2.2.3 直线的一般式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 1.明确直线方程一般式的形式特征；（重点） 2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（难点） 3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. （难点） 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点(x0,y0),斜率k 斜率存在的直线 斜截式 斜率k，y轴上的截距b 斜率存在的直线 两点式 点(x1,y1)，(x2,y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 斜率存在且不为0的直线 截距式 x，y轴上的截距a，b 且a≠0，b≠0 斜率存在且不为0， 又不过原点的直线 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 思考：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y 的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于x，y 的二元一次方程都表示一条直线吗？ 过点 与x 轴垂直的直线可表示成 ， 过点 与y 轴垂直的直线可表示成 . 观察直线的几种方程式，我们发现，它们都是关于x，y 的二元一次方程. 直线与二元一次方程具有怎样的关系呢？ 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 先看问题(1)，对任意一条直线l，在其上任取一点 ， 当直线l 的斜率为k 时，其方程为 ，这是关于x，y的二元一次方程； 当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为 ，这也是关于的二元一次方程，此时y 的系数为0. 由上面的讨论可知：平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 由上可知：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 对于问题(2)，如果能把任意一个二元一次方程 (A，B不同时为0)化为直线的某种形式，那么它就表示一条直线. 当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线； 当 ， 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，垂直于x 轴的一条直线 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 探究一：直线的一般式方程 一般式适用于任意一条直线 注意：对于直线方程的一般式，规定： 1)的系数为正; 2),的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含项，含项、常数项顺序排列. 4)无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式． 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 （链接教材P65例5）根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； 解：因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2 （x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1 ＝0. （2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4； 解：由直线的斜率k＝ ，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程 为y＝ x＋4. 整理可得直线的一般式方程为 x－y＋4＝0. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； 解：由直线的两点式方程可得 ＝ ，整理得直线的一般式方 程为2x－3y－13＝0. （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：由直线的截距式方程可得 ＋ ＝1，整理得直线的一般式方程为2x －y－4＝0. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 探究二：平行与垂直的条件 (1) 且 (或 ) (2) 思考：已知直线 ， (其中A1，B1不同为0，A2，B2不同为0). (1)若 ，则A1、A2、B1、B2、C1、C2满足什么条件？ (2)若 ，则A1、A2、B1、B2满足什么条件？ 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 两条直线的位置关系 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 13 角度1　由平行、垂直求直线方程 〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的 直线的方程是 ；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程 是 ⁠. 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为 ，所以平行于直线l的直线 的斜率等于 ，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝ x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率 为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2 （x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. x－2y＋2＝0 2x＋y－1＝0 数学·选择性必修第一册 目录 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直 线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直 线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝ －1，所求直线方程为2x＋y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系 确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程； （2）可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平 行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）；与直线Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　由直线的平行或垂直求参数 已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：（a－1）x＋ay＋1＝0，a∈R. 分 别求a的值，使： （1）l1∥l2； 解：由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行⇔ A1B2－ A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0， 得a－2a（a－1）＝0，且－（a－1）≠1， 解得a＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）l1⊥l2. 解：由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直⇔ A1A2＋ B1B2＝0， 得a－1＋2a2＝0，解得a＝ 或a＝－1. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 判定平行、垂直的两种方法 （1）化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在 的情况； （2）化成一般式方程，用充要条件判断. 数学·选择性必修第一册 目录 已知方程（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0 （m∈R）. （1）若该方程表示一条直线，求实数m的取值范围； 解：当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线. 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝ . 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m｜m≠－1}. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 （2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线 方程； 解：当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由（1）知当m＝ 时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直 线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 （3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依题意，令y＝0得直线在x轴上的截距 ＝－3，解得m＝－ （m ＝3舍去）. 所以实数m的值为－ . 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 变式　若直线l的方程为（a2－1）x＋y＋2－a＝0（a∈R），求直线倾 斜角的取值范围. 解：因为直线的斜截式方程为y＝（1－a2）x＋a－2，（a∈R），所以 直线的斜率k＝1－a2≤1， 当0≤k≤1时，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］； 当k＜0时，直线的倾斜角的取值范围是（ ，π）， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］∪（ ，π）. 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 问题 3 在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为： (1)平行于x轴; (2)平行于y轴; (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点 ? (5) C=0，A、B不同时为0 Ax+By=0 (1) A=0 , B≠0 ,C≠0 By+C=0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 Ax+C=0 (4) B=0 , A≠0, C=0 Ax=0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 By=0 二元一次方程的系数对直线的位置的影响 24 1.直线 (1)若 . (2)若 . 2.与直线 平行的直线可设为 与直线 垂直的直线可设为 课堂总结 学习目标 当堂检测 新知讲解 $