精品解析：河北石家庄市第三十八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027第一学期九年级学科竞赛数学学科试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回， 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（ ） A. B. C. D. 3. 古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 4. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为( ) A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）． A. B. C. D. 10. 在中，，均为锐角，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 有一个角是的三角形 11. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________，________． 14. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 15. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 16. 如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）若的周长是，则的周长为________． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 20. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 22. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23. 如图1，定州塔又名开元寺塔，是我国现存最高的砖木结构古塔，具有较高的文化价值．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：根据所学知识测量定州塔的高度． （1）测量小组通过思考，制定出了测量方案，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离米，即可得出塔高______米；（请用和m表示）； （2）在实践中发现：由于无法直接测量点C到塔底端B的距离，所以测量小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点C向前走到点D处，在D处测得塔顶端A的仰角为，即可通过计算求得塔高．若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留一位小数，参考数据：，，，） 24. 如图（），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． （1）______；______；______（用含的代数式表示）． （2）当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）如图（），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一学期九年级学科竞赛数学学科试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回， 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 2. 嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 3. 古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为. 4. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设彩纸的宽度为，根据彩纸的面积恰好与原画面面积相等列方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即． 5. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 6. 如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程求得两根，再讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系计算周长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，； 当腰长为，底边长为时，由，满足三角形三边关系，故周长为； 当腰长为，底边长为时，由，不满足三角形三边关系，舍去． 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 9. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 10. 在中，，均为锐角，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 有一个角是的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 11. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 12. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接写出特殊锐角的三角函数值即可． 【详解】解：根据特殊锐角三角函数值，可得，． 14. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是___________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， 15. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 16. 如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】（1）先利用矩形性质得所有内角为直角，再根据折叠性质得，推导，结合，得到两组角对应相等，用两角对应相等的三角形相似判定定理判断相似性． （2）根据折叠的全等性质，得，结合，运用勾股定理，即可用含的式子表示、． 【详解】判断与是否相似  ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质可知， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵在中，​，且， ∴可得． ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】第（1）题适合直接开平方法，先把平方项单独放在等号一侧； 第（2）题不易因式分解，用公式法求根； 第（3）（4）题先代入特殊角函数值，再按分式与整式运算法则化简，最后分母有理化． 【小问1详解】 解： , 【小问2详解】 解：，，． , 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）若的周长是，则的周长为________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， ，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【小问1详解】 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是， 的周长为， 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． （1）求的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值为， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根和与两根积，代入已知不等式，结合（1）的取值范围确定整数解． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， 解得． 结合（1）的结论，得， 的整数值为，． 20. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】（1） ，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2） （3）当时，最大值为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为， ∴当时，最大值为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式；一次函数的解析式 （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 22. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 23. 如图1，定州塔又名开元寺塔，是我国现存最高的砖木结构古塔，具有较高的文化价值．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：根据所学知识测量定州塔的高度． （1）测量小组通过思考，制定出了测量方案，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离米，即可得出塔高______米；（请用和m表示）； （2）在实践中发现：由于无法直接测量点C到塔底端B的距离，所以测量小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点C向前走到点D处，在D处测得塔顶端A的仰角为，即可通过计算求得塔高．若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）塔高米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接解直角三角形即可得出答案； （2）设米，则米，在中，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴（米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设米，则米， 在中，，， ∴米， 在中，，， ， ， 解得，， （米）， 塔高米． 24. 如图（），在四边形中，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． （1）______；______；______（用含的代数式表示）． （2）当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）如图（），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1），，； （2）或； （3）或时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形、矩形、平行四边形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，则，证明四边形是正方形，故有，由，则，通过勾股定理得，又，由题意得，从而求解； （）分为当时，②当时两种情况求解即可； （）分为当时，当时两种情况，再通过相似三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：当时，得， 解得； ∴当时，以点为顶点的三角形与相似， ②当时，得， 解得， 当时，以点为顶点的三角形与相似， 综上或； 【小问3详解】 解：当时，即为直角三角形， 如图，过作于， ∴， ∵当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于，于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形； 当时，即为直角三角形，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $