单调性，奇偶性综合应用之构造函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

构造函数 知识梳理 1、单调性差商的形式 差商是单调性定义的分式形态对x1≠x2同属区间D: f)-f2,0f在D上单消游地，ff<0口f)在D上单调递减 X1-X2 X1-X2 等价的乘积写法：(x1-x2)f(x1)-f(x2)〗>0→单调递增，<0→单调递减，即分子 分母同号为增、异号为减把f(x)换成题设给出的任何一个组合式，读出的就是该组合式的 增减方向 2、奇偶性运算的性质 在关于原点对称的公共定义域上： 运算 f(x),g(x)奇偶性相同 f(x),g(x)奇偶性不同 f(x)±g(x) 与f(x),g(x)同（同奇或同偶） 般既非奇也非偶 f(x)·g(x) 偶函数 奇函数 f(x) g(x) (g(x)≠0) 偶函数 奇函数 常数c≠0按偶函数计算，故cf(x)与f(x)的奇偶性相同， 7、式子结构与构造方法的对应（结构模型表) 条件式的结构特征 构造的 所依据的恒等式或等价变形 新函数g(x)的 g(x) 奇偶性 不构造， 分子是af(x)+bf(-x)型 与f(x)相同 线性组合 直接代换 奇：(a-b)f(x):偶：(a+b)f(x) (化为2f(x) 化简 后) 分子含同下标差xf(x1) f(x)奇则偶， x2f(x2) xf(x) g(x1)-g(x2)=x1f(x1)-x2f(x2) f(x)偶则奇 条件含f f(x1)f(x2) x1f(x1)-x2f(x2) xf(x) f(x)奇则偶， X2 X1 X2 X1 X1X2 f(x)偶则奇 分子含交叉差x2f(x1)- f(x) x2f(x1)-x1f(x2) f(x)奇则偶， x1f(x2),或分母已带x1x2 f(1)1(x2) X2 f(x)偶则奇 条件含(x1 或 f(x) f[四≥cx2f≥cx0 f(x)奇则偶， x X x3 f(x)偶则奇 与x2对置 fx)-fx2）-k 差商右端为非零常数k: f(x)奇则奇 f(x) X1-X2 目标式中f(x)与kx对置 -kx [f(x1)-kx1]-[f(x2)-kx2] (修正项kx为 奇) X1-X2 以f(x)为偶函 差商右端为k(x1+x2):目 f(x) 标式中f(x)与kx2对置 -kx2 k(x1+x2)(x1-x2)=k(x子-x3) 数为常见前 提，此时g(x) 为偶 题型一直接化简求解 方法：分子是af(x)+bf(-x)型线性组合不构造，用代换公式把f(-x)整体换成 ∫()，化为号型分区间解→由奇偶性代换公式与分式同号、分母不为零的等价变形定号 易错：分母为零的点（如x=-1、x=1)要单独挖去，不并进解集 例、已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x1,x2∈(0，+o)且x1≠x2,都有 f四>0，且f(2)=0.记g()=f-,求不等式g()≤0的解集 x1-x2 x+1 解：f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x),分子按代换公式并项：4f(x)-f(-x)= 4f)+f)=5f(),于是9)=码其定义域为x≠-1 由差商条件-f>0及差商读法，f(x)在(0，+0)上单调递增，又f(2)=0,故 x1-x2 0<x<2时f(x)<0,x>2时f(x)>0:由奇函数零点成对得f(-2)=-f(2)=0,且 f(0)=0,再由f(-x)=-f(x)得-2<x<0时f(x)>0,x<-2时f(x)<0. 5f(x)与x+1异号时分式非正、同号时为正，x=-1处分母为零无定义，逐段定号： (-∞，-2)上为正，x=-2处为零，(-2，-1)上为负，(-1,0)上为正，x=0处为零，(0,2) 上为负，x=2处为零，(2，+∞)上为正 故解集为[-2，-1)U[0,2] 1、已知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(1)=0: ②对任意xER的都有f(-x)=-f(x): ③对任意的x1,x2E(0,+∞)且x1≠x2时，总有)-f2>0. x1-X2 记g(x)=I四-3-)，则不等式g(x)≤0的解集为() x-1 A.[-1,0)U(0,1)B.(-∞，-1]U[0,1)C.[-1,0) D.[-1,0] 2、设定义在R上的奇函数)满足，对任意x1,x2E(0,+∞)且x1≠x2都有)f<0,且 x2-x1 f3)=0,则不等式2)3四≥0的解集为() A.(-∞，-3]U[3,+∞) B.[-3,0)U(3,+∞) C.(-o,-3)U(0,3] D.[-3,0)U(0,3] 3、设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1,2E(0,+o),且x1≠2，都有f过< x2-x1 0,且f(2)=0,则不等式f--2f四≥0的解集为() A.(-∞，-2]U(0,2] B.[-2,0]U[2,+o) C.(-o,-2]U[2,+∞) D.[-2,0)U(0,2] 题型二作积构造gx)=xf) 方法：条件能整理出同下标差x1f(x1)-x2f(x2)(含-f包形态)→通分构造 2X2 g(x)=xf(x),约去恒正的x1x2→由单调性定义读增减，f(x)奇则g(x)为偶函数，两侧增 减相反， 3 易错：x,x2必须同属一个区间且任意取，否则读不出单调性， 例、已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=4,且对任意x1,x2E(0,+o)、x1≠ f(x1)_f(x2) x2,都有21>0.求不等式(2x-1)f(2x-1)≥8的解集 x1-x2 解：先把分子通分，取公分母x,x2得-包=f-f;在(0，十0)上 X1X2 x1x2>0,同乘正数不改符号，条件化为9)92>0，其中9(x)=xfx),由单调性定义 x1-x2 知g(x)在(0，+oo)上单调递增 f(x)为奇函数时g(-x)=-x·f(-x)=xf(x)=g(x),故g(x)为偶函数，在(-o,0) 上单调递减（偶函数两侧相反）· 由f(2)=4得g(2)=2f(2)=8,又g(-2)=g(2)=8. 作代换t=2x-1,原不等式即g(t)≥8：当t>0时由递增得t≥2：当t<0时由递 减得t≤-2；t=0时g(0)=0·f(0)=0,不满足. 由2x-1之2得x≥多由2x-1≤-2得x≤-2故解集为(-∞，-]U,+∞) f(x1_f(x2】 1、己知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若Vx1,x2E(0,+o)且x1>x2,都有2>0， X1-X2 则不等式(x-1)f(x-1)<4的解集为() A.(-0,-1)U(3,+∞)B.(-00,3) C.(-1,3) D.(-1,+0) 2、已知f(x)为R上的奇函数，f(1)=1,若对Vx1,x2∈(0，+∞)，当x1>x2时，都有 x1-x2)-]<0,则不等式c+1)f(c+1)>1的解集为() A.(-3,1) B.(-2,-1)U(-1,0)C.(-∞，-1)U(-1,1)D.(-∞，-3)U (1,+0∞) 4 3、函数f)是定义在R上的奇函数，且一1)=0，若对任意x1,x2E(一o,0),且x1≠x2,都 有)-f包<0成立，则不等式0的解集为() x1-x2 A.(-o0,-1)U(1,+0) B.(-1,0)U0,1) C.(-oo,-1)U(0,1) D.(-1,0)U1,+o) 题型三作商构造g(x)= rn 方法：分子是交叉差x2f(x1)-x1f(x2)、或分母已带x1x2→提取公因式构造g(x)= 四，约去区间上恒正的xx2→由差商读出增减，y)为奇且n=1为奇数，故g()为偶 函数 易错：作商先挖去x=0,零点与区间端点要单独代回验证，不直接并入解集， 方法：条件给x-x)(-1)→构造9)=巴同除正数x2化为9)≥c一 由差商读法定增减，n=3为奇数，故g(x)为偶 易错：两边同除x2只在x≠0时等价，x=0必须排除 例、己知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x1,x2E(0,十o)且x1≠x2,都有 fx)-xf2>0,且f(4)=12,求不等式f(x)<3x的解集 x1-x2 解：分了是下标交叉的差，提出公因式：xf)-xf)=(-)这 步是为了凑出g(x)=四的函数值之差， 在(0，+0)上x1x2>0,同乘正数不改符号，条件化为)-92>0，由差商读法知 x1-x2 g(x)在(0，+o∞)上单调递增 fx)为奇函数且n=1为奇数，g(-x)=f-=f四=四=g(0),故g()为偶函 数，在(-∞，0)上单调递减（偶函数两侧相反）. 由f(4)=12得g(4)=是=3，且g(-4)=9(4)=3. 5 解f(x)<3x:x>0时两边同除正数x得g(x)<3=g(4),由g(x)在(0，+o)上递增 得0<x<4:x<0时两边同除负数x,不等号反向得g(x)>3=g(-4),由g(x)在 (-o,0)上递减得x<-4;x=0时f(0)=0(奇函数且0在定义域内)，0<0不成立. 故解集为(-o,-4)U(0,4). 1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈(0，+oo),且x1≠x2时，都有 2x2fx)-2xf2<0成立，f(2025)=4050,则不等式fx)-2x<0的解集为) x1x2(x1-x2) A.(-∞，-2025)U(2025,+o) B.(-2025,0)U(2025,+∞) C.(-2025,2025) D.（02) 2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1,x2E(0,+o)且x1≠x2时，都有f)-f包)>0 x1-x2 成立，f(2026)=2026,则不等式f(x)-x>0的解集为() A.(-∞，-2026)U(2026,+∞) B.（-2026,0)U(2026,+∞) C.(-2026,2026) D.（2026'2026 11 3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1、2E(0,+o)且x1≠x2时，都有fC)-xf2>0 x1x2(x1-x2) 成立，f(2027)=2027,则不等式f(x)-x>0的解集为() A.(-00,-2027)U(2027,+∞) B.（-2027,0)U(2027,+∞) C.(-2027,2027) D.（2) 6 4、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1,x2E(0,+∞)时，都有2f)-f包>0成立， x1x2(x1-x2) f(4)=4,则不等式f(x)>x的解集为() A.(-0,-4)U(4,+∞)B.(-4,0)U(4,+∞)C.(-4,4) D.(（) 5、已知定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的奇函数f(x)满足f(3x)=3f(x),且f(1)=3.若Vx1, (0,+m,≠x,(-x)-1<0,则不等式四≥27x2的解集为 6、已知奇函数f(x)的定义域为{xxER,x≠0}，且有f(2x)=2f(x),f(1)=2.若对Vx1, 为∈(0，+o),都有(-2)->0，则不等式四≥8x2的解集是 题型四加减修正构造g(x)=fx)一x 方法：差商右端是常数k→把k通分进差商配凑g(x)=f(x)-kx→，条件左端即 g(x)的差商，按单调性定义读增减，f(x)奇则g(x)为奇. 方法：差商右端为k(x1+x2)→用平方差配凑g(x)=f(x)-kx2→左端即g(x)的差 商，读增减后按对称性去符号. 例、已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x1,x2∈(0，+o)且x1≠x2,都有 f)-f<3,且f(4)=12,求不等式f(2x-1)>6x-3的解集 x1-x2 解：差商右端是常数3，把它通分回分子：)-f-3=fx)-f2)-31-x2= x1-x2 x1-x2 )-3-r)3包，这里3(x1-x2)正好是可分离差，故设g()=f(x)-3x,条件即 x1-x2 g(x)的差商小于0，由单调性定义得g(x)在(0，+o)上递减. g(-x)=f(-x)+3x=-f(x)+3x=-g(x),故g(x)为奇函数，在(-∞，0)上同样递 减（奇同偶异)，且g(0)=0. 由f(4)=12得g(4)=0,由奇性g(-4)=0. 把右端6x-3写成3(2x一1)正是照修正项配形，作代换t=2x一1，原式即f(t)- 3t>0,即g(t)>0:t>0时由递减得t<4;t<0时由递减及g(-4)=0得t<-4;t= 0时g(0)=0不满足， 由2x-1<-4得x<-2由0<2x-1<4得<x<号 故解集为(-∞，-习U(G) 1、已知f()是定义在R上的偶函数，若Vx1,x2∈[0，+o)且x1≠x2时，f包>3x1十 x1-x2 x2)恒成立，f(1)=3,则满足f(x2+x)≤3(x2+x)的实数x的取值范围为() B.[-1,1] c.o,g习 D.[0,1] 2、定义在R上的奇函数f(x)满足：任意x1,x2∈(0，+0)，且x1≠x2,f2>1,若f(2)=2,则 x1-x2 不等式f(x)>x的解集为 8 3、定义在R上的函数f(x)对任意0<x1<x2都有)f②<2，且函数y=fx)的图象关于 x1一x2 原点对称，若f(2)=4,则不等式f(x)-2x>0的解集是 课后作业 1、设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1,x2E(0,+o),且x1≠x2都有2)<0， x2-x1 且f(2)=0,则不等式92四≥0的解集为() A.(-∞，-2]U(0,2] B.[-2,0]U[2,+o) C.(-o,-2]U[2,+∞) D.[-2,0)U(0,2] 2、已知f(x为R上的奇函数，f(2)=2,若x,2E(0,+∞)且x1>x2,都有f-f> X1-X2 0,则不等式(x-1)f(x-1)<4的解集为() A.(-0,-1)U(3,+∞)B.(-∞，3) C.(-1,3) D.(-1,+o) 3、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0,若对任意的x1,x2∈(-o,0),当 x1≠x2时，都有ff2<0成立，则不等式f(x)<0的解集为一· x1-x2 9 4、若定义在(-o∞，0)U(0,+o)上的函数f(x)同时满足：①f(x)为奇函数：②对任意的x1, 2E(0,+∞)，且x1+x2,都有f2<0,则称函数f(o)具有性质P.已知函数f(x) x1-x2 具有性质P,则不等式fx一2)<，的解集为() x+2 A.(-3,-2)U(-2,-1) B.（-0∞，-3)U(-1,2) C.(-00,-3)U(-1,2)U(2,+∞) D.(-∞，-3)U(2,+o0) 5、已知函数f(x)是奇函数，且0≤x1<x2时，有f-f2<1,f(-2)=1,则不等式x- x1-X2 3≤f(x)≤x的解集为· 10 构造函数 知识梳理 1、单调性差商的形式 差商是单调性定义的分式形态.对 同属区间 ： 等价的乘积写法： 单调递增， 单调递减，即分子分母同号为增、异号为减.把 换成题设给出的任何一个组合式，读出的就是该组合式的增减方向. 2、奇偶性运算的性质 在关于原点对称的公共定义域上： 运算 奇偶性相同 奇偶性不同 与 同（同奇或同偶） 一般既非奇也非偶 偶函数 奇函数 （） 偶函数 奇函数 常数 按偶函数计算，故 与 的奇偶性相同. 7、式子结构与构造方法的对应（结构模型表） 条件式的结构特征 构造的 所依据的恒等式或等价变形 新函数 的奇偶性 分子是 型线性组合 不构造，直接代换化简 奇：；偶： 与 相同（化为 后） 分子含同下标差 奇则偶， 偶则奇 条件含 奇则偶， 偶则奇 分子含交叉差 ，或分母已带 奇则偶， 偶则奇 条件含 ；或 与 对置 奇则偶， 偶则奇 差商右端为非零常数 ；目标式中 与 对置 奇则奇（修正项 为奇） 差商右端为 ；目标式中 与 对置 以 为偶函数为常见前提，此时 为偶 题型一　直接化简求解 方法：分子是 型线性组合 → 不构造，用代换公式把 整体换成 ，化为 型分区间解 → 由奇偶性代换公式与分式同号、分母不为零的等价变形定号. 易错：分母为零的点（如 、）要单独挖去，不并进解集. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 .记 ，求不等式 的解集. 解： 为奇函数，故 ，分子按代换公式并项：，于是 ，其定义域为 . 由差商条件 及差商读法， 在 上单调递增，又 ，故 时 ， 时 ；由奇函数零点成对得 ，且 ，再由 得 时 ， 时 . 与 异号时分式非正、同号时为正， 处分母为零无定义，逐段定号： 上为正， 处为零， 上为负， 上为正， 处为零， 上为负， 处为零， 上为正. 故解集为 . 1、已知定义在上的函数满足： ①； ②对任意的都有； ③对任意的且时，总有. 记，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的都有，故函数是奇函数，故， 对任意的且时，总有，故函数是增函数， ， ，即， 解得范围是. 故选：D 2、设定义在上的奇函数f(x)满足，对任意且，都有且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，且都有， 所以函数在上单调递减， 又是在上的奇函数，则在上也单调递减， 由，则， ， 当时，，即解得， 当时，，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：A 3、设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，所以， 所以， 因为对任意，且，都有， 所以在单调递减， 因此在单调递减， 且，所以， 故 或， 故或， 故选：C． 题型二　作积构造 g(x)=x·f(x) 方法：条件能整理出同下标差 （含 形态）→ 通分构造 ，约去恒正的 → 由单调性定义读增减， 奇则 为偶函数，两侧增减相反. 易错： 必须同属一个区间且任意取，否则读不出单调性. 例、已知 是定义在 上的奇函数，，且对任意 、，都有 .求不等式 的解集. 解：先把分子通分，取公分母 得 ；在 上 ，同乘正数不改符号，条件化为 ，其中 ，由单调性定义知 在 上单调递增. 为奇函数时 ，故 为偶函数，在 上单调递减（偶函数两侧相反）. 由 得 ，又 . 作代换 ，原不等式即 ：当 时由递增得 ；当 时由递减得 ； 时 ，不满足. 由 得 ，由 得 ，故解集为 . 1、已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 设， 则在上单调递增，∵为奇函数， ∴为偶函数， 而，则，解得：， 故选：C. 2、已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 3、函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 【答案】C 【详解】令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在上的奇函数， 所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)， 所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0， 因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1>x2时， ， 所以在(－∞，0)上单调递减， 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增， 等价于或， 解得或， 所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). 故选：C 题型三　作商构造 方法：分子是交叉差 、或分母已带 → 提取公因式构造 ，约去区间上恒正的 → 由差商读出增减， 为奇且 为奇数，故 为偶函数. 易错：作商先挖去 ，零点与区间端点要单独代回验证，不直接并入解集. 方法：条件给 → 构造 ，同除正数 化为 → 由差商读法定增减， 为奇数，故 为偶. 易错：两边同除 只在 时等价， 必须排除. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 ，求不等式 的解集. 解：分子是下标交叉的差，提出公因式：，这一步是为了凑出 的函数值之差. 在 上 ，同乘正数不改符号，条件化为 ，由差商读法知 在 上单调递增. 为奇函数且 为奇数，，故 为偶函数，在 上单调递减（偶函数两侧相反）. 由 得 ，且 . 解 ： 时两边同除正数 得 ，由 在 上递增得 ； 时两边同除负数 ，不等号反向得 ，由 在 上递减得 ； 时 （奇函数且 在定义域内）， 不成立. 故解集为 . 1、已知是定义在R上的奇函数，当、，且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，且，， 由，得， 令，则有，故在上单调递减. 是奇函数，故，则，即是偶函数. 由，得， 不等式， 当时，不等式化为，即， 因在递减，故； 当时，不等式化为，即. 因是偶函数且在递减，故在上单调递增， 由，解得，结合，可得， 当时，，不满足不等式. 综上，解集为. 故选：B 2、已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当且时，都有成立， 不妨设，则， 则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 3、已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 4、已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或 或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 5、已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令，， 因为，，，， 即，，，， 所以在上单调递减， 又为定义在上的奇函数， 所以，所以， 所以为偶函数， 所以在上单调递增， 又，且， 所以，所以， 不等式（依题意，则）等价于， 即，所以，则且， 解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 6、已知奇函数的定义域为，且有，.若对，，都有，则不等式的解集是_____. 【答案】 【详解】设函数 ， 由题意，函数为奇函数，由， 得函数为偶函数； 取，，且 因为对，，有， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增，因为为偶函数， 所以函数在区间上单调递减； 因为，，所以，解得， 所以，因为为偶函数，所以， 由，得，即， 当时，函数单调递减，且，由，解得； 当时，函数单调递增，且，由，解得； 综上所述，不等式的解集是， 故答案为： 题型四　加减修正构造 g(x)=f(x)−kxⁿ 方法：差商右端是常数 → 把 通分进差商配凑 → ，条件左端即 的差商，按单调性定义读增减， 奇则 为奇. 方法：差商右端为 → 用平方差配凑 → 左端即 的差商，读增减后按对称性去符号. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 ，求不等式 的解集. 解：差商右端是常数 ，把它通分回分子：，这里 正好是可分离差，故设 ，条件即 的差商小于 ，由单调性定义得 在 上递减. ，故 为奇函数，在 上同样递减（奇同偶异），且 . 由 得 ，由奇性 . 把右端 写成 正是照修正项配形，作代换 ，原式即 ，即 ： 时由递减得 ； 时由递减及 得 ； 时 不满足. 由 得 ，由 得 . 故解集为 . 1、已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由， 得，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数，所以， 所以对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，可得，即， 即，所以，即，解得. 故选：A 2、定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为________. 【答案】 【详解】因，则， 则在上单调递增， 因为奇函数，则， 则，即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则的解集，即的解集为. 故答案为： 3、定义在R上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若，则不等式的解集是_______． 【答案】 【详解】函数图象关于原点对称，则函数为奇函数， 记，则，即为奇函数， 由题设对任意，有，即， 故在上单调递减，结合奇函数，知在上单调递减， 又，则， 当时，，当时，， 不等式，即为，所以不等式的解集是． 故答案为：． 课后作业 1、设定义在上的奇函数满足，对任意，且都有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意,且都有，所以函数在上单调递减，则在上单调递减，由，则，，当时，，即，当时，，即，综上不等式的解集为，故选 2、已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，令函数， 因为若且，都有， 即，所以函数在区间上为单调递增函数， 又因为为上的奇函数，即， 所以，所以函数为上的偶函数， 又由，可得，则， 所以不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3、已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____． 【答案】； 【详解】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数 所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为 4、若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，， 故， 令，故在上单调递减， 其中定义域为， 又在上为奇函数， 故， 所以在上为偶函数， 当，即时， ， 即，， 故， 又，故， 解得或， 与求交集得到空集； 当即时， ， 即，， 故， 又，故，解得或， 与取交集得. 故选：B 5、已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____． 【答案】 【详解】由x﹣3≤f(x)≤x等价为﹣3≤f(x)﹣x≤0 设g（x）＝f(x)﹣x， 又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f(x)， 则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f(x)+x＝﹣[f(x)﹣x]＝﹣g（x）， 即函数g（x）为R上的奇函数， 则有g（0）＝0； 又由对任意0≤x1＜x2时，有1， 则1， ∵1， ∴1＜0， 即g（x）在[0，+∞）上为减函数， ∵g（x）是奇函数， ∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数， ∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3； g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0， 则﹣3≤f(x)﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0）， ∵g（x）是减函数， ∴0≤x≤2， 即不等式x﹣3≤f(x)≤x的解集为[0，2]； 故答案为[0，2]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 构造函数 知识梳理 1、单调性差商的形式 差商是单调性定义的分式形态.对 同属区间 ： 等价的乘积写法： 单调递增， 单调递减，即分子分母同号为增、异号为减.把 换成题设给出的任何一个组合式，读出的就是该组合式的增减方向. 2、奇偶性运算的性质 在关于原点对称的公共定义域上： 运算 奇偶性相同 奇偶性不同 与 同（同奇或同偶） 一般既非奇也非偶 偶函数 奇函数 （） 偶函数 奇函数 常数 按偶函数计算，故 与 的奇偶性相同. 7、式子结构与构造方法的对应（结构模型表） 条件式的结构特征 构造的 所依据的恒等式或等价变形 新函数 的奇偶性 分子是 型线性组合 不构造，直接代换化简 奇：；偶： 与 相同（化为 后） 分子含同下标差 奇则偶， 偶则奇 条件含 奇则偶， 偶则奇 分子含交叉差 ，或分母已带 奇则偶， 偶则奇 条件含 ；或 与 对置 奇则偶， 偶则奇 差商右端为非零常数 ；目标式中 与 对置 奇则奇（修正项 为奇） 差商右端为 ；目标式中 与 对置 以 为偶函数为常见前提，此时 为偶 题型一　直接化简求解 方法：分子是 型线性组合 → 不构造，用代换公式把 整体换成 ，化为 型分区间解 → 由奇偶性代换公式与分式同号、分母不为零的等价变形定号. 易错：分母为零的点（如 、）要单独挖去，不并进解集. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 .记 ，求不等式 的解集. 解： 为奇函数，故 ，分子按代换公式并项：，于是 ，其定义域为 . 由差商条件 及差商读法， 在 上单调递增，又 ，故 时 ， 时 ；由奇函数零点成对得 ，且 ，再由 得 时 ， 时 . 与 异号时分式非正、同号时为正， 处分母为零无定义，逐段定号： 上为正， 处为零， 上为负， 上为正， 处为零， 上为负， 处为零， 上为正. 故解集为 . 1、已知定义在上的函数满足： ①； ②对任意的都有； ③对任意的且时，总有. 记，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2、设定义在上的奇函数f(x)满足，对任意且，都有且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 3、设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 题型二　作积构造 g(x)=x·f(x) 方法：条件能整理出同下标差 （含 形态）→ 通分构造 ，约去恒正的 → 由单调性定义读增减， 奇则 为偶函数，两侧增减相反. 易错： 必须同属一个区间且任意取，否则读不出单调性. 例、已知 是定义在 上的奇函数，，且对任意 、，都有 .求不等式 的解集. 解：先把分子通分，取公分母 得 ；在 上 ，同乘正数不改符号，条件化为 ，其中 ，由单调性定义知 在 上单调递增. 为奇函数时 ，故 为偶函数，在 上单调递减（偶函数两侧相反）. 由 得 ，又 . 作代换 ，原不等式即 ：当 时由递增得 ；当 时由递减得 ； 时 ，不满足. 由 得 ，由 得 ，故解集为 . 1、已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2、已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 3、函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 题型三　作商构造 方法：分子是交叉差 、或分母已带 → 提取公因式构造 ，约去区间上恒正的 → 由差商读出增减， 为奇且 为奇数，故 为偶函数. 易错：作商先挖去 ，零点与区间端点要单独代回验证，不直接并入解集. 方法：条件给 → 构造 ，同除正数 化为 → 由差商读法定增减， 为奇数，故 为偶. 易错：两边同除 只在 时等价， 必须排除. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 ，求不等式 的解集. 解：分子是下标交叉的差，提出公因式：，这一步是为了凑出 的函数值之差. 在 上 ，同乘正数不改符号，条件化为 ，由差商读法知 在 上单调递增. 为奇函数且 为奇数，，故 为偶函数，在 上单调递减（偶函数两侧相反）. 由 得 ，且 . 解 ： 时两边同除正数 得 ，由 在 上递增得 ； 时两边同除负数 ，不等号反向得 ，由 在 上递减得 ； 时 （奇函数且 在定义域内）， 不成立. 故解集为 . 1、已知是定义在R上的奇函数，当、，且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2、已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 3、已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 4、已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5、已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为________． 6、已知奇函数的定义域为，且有，.若对，，都有，则不等式的解集是_____. 题型四　加减修正构造 g(x)=f(x)−kxⁿ 方法：差商右端是常数 → 把 通分进差商配凑 → ，条件左端即 的差商，按单调性定义读增减， 奇则 为奇. 方法：差商右端为 → 用平方差配凑 → 左端即 的差商，读增减后按对称性去符号. 例、已知 是定义在 上的奇函数，对任意 且 ，都有 ，且 ，求不等式 的解集. 解：差商右端是常数 ，把它通分回分子：，这里 正好是可分离差，故设 ，条件即 的差商小于 ，由单调性定义得 在 上递减. ，故 为奇函数，在 上同样递减（奇同偶异），且 . 由 得 ，由奇性 . 把右端 写成 正是照修正项配形，作代换 ，原式即 ，即 ： 时由递减得 ； 时由递减及 得 ； 时 不满足. 由 得 ，由 得 . 故解集为 . 1、已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 2、定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为________. 3、定义在R上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若，则不等式的解集是_______． 课后作业 1、设定义在上的奇函数满足，对任意，且都有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 2、已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 3、已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____． 4、若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5、已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $