2.2.3 直线的一般式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 01 温故知新 温故知新 直线方程名称 直线方程形式 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 不垂直x轴(斜率k存在) 不垂直x轴(斜率k存在) 不垂直坐标轴 不垂直坐标轴 不经过原点 02 一般式方程 请根据前面我们学习的知识，分别利用点斜式、斜截式、两点式 和截距式，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A(1，8)； (2)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°； (3)经过两点P1(1，6)，P2(2，9)； (4)在x轴和y轴上的截距分别是7，7. 新知讲解 如果我们画出这4条直线的图象，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的.事实上，它们的方程都可以化简为xy70. 新知讲解 探究1 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y 的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗? 新知讲解 (1)任意一条直线l，在其上任取一点 若斜率k存在，则直线的点斜式方程为：， 即：kxy(y0kx0)0，这是一个关于x，y的二元一次方程. 若斜率不存在，则直线的方程为xx00， 即：x0·yx00，这也可看成是y的系数为0的二元一次方程. 任何一条直线，都可以表示成形如AxBy0的的二元一次方程. (2)任意一个二元一次方程AxByC0 (A、 B不同时为0)， 如果 能把它化为直线方程的某种形式，就可以断定它表示直线. 当B≠0时，方程AxByC0可变形为， 它表示过点，斜率为的直线. 当B=0，A≠0时，方程AxByC0可变形为， 它表示过点，且垂直于x轴的直线. 新知讲解 探究1 (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗? 关于x，y的二元一次方程AxByC0都表示一条直线. 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程AxBy0(其中A、B不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注意： (1)直线的一般式要满足A、B不同时为0； (2)方程书写时通常按含x项、含y项、常数项顺序排列； (3)含x项系数一般取正值，各项系数互质． 新知讲解 (1)当A0，B0，C0时，方程表示的直线与x轴平行； (2)当B0，A0，C0时，方程表示的直线与y轴平行； (3)当A0，B0，C0时，方程表示的直线与x轴重合 ； (4)当B0，A0，C0时，方程表示的直线与y轴重合； (5)当C0时，方程表示的直线过原点. 新知讲解 探究2 在方程AxByC0(A、B不同时为0)中，A、B、C为何值时， 方程所表示的直线(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合； (4)与y轴重合；(5)过原点. 思考1：直线的一般式方程AxByC0与其它形式之间有什么关系? 新知讲解 ykxb 当且(或)时，l1//l2. 当1时，l1⊥l2. 当时，l1与l2相交. 当时，l1与l2重合. 思考2：如果直线的l1，l2的一般式方程为l1：， l2 ： (A1B1C10，A2B2C20)，若l1与l2平行， 则参数应满足什么条件?垂直、相交、重合呢? 新知讲解 思考3：如果直线的l的一般式方程为AxByC0(A、B不同时为0)， 与它平行或垂直的直线方程有何特征? 新知讲解 与直线AxByC0(A、B不同时为0)平行的直线可设为： 与直线AxByC0(A、B不同时为0)垂直的直线可设为： 03 典例分析 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为2； (3)经过A(1，5)，B(2，1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是3，1. 求方程 例题剖析 例题剖析 解参数 【例2】直线l方程为2x(k3)y2k60(k3)，根据条件确定k的值： (1)直线l的斜率为1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 例题剖析 过定点 【例3】已知(k1)x(k1)y2k0为直线l的方程， 求证：不论k取何值，直线l必过定点，并求定点坐标. 例题剖析 平行垂直问题 【例4】直线l1：x2(m1)y30与l2：(2m1)x(m1)y60平行， 求m的值. 举一反三 【练习】直线mx4y20与直线2x5yn0互相垂直，垂足为(1，p)， 则mnp . 【练习】直线l1：(a1)x(a1)y20与l2：(a1)x2y10互相垂直， 则a . 04 课堂小结 直线的一般式方程：AxByC0 (1)利用一般式解决直线平行与垂直问题： l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20 (A1B1C10，A2B2C20) l1 // l2⇔A1B2A2B10，且B1C2B2C10或A1C2A2C10. l1⊥l2⇔A1A2B1B20. (2)与直线AxByC0(A、B不同时为0)平行的直线可设为： AxByC10(C1C) 与直线AxByC0(A、B不同时为0)垂直的直线可设为： BxAyC20 课堂小结 $