精品解析：安徽六安市叶集皖西当代中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知向量，，则在方向上投影的数量为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为1，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 如图，在平行六面体中，且，为与的交点，设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是________． 13. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 14. 在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值． 16. 已知直线：． （1）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 17. 如图，已知矩形所在平面外一点，平面，，，、分别是、的中点， （1）求证：，，共面； （2）求点到直线的距离． 18. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 19. 在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叶集皖西当代中学高二年级10月月考 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点坐标为． 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为空间向量与共线，所以存在唯一使得， 即，则，，， 因此． 3. 已知向量，，则在方向上投影的数量为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，， 得， 所以在方向上投影的数量为： ． 4. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 5. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 7. 在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在长方体中，，，， ，又，， 又因为平面，平面， 又平面，， 又∵平面平面， 为二面角所成的平面角， 所以， 即二面角的余弦值为． 8. 在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为，求得，继而求出，根据棱锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为， 由于，故； 又，则， 故， 故， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由基底的定义知，，不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以，，不共面， 所以不存在实数，，使得，故B错误； 对于C，因为是空间一个基底， 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使得，故C正确； 对于D，因为，，不共面，且与平行，与平行，与平行， 所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D错误． 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为1，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，直线，令即，， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，若直线在轴上的截距为1，则直线过点， 代入直线方程得，解得，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得，故C错误； 对于D，，且，所以由正切函数的单调性可知，故D正确． 11. 如图，在平行六面体中，且，为与的交点，设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算求解判断AB；利用数量积的运算律求解模长判断C；利用向量夹角的运算公式求解判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，， ，，则， 则，故C正确； 对于D，，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以，， 所以向量在向量上投影向量的坐标为． 【分析】根据向量在向量上投影向量为求解即可. 13. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】截距互为相反数，分截距为零和不为零两种情况讨论求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即． 所以直线的方程为或． 故答案为：或. 14. 在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案. 【详解】因为， 设，则， 由于四点共面，故，解得， 故，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，， ， 又，且， ∴存在非零实数，使得， ，， 或． 【小问2详解】 ，， ， ∵向量与互相垂直， ，解得，故的值为． 16. 已知直线：． （1）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2） 由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【小问1详解】 由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 17. 如图，已知矩形所在平面外一点，平面，，，、分别是、的中点， （1）求证：，，共面； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1）证明： 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，     则，，， ∵为的中点，为的中点，∴，， ，，， ∴， ∴，，共面． （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理求解； （2）点到直线的距离的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， 直线的单位方向向量，， 点到直线的距离. 18. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由. 【答案】（1） 在平行四边形中，为等边三角形， 则， ∴，∴， 在中，，，， ∴， ∴，∴， 在四棱锥中由可得，∴， 且，平面，平面， ∴平面. （2） （3） 不能. 证明：假设存在上一点（不包括端点）使得平面， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面， 则平面平面， 又∵平面平面，故矛盾， ∴假设不成立， 即不存在上一点（不包括端点）使得平面， 即直线不能与平面平行. 【解析】 【分析】（1）在平行四边形中找到三角形的角和边，利用余弦定理解三角形，即可证明的关系，然后利用勾股定理得到的关系，然后得到线面关系； （2）取线段中点，然后由（1）证明三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，然后由条件写出点的坐标，即可得到面内空间向量的坐标，然后由空间向量的数量积求得两个面的法向量，由法向量的夹角的余弦值求得面面角的余弦值. （3）反证法，假设直线与平面平行，由线面平行推导得面面平行，又因为面与面存在交点，从而证明假设不成立，然后得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取，中点，，连接， ∴ 由（1）可知，平面， ∵，平面， 平面，∴， 在正三角形中，， ∴如图以为原点建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∵， 即， ∴，， ，， 设向量，分别为平面和平面的一个法向量， 则和， 令，则，令，则， 即，， 设平面与平面的夹角为， 则， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $