写出定义域、求解、作答五步进行，常用的模型有一次函数、二次函数、分段函数与幂函数模型。求最值时二次函数模型常用配方法，涉及两个变量之积或和为定值时可考虑基本不等式。 建模五步：设变量—建函数式—写定义域—求解—作答；二次模型配方，定值型可用基本不等式 　【题型1】描述法里的代表元素：数集、点集与解集的辨认及运算 1．设集合A＝{x|x＝2t＋1，t∈Z}，B＝{y|y＝2s－1，s∈Z}，C＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈Z，y∈Z}，下列判断正确的是（　　） A．A＝B B．A＝C C．A∩C≠∅ D．B⊆C 　题型1　变式 2．已知M＝{(x，y)|2x－y＝1}，N＝{(x，y)|x＋y＝5}，用列举法写出M∩N＝________。 　【题型2】数轴定端点：由交、并、补的运算结果反推参数的开闭 3．已知集合A为不等式x²－x－6≤0的解集，集合B＝[a－1，2a＋3]（B为非空集合）。若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围，并说明端点能否取到。 　题型2　变式 4．A＝，，B＝(－∞，m]，并且A∩B中的整数共有2个。此时m的取值区间为____。 　【题型3】小范围推大范围：用解集包含关系判定条件并求参 5．已知条件p：|x|≤1，条件q：x²－x－6<0，则p作为q的条件，其类型为（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 　题型3　变式 6．设p：x²－(2m＋1)x＋m²＋m≤0，q：x²－2x－8<0（m为实数）。（1）解不等式x²－(2m＋1)x＋m²＋m≤0（结果用含m的式子表示p对应的解集）；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 　【题型4】量词命题：先写否定，再把真假转成取值范围 7．命题“∃x∈N*，x²－6x＋8<0”的否定是________，原命题的真假是________。 　题型4　变式 8．已知命题“∃x∈[1，4]，x²－2x＋t<0”为假命题，求实数t的取值范围。 　【题型5】作差配方定号与同向可加：比较大小及求商差的范围 9．已知a<b<0，c∈R，下列结论中一定成立的是（　　） A．a²<b² B．ac²<bc² C．|a|<|b| D．>1 　题型5　变式 10．已知a∈(2，5)，b∈(－4，－2)，分别求a－2b与的取值范围。 　【题型6】凑定值三验证：基本不等式在实际用料中的优化 11．某冷链公司计划建一座地面为矩形的冷库，总面积为150平方米，内部用两道与一组对边平行的隔墙隔成3间面积相等的冷藏间。已知外墙每米造价400元，隔墙每米造价200元（墙高相同，只按墙长计价）。设冷库与隔墙垂直的一边长x米，与隔墙平行的一边长y米，问x，y各为多少时墙体总造价最低？最低总造价是多少元？ 　题型6　变式 12．正数x、y之间有关系5x＋y＝xy。当x＋2y取到最小值时，该最小值为________，这时x＝________。 　【题型7】看图读解集：由抛物线与横轴交点写不等式解集并反推系数 13．如图，已知抛物线y＝f(x)的图象开口向下，与x轴交于(－1，0)与(3，0)两点，则不等式f(x)≥0与f(x)<0的解集分别是（　　） A．[－1，3]；x<－1或x>3 B．(－1，3)；x≤－1或x≥3 C．x≤－1或x≥3；(－1，3) D．[－1，3]；(－1，3) 　题型7　变式 14．关于x的不等式x²－ax－b≤0的解集是 [－2，5]。（1）确定a，b的值；（2）当x在什么范围内取值时，bx²＋ax－1<0？ 　【题型8】分段函数：先定段求值，再按段解不等式 15．函数f(x)按分段规则确定：对于x<2，f(x)＝2x＋1；对于x≥2，f(x)＝x²－3。则f(f(1))＝________；使f(t)＝6成立的实数t＝________。 　题型8　变式 16．某停车场按停车时长计费：单次停车时长不超过1小时，不收费；超出1小时以后，超出部分按每小时2元计费（停车时长可连续变化，可按比例折算，允许取小数）。记某车主一次停车的时长为x小时（x≥0），本次应缴停车费为y元。（1）请用分段函数表示y与x的对应关系；（2）该车主本次停车费不超过10元时，x的取值范围是什么？（3）该车主本次停车费恰为7元时，这次停车持续了多长时间？ 　【题型9】单调性与奇偶性联用：对称区间上的函数不等式 17．已知函数f(x)＝的定义域为[－2，2]。（1）判断f(x)的奇偶性；（2）设0≤x₁<x₂≤2，将x₁、x₂分别代入并作差化简，据此说明f(x)在该区间上的增减性；（3）根据奇偶性写出f(x)在[－2，0]上的单调性。 　题型9　变式 18．已知函数f(x)＝，x∈[－3，3]。（1）判断f(x)的奇偶性，并说明f(x)在[0，3]上的单调性；（2）解不等式f(2m－1)<f(m)。 　【题型10】建模先写定义域：二次函数模型的定价决策 19．某网店销售一款台灯，每个进价40元。经调查，日销量y（个）是售价x（元）的一次函数，部分数据如下：售价50元时日销量100个；售价60元时日销量80个。（1）求y关于x的函数解析式；（2）售价x取哪些值时，日利润能达到1000元及以上；（3）设该网店日利润为W元，则售价x为何值时W最大？最大利润是多少元？ 　题型10　变式 20．某农机厂年固定成本为54万元。设该厂年产量为x（单位：百台，x∈N*，且1≤x≤12），每生产x百台还需投入可变成本4x²万元；每百台产品的售价为(60－2x)万元。（1）若该厂当年要盈利（利润为正），求x的取值范围；（2）求该厂年利润最高时的产量，最高利润是多少万元？ 　易错专练 21．已知集合A＝{2，b，b²－5b＋8}，且4∈A，则实数b的值为________。 22．已知全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，则∁UA＝（　　） A．{x|－2<x≤3} B．{x|x<－2，或x≥3} C．{x|x≤－2，或x>3} D．{x|x<－2，或x>3} 23．对于命题“x>3的一个充分条件是x>5”，下列理解正确的是（　　） A．由x>5可以推出x>3 B．由x>3可以推出x>5 C．x>3是x>5的充分条件 D．{x|x>3}⊆{x|x>5} 24．已知命题“∀x∈[0，3]，x²＋1≥1”，写出它的否定：________；并判断所得否定命题的真假：________。 25．已知x∈[3，5]，求x＋的最小值。 A．4 B． C． D．2 26．已知关于x的不等式(m－1)x²＋2(m－1)x－4<0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 27．对于f(2x＋1)，自变量x的取值范围是 [0，2]；那么函数f(x) 的定义域是____。 28．判断函数f(x)＝x²，x∈[－2，3]的奇偶性。 A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数 　方法清单 方法　01　数轴定端点：区间运算画数轴，端点能否取等单独代入核 遇到区间型集合的交、并、补运算，先把每个集合在数轴上画出对应的一段，标清端点是实心（取得到）还是空心（取不到）。运算得到的边界端点，要单独代入原不等式或原集合逐一验证能否取到，不能凭画图直觉直接照抄。 画数轴后先定端点开闭，再算交并补，端点取舍单独代入核 方法　02　小范围推大范围：p 对应集合 ⫋ q 对应集合 ⇔ p 是 q 的充分不必要条件 判断充分、必要条件时，把命题p、q分别对应的取值集合记为A、B，“p是q的充分不必要条件”就翻译成A⫋B，也就是p对应的范围要比q对应的范围小一圈，这条互译是解含参数条件题的入口。 p是q的充分不必要条件 当且仅当A⫋B（A为p对应集合，B为q对应集合） 方法　03　否定两步走：改量词 ＋ 否结论，量词后的范围不否定 写含量词命题的否定，只做两件事：把“全称”改成“存在”（或反过来），再把结论本身否定，量词后面跟着的取值范围（如x∈R、x∈[1,4]）原样保留，绝不能一并改动。 否定＝改量词＋否结论；量词后的取值范围保持不变 方法　04　作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 比较两个式子的大小，先用大的式子减去小的式子（或按顺序作差），再把差式变形成完全平方、几个因式相乘或恒正（负）的形式，根据变形结果直接判断差的符号，最后写出大小结论。 作差—变形（配方或因式分解）—定号—下结论 方法　05　同向不等式可加可乘（正数），不可相减相除，求差与商先化成和与积 两个方向相同的不等式可以相加，同向且两边都是正数的不等式可以相乘，但不等式之间不能相减也不能相除；要求两个式子的差或商的范围，必须先把其中一个不等式改写成相反数或倒数的形式，再与另一个同向相加或相乘。 同向不等式：可加可乘（正数），不可相减相除；求差商先化成和积 方法　06　基本不等式三验证：一正二定三相等 用基本不等式求最值前，先检查三个条件是否同时满足：参与运算的各项是否都为正数，和或积中是否已经凑出一个定值，是否存在自变量取值使各项相等，三者缺一都不能直接下最值的结论。 一正：各项为正；二定：和或积为定值；三相等：等号能取到 方法　07　看图读解集：开口 ＋ 与 x 轴交点 → 解集，解集端点即对应方程的根 已知或画出二次函数的图象后，先看开口方向，再看图象与x轴的交点，图象在x轴上方对应的x取值范围就是>0的解集，在下方对应的就是<0的解集，交点的横坐标正好是对应方程的根。 图在x轴上方 ⇒ 对应x取值使y>0；解集端点＝方程的根 方法　08　单调性定义法四步：取值—作差—变形定号—结论 用定义证明函数单调性，固定按四步进行：在区间上任取两个自变量x₁<x₂，作差f(x₁)－f(x₂)，把差式变形并判断符号，最后根据符号写出单调递增或递减的结论，任何一步都不能跳过。 先设x₁<x₂，再算f(x₁)－f(x₂)，化成因式后看符号，最后写结论 方法　09　先定义域后性质：判断奇偶性、求单调区间、解函数不等式前先写定义域 判断函数的奇偶性、求单调区间或解与函数有关的不等式之前，都要先把函数的定义域求出来并写在解答的第一步，定义域是后续一切结论成立的前提，尤其判断奇偶性时必须先确认定义域关于原点对称。 定义域优先原则：判奇偶、求单调、解函数不等式，第一步都先写定义域 方法　10　建模三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并回答 用函数解决实际优化问题，先设变量并写出它的实际取值范围（定义域），再根据题意列出目标量关于变量的函数关系式，最后用配方法或基本不等式求出最值，并结合定义域检验取值是否合理再作答。 三步：设变量写定义域—列函数—配方或基本不等式求最值并作答 　课后作业（一）基础过关 29．关于自然数集N、有理数集Q、整数集Z与空集∅，下列结论中正确的是（　　） A．0∈N B．∈Q C．∈Z D．∅＝{0} 30．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5，8}，求(∁UA)∩B。 A．{1，4，6，7} B．{2，4，6，8} C．{3，5} D．{2，8} 31．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，则A的所有子集中，元素个数为奇数的子集共有________个。 32．命题p为“x＝2”，命题q为“x²－5x＋6＝0”，判断p是q成立的条件类型（　　） A．充分且必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既非充分也非必要条件 33．设c>d>0，a>b，能够保证恒成立的选项是（　　） A．ac>bd B．a＋c>b＋d C．a－c>b－d D．> 34．比较大小(x∈R)：x²＋4x＋7________2x＋3（填“>”“<”或“＝”）。 35．对于x>0，式子4x＋有最小值，请分别填写：最小值________；取得最小值时的x值________。 36．分别求下列不等式的解集：（1）x²－x－12>0；（2）－x²＋3x＋4≥0。 37．已知f(x)＝2x（x∈R），下列函数g(x)中，与f(x)表示同一函数的是（　　） A．g(x)＝x＋1（x∈R） B．g(x)＝2|x|（x∈R） C．g(x)＝x＋x（x∈R） D．g(x)＝（x≠0） 38．已知函数f(x)＝，使该函数有意义的自变量x的取值范围是____。 39．已知函数f(x)对任意实数都有定义，并且是奇函数；当x>0时，f(x)=x²－2x＋3。试求：当x<0时，f(x)=________；f(－2)=________。 40．幂函数f(x)＝的图象过点(2，8)，求α，并判断f(x)的奇偶性与在(0，＋∞)上的单调性。 A．α＝2，偶函数，单调递增 B．α＝3，偶函数，单调递增 C．α＝3，奇函数，单调递增 D．α＝3，奇函数，单调递减 　参考答案与解析 　【题型1】描述法里的代表元素：数集、点集与解集的辨认及运算 1．【答案】A 【解析】A中x＝2t＋1（t∈Z）表示全体奇数；B中y＝2s－1（s∈Z）同样表示全体奇数，故A＝B。 C的代表元素是有序数对(x，y)，而A的元素是数，所以A≠C，B错误；同理A中不含任何有序数对，A∩C＝∅，C错误；B的元素是数、C的元素是有序数对，B⊆C不成立，D错误。 故选A。 　题型1　变式 2．【答案】M∩N＝{(2，3)} 【解析】联立2x－y＝1与x＋y＝5，由第一式得y＝2x－1，代入第二式得x＋2x－1＝5，即3x＝6，解得x＝2，从而y＝3。 经检验(2，3)同时满足两个方程，故M∩N＝{(2，3)}。 　【题型2】数轴定端点：由交、并、补的运算结果反推参数的开闭 3．【答案】a∈[－1，0] 【解析】解x²－x－6≤0，得(x－3)(x＋2)≤0，即－2≤x≤3，故A＝[－2，3]。 B非空要求a－1≤2a＋3，解得a≥－4。 A∪(∁RB)＝R等价于B⊆A（因为R\A⊆∁RB就是 (R\A)∩B＝∅，即B中没有元素落在A的外面）。 由B⊆A，得a－1≥－2且2a＋3≤3，解得a≥－1且a≤0，结合a≥－4，得a∈[－1，0]。 端点核查：a＝－1时B＝[－2，1]⊆[－2，3]成立；a＝0时B＝[－1，3]⊆[－2，3]也成立，故两端点都能取到。 　题型2　变式 4．【答案】m∈[2，3) 【解析】A中的整数只有1，2，3，4这四个。 要使A∩B恰含2个整数，需要B恰好截住其中最小的两个，即1和2都在B中，而3不在B中。 B＝(－∞，m]含1、2需要m≥2；不含3需要m<3。 综上m∈[2，3)，端点m＝2时A∩B＝，2]恰含1，2两个整数，符合要求；m＝3时3也被截入，不符合要求，故3不能取。 　【题型3】小范围推大范围：用解集包含关系判定条件并求参 5．【答案】C 【解析】解不等式x²－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，即－2<x<3，故q对应的集合为Q＝(－2，3)。 p对应的集合为P＝[－1，1]。 P中的元素都在Q中，即P⊆Q，且Q中存在元素（如2.5）不在P中，所以P⫋Q，即p⇒q且q推不出p。 故p是q的充分不必要条件，选C。 　题型3　变式 6．【答案】（1）P＝[m，m＋1]；（2）m∈(－2，3) 【解析】（1）x²－(2m＋1)x＋m²＋m＝(x－m)(x－m－1)≤0，得m≤x≤m＋1，即p对应的解集为P＝[m，m＋1]。 由x²－2x－8＝(x－4)(x＋2)<0，得－2<x<4，记q对应的集合Q＝(－2，4)。 （2）p是q的充分不必要条件 当且仅当P⫋Q。由P⊆Q得m>－2且m＋1<4，即－2<m<3；P是闭区间、Q是开区间，二者不可能相等，所以P⊆Q时自动有P⫋Q。故m∈(－2，3)。 端点核查：m＝－2时P＝[－2，－1]，－2∉Q，不符合；m＝3时P＝[3，4]，4∉Q，不符合，两端点都取不到。 　【题型4】量词命题：先写否定，再把真假转成取值范围 7．【答案】否定：∀x∈N*，x²－6x＋8≥0；原命题为真命题 【解析】否定把“存在”改成“任意”，并把结论“<0”改成“≥0”，量词后的范围N*不变，得∀x∈N*，x²－6x＋8≥0。 解不等式x²－6x＋8<0，得(x－2)(x－4)<0，即2<x<4，其中的正整数只有x＝3。 把x＝3代入得9－18＋8＝－1<0，成立，所以原命题“∃x∈N*，x²－6x＋8<0”为真命题。 　题型4　变式 8．【答案】t≥1 【解析】原命题为假，其否定为真：∀x∈[1，4]，x²－2x＋t≥0，即t≥－x²＋2x对x∈[1，4]恒成立。 令g(x)＝－x²＋2x＝－(x－1)²＋1，t必须不小于g(x)在[1，4]上的最大值。 g(x)的对称轴为x＝1，在[1，4]上g(x)单调递减，最大值在x＝1处取得，g(1)＝1。 所以t≥1。 　【题型5】作差配方定号与同向可加：比较大小及求商差的范围 9．【答案】D 【解析】取具体数a＝－3，b＝－1（满足a<b<0）代入检验：a²＝9，b²＝1，故a²>b²，A不成立。 当c＝0时，ac²＝0＝bc²，不满足ac²<bc²，B不成立（B漏掉了c可能为0这一情形）。 |a|＝3，|b|＝1，|a|>|b|，C不成立。 由a<b<0，两边同除以负数b（不等号方向要反过来）得>1，用a＝－3，b＝－1验证：＝3>1，符合，D恒成立。 故选D。 　题型5　变式 10．【答案】a－2b∈(6，13)；∈， 【解析】求a－2b：由b∈(－4，－2)得－2b∈(4，8)（乘以负数－2，不等号方向反转，且范围放大2倍）；再与a∈(2，5)同向相加，得a－2b∈(2＋4，5＋8)＝(6，13)。 求：设c＝－b，则c∈(2，4)，＝。a∈(2，5)，c∈(2，4)，故的范围为，＝，。 所以＝∈，。 两问必须分开处理：a－2b用“同向相加”，要先换元把除法变成正数相除，不能把两个范围直接相除。 　【题型6】凑定值三验证：基本不等式在实际用料中的优化 11．【答案】x＝15米，y＝10米时墙体总造价最低，最低总造价为24000元 【解析】由面积得xy＝150（x>0，y>0）。 外墙总长2(x＋y)米；两道隔墙都与长为y的边平行，总长2y米。总造价W＝400×2(x＋y)＋200×2y＝800x＋1200y。 由基本不等式，800x＋1200y≥＝＝2×12000＝24000，当且仅当800x＝1200y时取等号。 由800x＝1200y得x＝1.5y，代入xy＝150得1.5y²＝150，y＝10，x＝15，均为正数，等号能取到（一正二定三相等全部满足）。 所以当x＝15米，y＝10米时墙体总造价最低，最低总造价为24000元。 　题型6　变式 12．【答案】x＋2y的最小值为11＋，此时x＝1＋ 【解析】由5x＋y＝xy两边同除以xy，得＋＝1。 x＋2y＝(x＋2y)＋＝1＋＋＋10＝11＋＋。 由基本不等式，＋≥＝，当且仅当＝，即y＝÷2)x时取等号。 代入＋＝1，得＋＝1，解得x＝1＋（对应的y也为正数，满足条件）。 所以x＋2y的最小值为11＋，此时x＝1＋。 　【题型7】看图读解集：由抛物线与横轴交点写不等式解集并反推系数 13．【答案】A 【解析】图象开口向下，在x轴上方（含交点）时f(x)≥0，对应的x的范围是两根之间，包含端点，即[－1，3]。 图象在x轴下方时f(x)<0，对应的x的范围是两根之外，即x<－1或x>3。 故选A。 　题型7　变式 14．【答案】（1）a＝3，b＝10；（2）， 【解析】解集为[－2，5]，说明－2和5是方程x²－ax－b＝0的两个根，且二次项系数1>0，与“小于等于取中间”一致。 由根与系数的关系：(－2)＋5＝a，得a＝3；(－2)×5＝－b，得b＝10。 （2）不等式化为10x²＋3x－1<0，因式分解得(5x－1)(2x＋1)<0，两根为与。 二次项系数10>0，“小于取中间”，解集为，。 　【题型8】分段函数：先定段求值，再按段解不等式 15．【答案】f(f(1))＝6；t＝3（t＝2.5与t＝－3均需舍去） 【解析】先求f(1)：因为1<2，用第一段，f(1)＝2×1＋1＝3。 再求f(3)：因为3≥2，用第二段，f(3)＝3²－3＝6。所以f(f(1))＝6。 求f(t)＝6：若t<2，则2t＋1＝6，解得t＝2.5，但2.5不满足t<2，舍去。 若t≥2，则t²－3＝6，解得t＝3或t＝－3，其中t＝－3不满足t≥2，舍去，t＝3满足t≥2，保留。 综上，f(t)＝6的解只有t＝3。 　题型8　变式 16．【答案】（1）y＝0（0≤x≤1），y＝2x－2（x>1）；（2）0≤x≤6；（3）4.5小时 【解析】（1）当0≤x≤1时，在免费时长内，y＝0；当x>1时，超出部分为(x－1)小时，y＝2(x－1)＝2x－2。所以y＝0（0≤x≤1），y＝2x－2（x>1）。 （2）当0≤x≤1时，y＝0≤10恒成立，此段全部满足。 当x>1时，令2x－2≤10，解得x≤6，结合x>1得1<x≤6。 综合两段，x的取值范围是0≤x≤6（单位：小时）。 （3）7>0，停车费一定落在第二段，令2x－2＝7，解得x＝4.5，满足x>1，所以该次停车时长为4.5小时。 　【题型9】单调性与奇偶性联用：对称区间上的函数不等式 17．【答案】f(x)为奇函数；[0，2]上单调递增（证明见解析）；[－2，0]上也单调递增 【解析】（1）定义域[－2，2]关于原点对称。f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 （2）任取0≤x₁<x₂≤2，f(x₁)－f(x₂)＝－，通分后分子为x₁(x₂²＋5)－x₂(x₁²＋5)，分母为(x₁²＋5)(x₂²＋5)。 化简分子：x₁x₂²＋5x₁－x₂x₁²－5x₂＝x₁x₂(x₂－x₁)－5(x₂－x₁)＝(x₂－x₁)(x₁x₂－5)。 因为0≤x₁<x₂≤2，所以x₂－x₁>0，且x₁x₂≤4<5，故x₁x₂－5<0，分子(x₂－x₁)(x₁x₂－5)<0；分母(x₁²＋5)(x₂²＋5)>0，所以f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。故f(x)在[0，2]上单调递增。 （3）奇函数在对称区间上单调性相同，所以f(x)在[－2，0]上也单调递增。 　题型9　变式 18．【答案】（1）偶函数，在[0，3]上单调递减；（2）m∈[－1，∪(1，2] 【解析】（1）定义域[－3，3]关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数。 任取0≤x₁<x₂≤3，f(x₁)－f(x₂)＝－，通分后分子为6(x₂²－x₁²)＝6(x₂－x₁)(x₂＋x₁)，分母为(x₁²＋2)(x₂²＋2)>0；因x₂－x₁>0，x₂＋x₁>0，故分子>0，从而f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)，f(x)在[0，3]上单调递减。 （2）由偶函数得f(x)＝f(|x|)，又f(x)在[0，3]上递减，所以对定义域内的u，v，f(u)<f(v) 当且仅当 |u|>|v|。 定义域约束：2m－1∈[－3，3]得m∈[－1，2]；m∈[－3，3]；取交集得m∈[－1，2]。 由|2m－1|>|m|，两边平方（均非负）得(2m－1)²>m²，即3m²－4m＋1>0，(3m－1)(m－1)>0，解得m<或m>1。 与m∈[－1，2]取交集，得m∈[－1，∪(1，2]。 　【题型10】建模先写定义域：二次函数模型的定价决策 19．【答案】（1）y＝－2x＋200（40≤x<100）；（2）50≤x≤90；（3）售价x为70元时W最大，最大利润为1800元 【解析】（1）设y＝kx＋b，代入(50，100)，(60，80)，得50k＋b＝100，60k＋b＝80，解得k＝－2，b＝200，所以y＝－2x＋200。由y>0且售价不低于进价，得定义域40≤x<100。 设日利润为W元，则W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x²＋280x－8000。 （2）令W≥1000，即－2x²＋280x－9000≥0，两边除以－2并把不等号反向，得x²－140x＋4500≤0，即(x－50)(x－90)≤0，解得50≤x≤90，均在定义域内，故售价范围是50≤x≤90（单位：元）。 （3）W＝－2(x－70)²＋1800，对称轴x＝70在定义域内，所以x＝70时W取最大值1800。 所以售价定为70元时日利润最大，最大日利润为1800元。 　题型10　变式 20．【答案】(1) x取2，3，4，5，6，7，8这7个正整数；(2) x＝5（产量500台）时利润最高，最高利润为96万元 【解析】设年利润为W(x)万元。年销售收入为x×(60－2x)＝60x－2x²（万元），年总成本为固定成本加可变成本，即54＋4x²（万元）。 故W(x)＝(60x－2x²)－(54＋4x²)＝－6x²＋60x－54＝－6(x²－10x＋9)＝－6(x－1)(x－9)。 （1）要盈利需W(x)>0，即－6(x－1)(x－9)>0，即(x－1)(x－9)<0，解得1<x<9。结合x∈N*且1≤x≤12，得x取2，3，4，5，6，7，8这7个正整数。 （2）W(x)＝－6(x－1)(x－9)是开口向下的抛物线，对称轴为x＝＝5，恰好是整数且在定义域[1，12]内，所以x＝5时W(x)取最大值，W(5)＝－6×(5－1)×(5－9)＝－6×4×(－4)＝96。 故该厂年产量为500台（x＝5）时利润最高，最高利润为96万元。 　易错专练 21．【答案】b＝1 【解析】错解提醒：若不检验互异性，由“4∈A”直接列出b＝4或b²－5b＋8＝4，解得b＝4或b＝1，容易误认为两者都是答案。 正解：先讨论b＝4的情形——此时b²－5b＋8＝16－20＋8＝4，集合变为{2，4，4}，出现两个相同的4，违反互异性，b＝4必须舍去。 再讨论b²－5b＋8＝4的情形——解得b²－5b＋4＝0，即(b－1)(b－4)＝0，b＝1或b＝4；其中b＝4已被舍去，只保留b＝1，此时集合为{2，1，4}，三个元素互不相同，符合要求。 综上，b＝1。 22．【答案】C 【解析】A＝{x|－2<x≤3}表示以－2为开端点、3为闭端点的区间。 求补集时，原来取不到的端点(－2)在补集里要变成取得到，原来取得到的端点(3)在补集里要变成取不到。 所以∁UA＝{x|x≤－2，或x>3}，选C。 23．【答案】A 【解析】“x>3的充分条件是x>5”这句话的主语是x>3，意思是x>5可以推出x>3，即x>5是使x>3成立的一个充分条件。 把这句话读反，会误以为是“x>3能推出x>5”或“x>3是x>5的充分条件”，这正是B、C的错误读法。 从集合角度看，条件越强、集合越小：{x|x>5}⫋{x|x>3}，D把包含方向也写反了。 故正确理解是A：由x>5可以推出x>3。 24．【答案】否定：∃x∈[0，3]，x²＋1<1；该否定为假命题 【解析】否定只需两步：把“∀”改成“∃”，把结论“≥1”改成“<1”，范围[0，3]保持不变，得∃x∈[0，3]，x²＋1<1。 在[0，3]上，x²的最小值是0（在x＝0处取得），所以x²＋1的最小值是1，不存在x使x²＋1<1成立。 所以这个否定是假命题（对应地，原命题“∀x∈[0，3]，x²＋1≥1”是真命题）。 25．【答案】B 【解析】若直接套用基本不等式x＋≥＝4，当且仅当x＝2时取等号，但x＝2不在[3，5]内，等号取不到，4不是本题的最小值，A错误。 事实上，可以证明x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以在[3，5]上也单调递增，最小值在左端点x＝3处取得。 代入得f(3)＝3＋＝。 C＝是右端点x＝5处的函数值，是本题的最大值而非最小值；D＝2是把错算成2，属于计算失误。 故最小值为，选B。 26．【答案】m∈(－3，1] 【解析】错解提醒：若默认m－1≠0直接用二次不等式恒成立的条件“开口向下且Δ<0”求解，会漏掉m＝1这个使二次项系数为0、不等式退化为一次式（其实是常数式）的情形。 正解第一步（讨论m＝1）：当m＝1时，原不等式变为0·x²＋0·x－4<0，即－4<0，对一切实数x恒成立，故m＝1符合条件。 正解第二步（讨论m≠1）：此时需要m－1<0（开口向下）且判别式Δ<0。Δ＝[2(m－1)]²－4(m－1)(－4)＝4(m－1)²＋16(m－1)＝4(m－1)(m－1＋4)＝4(m－1)(m＋3)。 令Δ<0，得(m－1)(m＋3)<0，解得－3<m<1，这与m－1<0（即m<1）自动相容。 综合两种情形，m∈(－3，1)∪{1}＝(－3，1]。 27．【答案】[1，5] 【解析】错解提醒：容易把“f(2x＋1)的定义域为[0，2]”误理解成f(x)的定义域也是[0，2]，这混淆了自变量x与括号里整体2x＋1的取值范围。 正解：f(2x＋1)的定义域是指x的取值范围，即x∈[0，2]。而f的定义域应该是括号内整体2x＋1的取值范围。 当x∈[0，2]时，令t＝2x＋1，则t是关于x的增函数，当x＝0时t＝1，当x＝2时t＝5，所以t∈[1，5]。 所以f(x)的定义域是[1，5]。 28．【答案】D 【解析】容易只看解析式f(x)＝x²满足“f(－x)＝f(x)”的形式就直接判断为偶函数，这一步漏掉了先检验定义域是否关于原点对称。 该函数的定义域是[－2，3]，不关于原点对称（比如x＝3在定义域内，但－3不在定义域内），不满足偶函数（或奇函数）定义中“对任意x∈D都有－x∈D”的前提。 定义域不对称，可以直接判定该函数既不是奇函数也不是偶函数，不需要再去验证f(－x)与f(x)的关系。 故选D。 　课后作业（一）基础过关 29．【答案】A 【解析】非负整数集（自然数集）N包含0，所以0∈N，A正确。 是无理数，不属于有理数集Q，B错误。 是分数，不是整数，不属于Z，C错误。 ∅是不含任何元素的集合，而{0}含有一个元素0，两者不相等，D错误。 故选A。 30．【答案】D 【解析】先求∁UA：从U中去掉A＝{1，3，5，7}的元素，得∁UA＝{2，4，6，8}。 再求(∁UA)∩B：把∁UA＝{2，4，6，8}与B＝{2，3，5，8}的公共元素找出来，得{2，8}。 故选D。 31．【答案】16 【解析】A＝{－1，0，1，2，3}共5个元素，子集总数为2⁵＝32个。 把元素－1是否入选作为开关：每个子集与“改变－1的取舍”后得到的子集一一配对，这一改变必定使子集元素个数的奇偶性翻转，所以元素个数为奇数的子集与为偶数的子集恰好各占一半。 所以元素个数为奇数的子集共有32÷2＝16个。 32．【答案】C 【解析】p：x＝2，代入x²－5x＋6，得4－10＋6＝0，成立，所以p⇒q。 q：x²－5x＋6＝0的解是x＝2或x＝3，q成立时x不一定等于2（也可能是3），所以q推不出p。 所以p是q成立的充分而不必要条件，选C。 33．【答案】B 【解析】由a>b与c>d，两个同向不等式可以直接相加，得a＋c>b＋d，这是不等式的可加性，对任意实数都成立，B正确。 取a＝－1，b＝－2（满足a>b），c＝3，d＝1（满足c>d>0），代入A：ac＝－3，bd＝－2，－3>－2不成立，A错误。 取a＝1，b＝0，c＝10，d＝1，代入C：a－c＝－9，b－d＝－1，－9>－1不成立，C错误。 同向不等式不能相减也不能相除，D同样可以举反例说明不恒成立。 故选B。 34．【答案】x²＋4x＋7>2x＋3（对一切实数x恒成立） 【解析】作差：(x²＋4x＋7)－(2x＋3)＝x²＋2x＋4。 配方：x²＋2x＋4＝(x＋1)²＋3。 因为(x＋1)²≥0，所以(x＋1)²＋3≥3>0，即差恒为正。 所以对一切实数x，都有x²＋4x＋7>2x＋3。 35．【答案】最小值为16，此时x＝2 【解析】由基本不等式，4x＋≥＝＝16，当且仅当4x＝时取等号。 解4x＝，得x²＝4，因x>0，得x＝2。 所以最小值为16，此时x＝2。 36．【答案】（1）{x|x<－3，或x>4}；（2）{x|－1≤x≤4} 【解析】（1）因式分解x²－x－12＝(x－4)(x＋3)，令(x－4)(x＋3)>0，两根为4和－3，按“大于取两边”，解集为{x|x<－3，或x>4}。 （2）先把二次项系数化为正：－x²＋3x＋4≥0两边同乘－1，不等号反向，得x²－3x－4≤0。 因式分解x²－3x－4＝(x－4)(x＋1)，令(x－4)(x＋1)≤0，两根为4和－1，按“小于取中间”，解集为{x|－1≤x≤4}。 37．【答案】C 【解析】A中g(x)＝x＋1的定义域是R，与f(x)＝2x定义域相同，但对应关系不同：x＝0时f(0)＝0，g(0)＝1，两者不等，不是同一函数。 B中g(x)＝2|x|的定义域是R，与f(x)定义域相同，但对应关系不同：x＝－1时f(－1)＝－2，g(－1)＝2，两者不等，不是同一函数。 C中g(x)＝x＋x的定义域是R，与f(x)定义域相同，且x＋x＝2x对任意x恒成立，对应关系完全相同，是同一函数。 D中g(x)＝要求x≠0，定义域是{x|x≠0}，与f(x)的定义域R不同，不是同一函数。 故选C。 38．【答案】[2，5)∪(5，＋∞) 【解析】根号下的式子必须非负：2x－4≥0，解得x≥2。 分母不能为0：x－5≠0，解得x≠5。 两个条件同时满足，取交集，得定义域为[2，5)∪(5，＋∞)。 39．【答案】x<0时f(x)＝－x²－2x－3；f(－2)＝－3 【解析】设x<0，则－x>0，代入已知式得f(－x)＝(－x)²－2(－x)＋3＝x²＋2x＋3。 因f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x²＋2x＋3，即f(x)＝－x²－2x－3（x<0）。 把x＝－2代入这个表达式：f(－2)＝－(－2)²－2×(－2)－3＝－4＋4－3＝－3。 40．【答案】C 【解析】由图象过点(2，8)，得＝8＝2³，所以α＝3，f(x)＝x³。 f(－x)＝(－x)³＝－x³＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 幂函数y＝x³在(0，＋∞)上是单调递增的。 故选C。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $