精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期九月月考数学试题

曾都一中2025年秋高二年级9月月考数学试题 范围（人教A版必修2概率与选择性必修空间向量与立体几何） 2025-9-16-18:30---20:30 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面. 【详解】， ，，共面，不能构成基底，排除 A； ， ，，共面，不能构成基底，排除 B； ， ，，共面，不能构成基底，排除 D； 对于C，若、、共面， 则， 则、、为共面向量，此与、、为空间的一组基底矛盾， 故，，可构成空间向量的一组基底． 故选： 2. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 522 553 135 354 313 531 423 521 541 142 125 323 345 131 332 515 324 132 255 325 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率. 【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以. 故选：B 3. 已知三棱锥中，点M为棱的中点，点G为的重心，设，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】由题意知，， 则， 故选：A 4. 从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率． 【详解】随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法， 得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种， 故能得2分的概率为． 故选：B． 5. 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解. 【详解】因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝， 所以P（AB）＝P（A）P（B）＝， 所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-= 故选：C 【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题. 6. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，CD=，则这个二面角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设二面角的大小为，则，又，根据向量的数量积可求得，进而可求得. 【详解】设二面角的大小为，则， 根据题意可得， 所以， 因为，，，CD=， 所以， 解得，又因为，所以， 所以这个二面角的度数为. 故选：C. 7. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 8. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，则四点共面 D. 若，则不一定是钝角. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为向量，，且， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以四点不共面，故C错误； 对于D，，当时，，故若，不一定是钝角,故D正确. 故选：ABD. 10. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典摡型的概率计算公式，互斥事件的定义，以及相互独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为种， 事件“第一枚出现点数为奇数”，共有种，所以，所以A正确； 由事件“第二枚出现点数为偶数”，所以，所以B不正确； 当第一枚抛出点，第二枚抛出点时，此时事件与事件同时发生，所以与不互斥，所以C不正确； 由，可得，所以事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则， 由，得，由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误； ，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求，利用向量在向量上的投影向量为，进而求解. 【详解】由题意有：，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各顶点的坐标，利用球心到各顶点距离相等，求出半径，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，半径为， 则，解得， 得到，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的试卷份数是24． （1）求，的值； （2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在恰有1份的概率． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】 【分析】（1）由成绩在的学生人数为24，频率为0.12可得的值，由概率和为1可得的值； （2）通过分层抽样的概念可得抽到第四组三份试卷，第五组两份试卷，利用列举法结合古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】（1）由于其中成绩在的学生人数为24，又在间的频率为0.12， ∴． 又概率和为1，∴． （2）∵，∴第四组的频数：； 第五组的频数：； 用分层抽样的方法抽取5份试卷得： 第四组抽取：；第五组抽取：． 记抽到第四组的三份试卷为，，，抽到第五组的两份试卷为， 则从5份试卷中任取2份的基本事件有：，，， ，，，，，，，共10种． 其中分数在恰有1份有：，，，，，，共6种． ∴所求概率：． 16. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，. （1）求AE的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及向量数量积的定义、运算律求模长即可； （2）应用向量数量积的运算律求相关数量积和模长，再由向量夹角公式求即可. 【小问1详解】 在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； 【小问2详解】 ，， 则， ， ， 所以 即异面直线与所成的角的余弦值. 17. 如图，在长方体中，，，. （1）求到直线的距离. （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量求法可求得结果； （2）假设存在点，且，根据线面平行的向量求法可知，由此可求得结果. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，， 到直线的距离. 【小问2详解】 设线段上存在点，使得平面， 设， ，，，，， ，，，， ， ， 设平面的法向量， 则，令，则， ，解得：， 当为线段中点时，平面. 18. 我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. （1）求、、； （2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 【答案】（1）、、； （2）. 【解析】 【分析】（1） 获得优秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失败第二跳成功，利用互斥事件的概率公式计算. （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果． 【小问1详解】 记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2. 记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C. ， ， . ， 甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、； 【小问2详解】 记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D， . 甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 19. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】（1）证明：连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以 （2） （3）存在，此时 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2025年秋高二年级9月月考数学试题 范围（人教A版必修2概率与选择性必修空间向量与立体几何） 2025-9-16-18:30---20:30 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 2. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 522 553 135 354 313 531 423 521 541 142 125 323 345 131 332 515 324 132 255 325 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥中，点M为棱的中点，点G为的重心，设，，，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，CD=，则这个二面角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，则四点共面 D. 若，则不一定是钝角. 10. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B相互独立 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则__________. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为_______． 14. 已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的试卷份数是24． （1）求，的值； （2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在恰有1份的概率． 16. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，. （1）求AE的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 17. 如图，在长方体中，，，. （1）求到直线的距离. （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. （1）求、、； （2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 19. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $