第08讲 函数的单调性与奇偶性（核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦函数的单调性与奇偶性核心知识，系统梳理单调性的定义（局部区间性质、任意性）、证明五步模板（取值、作差、变形、定号、下结论）及最值规律（闭区间连续函数有最值），衔接奇偶性的定义域对称前提、图像性质（偶对称y轴、奇对称原点）及综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以6个易错辨析（如特殊值判单调性、单调区间滥用并集）培养学生严谨的数学思维，12个题型的典例及变式训练（如定义法证明单调性、由奇偶性求解析式）提升数学语言表达能力，结构化知识呈现（如奇偶性口诀）发展数学眼光中的抽象能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固查漏。

第08讲 函数的单调性与奇偶性 （核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【题型一】定义法判断或证明函数的单调性 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【题型二】根据函数的单调性求参数值 【题型八】函数奇偶性的判断 【题型三】利用函数单调性求最值或值域 【题型九】由奇偶性求函数解析式 【题型四】根据解析式直接判断函数的单调性 【题型十】函数奇偶性的应用 【题型五】函数不等式恒成立问题 【题型十一】由奇偶性求参数 【题型六】分段函数的值域或最值 【题型十二】由函数奇偶性解不等式 【知识点01】函数的单调性 设函数的定义域为，区间。 单调递增：若对内任意，当时，恒有，则在上单调递增。 单调递减：若对内任意，当时，恒有，则在上单调递减。 核心要点 1. 单调性是局部区间性质，必须指明单调区间，不能笼统描述函数单调； 2. 判定必须满足任意性，不可用个别特殊值代替区间所有自变量； 3. 不连续的多个单调区间不能取并集，需用逗号分隔书写。 【知识点02】单调性定义法证明通用步骤 通用五步满分模板：取值→作差→变形→定号→下结论 1. 取值：任取，且； 2. 作差：构造差值； 3. 变形：通过因式分解、配方、通分等方式，拆解为易判断正负的因式乘积/和差形式； 4. 定号：结合自变量范围，判断的正负； 5. 结论：差值为正单调递减，差值为负单调递增。 【知识点03】函数的最大值与最小值 （1）最大值定义 设函数定义域为，若存在常数，满足： ① 对任意，都有； ② 存在，使得； 则称为函数的最大值。 （2）最小值定义 设函数定义域为，若存在常数，满足： ① 对任意，都有； ② 存在，使得； 则称为函数的最小值。 （3）最值核心规律 1. 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值； 2. 开区间内的连续函数不一定存在最值； 3. 区间上的单调函数，最值恒在区间端点处取得。 【知识点04】函数的奇偶性 （1）判定前提条件 函数具备奇偶性的充要前提：定义域关于原点对称。定义域不对称，直接判定为非奇非偶函数。 （2）偶函数 定义：定义域内任意，都有，则为偶函数。 图像性质：关于轴对称；单调性：对称区间上单调性相反。 （3）奇函数 定义：定义域内任意，都有，则为奇函数。 图像性质：关于原点中心对称；单调性：对称区间上单调性一致。 重要结论：若奇函数在处有定义，则必有。 （4）函数奇偶性分类 奇函数、偶函数、既奇又偶函数（仅且定义域对称）、非奇非偶函数。 【知识点05】单调性与奇偶性综合性质 1. 奇函数在关于原点对称的区间上，增减性完全一致； 2. 偶函数在关于原点对称的区间上，增减性完全相反； 3. 利用奇偶性可将负区间问题转化为正区间求解，简化不等式、最值、大小比较题型。 易错点1：特殊值判定单调性 错误认知：取两组特殊值满足增减关系，即可判定函数单调。 正确解析：单调性针对区间内所有自变量，有限个特殊值无法证明整体单调性，必须用定义法证明。 易错点2：单调区间滥用并集符号 错误认知：将多个不连续单调区间用连接。 正确解析：函数间断区间、不连续区间不可取并集，必须单独书写，用逗号分隔。 易错点3：忽略奇偶性定义域前提 错误认知：直接化简判断奇偶性。 正确解析：判断奇偶性先看定义域，定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶，无需化简解析式。 易错点4：盲目使用奇函数 错误认知：所有奇函数都满足。 正确解析：仅当属于函数定义域时，成立；定义域不含0的奇函数，该结论无效。 易错点5：奇偶函数单调性记忆混淆 错误认知：奇偶函数对称区间单调性均相同。 正确解析：奇函数对称区间同增同减，偶函数对称区间增减相反。 易错点6：最值概念理解误区 错误认知：函数最值一定在区间端点取得，开区间也存在最值。 正确解析：最值可在端点、极值点取得；开区间内连续函数无最值，只有值域范围。 【题型一】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【变式1-1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【题型二】根据函数的单调性求参数值 【典例2-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·安徽·期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【题型三】利用函数单调性求最值或值域 【典例3-1】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的值域为________． 【变式3-3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【题型四】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例4-1】（25-26高一上·北京·期中）给定函数①；②；③；④中，其中在区间上单调递增的函数序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】函数中，有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式4-3】（2025高一上·福建龙岩·专题练习）函数的单调递增区间是__________. 【题型五】函数不等式恒成立问题 【典例5-1】（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最小值为 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型六】分段函数的值域或最值 【典例6-1】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数，则函数的值域为____________. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值. 【题型八】函数奇偶性的判断 【典例8-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）下列函数是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·云南迪庆·期中）设函数， (1)用单调性的定义证明在上单调递增； (2)令，判断的奇偶性，并证明． 【题型九】由奇偶性求函数解析式 【典例9-1】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，_____． 【变式9-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【题型十】函数奇偶性的应用 【典例10-1】（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 【变式10-2】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知偶函数的定义域为，在上单调递减，求，，的大小关系 【题型十一】由奇偶性求参数 【典例11-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式11-1】（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【变式11-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【变式11-3】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【题型十二】由函数奇偶性解不等式 【典例12-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高一上·山东滨州·期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【变式12-3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 1. 单调性核心总结 单调性是区间局部性质，证明必用“任意取值”；单调区间不连续不合并；单调函数最值在端点。定义法五步解题模板是考试必考基础。 2. 函数最值核心规律 闭区间连续函数必有最值，开区间无最值；最值包含端点值与极值点，不可片面判断。 3. 奇偶性核心口诀 判奇偶，先看域，对称方可再求值； 偶对称y，奇对称原点； 奇同单调，偶反单调； 奇函数含0必有。 4. 考场解题核心原则 先判定义域，再判奇偶性；单调性证明不取特殊值；区间书写规范不合并；综合题型优先利用奇偶性转化区间，简化运算。 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 5．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 三、填空题 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 7．（25-26高一上·云南·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是________. 四、解答题 8．已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求在区间上的最大值． 9．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 10．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 函数的单调性与奇偶性 （核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【题型一】定义法判断或证明函数的单调性 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【题型二】根据函数的单调性求参数值 【题型八】函数奇偶性的判断 【题型三】利用函数单调性求最值或值域 【题型九】由奇偶性求函数解析式 【题型四】根据解析式直接判断函数的单调性 【题型十】函数奇偶性的应用 【题型五】函数不等式恒成立问题 【题型十一】由奇偶性求参数 【题型六】分段函数的值域或最值 【题型十二】由函数奇偶性解不等式 【知识点01】函数的单调性 设函数的定义域为，区间。 单调递增：若对内任意，当时，恒有，则在上单调递增。 单调递减：若对内任意，当时，恒有，则在上单调递减。 核心要点 1. 单调性是局部区间性质，必须指明单调区间，不能笼统描述函数单调； 2. 判定必须满足任意性，不可用个别特殊值代替区间所有自变量； 3. 不连续的多个单调区间不能取并集，需用逗号分隔书写。 【知识点02】单调性定义法证明通用步骤 通用五步满分模板：取值→作差→变形→定号→下结论 1. 取值：任取，且； 2. 作差：构造差值； 3. 变形：通过因式分解、配方、通分等方式，拆解为易判断正负的因式乘积/和差形式； 4. 定号：结合自变量范围，判断的正负； 5. 结论：差值为正单调递减，差值为负单调递增。 【知识点03】函数的最大值与最小值 （1）最大值定义 设函数定义域为，若存在常数，满足： ① 对任意，都有； ② 存在，使得； 则称为函数的最大值。 （2）最小值定义 设函数定义域为，若存在常数，满足： ① 对任意，都有； ② 存在，使得； 则称为函数的最小值。 （3）最值核心规律 1. 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值； 2. 开区间内的连续函数不一定存在最值； 3. 区间上的单调函数，最值恒在区间端点处取得。 【知识点04】函数的奇偶性 （1）判定前提条件 函数具备奇偶性的充要前提：定义域关于原点对称。定义域不对称，直接判定为非奇非偶函数。 （2）偶函数 定义：定义域内任意，都有，则为偶函数。 图像性质：关于轴对称；单调性：对称区间上单调性相反。 （3）奇函数 定义：定义域内任意，都有，则为奇函数。 图像性质：关于原点中心对称；单调性：对称区间上单调性一致。 重要结论：若奇函数在处有定义，则必有。 （4）函数奇偶性分类 奇函数、偶函数、既奇又偶函数（仅且定义域对称）、非奇非偶函数。 【知识点05】单调性与奇偶性综合性质 1. 奇函数在关于原点对称的区间上，增减性完全一致； 2. 偶函数在关于原点对称的区间上，增减性完全相反； 3. 利用奇偶性可将负区间问题转化为正区间求解，简化不等式、最值、大小比较题型。 易错点1：特殊值判定单调性 错误认知：取两组特殊值满足增减关系，即可判定函数单调。 正确解析：单调性针对区间内所有自变量，有限个特殊值无法证明整体单调性，必须用定义法证明。 易错点2：单调区间滥用并集符号 错误认知：将多个不连续单调区间用连接。 正确解析：函数间断区间、不连续区间不可取并集，必须单独书写，用逗号分隔。 易错点3：忽略奇偶性定义域前提 错误认知：直接化简判断奇偶性。 正确解析：判断奇偶性先看定义域，定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶，无需化简解析式。 易错点4：盲目使用奇函数 错误认知：所有奇函数都满足。 正确解析：仅当属于函数定义域时，成立；定义域不含0的奇函数，该结论无效。 易错点5：奇偶函数单调性记忆混淆 错误认知：奇偶函数对称区间单调性均相同。 正确解析：奇函数对称区间同增同减，偶函数对称区间增减相反。 易错点6：最值概念理解误区 错误认知：函数最值一定在区间端点取得，开区间也存在最值。 正确解析：最值可在端点、极值点取得；开区间内连续函数无最值，只有值域范围。 【题型一】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【答案】C 【分析】根据单调性的定义和性质逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性， 所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误； 对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确， 对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性. 例如在和上递增，但，故D错误． 故选：C. 【变式1-1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由函数单调性定义得在上单调递减；B选项，变形得到，故，在上单调递增；C选项，变形得到，在上单调递增，D选项，易得或，不是单调函数. 【详解】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误. 故选：ABC. 【变式1-3】求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 【题型二】根据函数的单调性求参数值 【典例2-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式2-1】（25-26高一上·安徽·期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以或， 所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 【题型三】利用函数单调性求最值或值域 【典例3-1】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的值域为________． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) 设任意的且， 则 . 因为，所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （2）结合函数的单调性，求出函数的最值. 【详解】（1）略 （2）因为在区间上单调递减， 所以，. 【题型四】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例4-1】（25-26高一上·北京·期中）给定函数①；②；③；④中，其中在区间上单调递增的函数序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性判断即可. 【详解】①函数的对称轴为，开口向下， 则函数在上单调递减； ②函数在上单调递减； ③函数， 则函数在上单调递增； ④函数在上单调递减. 故选：C 【变式4-1】函数中，有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】确定函数的定义域，结合反比例函数的性质，即可判断出答案. 【详解】由题意知函数的定义域为， 该函数图象可由的图象向左平移一个单位得到， 而在上均单调递减，    故在上均单调递减， 结合选项可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 【变式4-3】（2025高一上·福建龙岩·专题练习）函数的单调递增区间是__________. 【答案】和 【分析】按的正负分类讨论，当时为双勾函数，时为渐升函数，根据函数的性质即可得出答案. 【详解】当时，，为双勾函数，此时单调增区间为； 当时，，为增函数，单调增区间为， 故答案为：和. 【题型五】函数不等式恒成立问题 【典例5-1】（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】令，去绝对值，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 由题意可知，对任意的恒成立， 当时，， 则函数在上为减函数，则； 当时，， 则； 当时，， 则函数在上为增函数，. 综上所述，函数在上的最小值为，故. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由时，转化为恒成立，显然不成立；得到，然后令，再同一坐标系中作出其大致图象，得到逐项判断. 【详解】当时，对任意的，不等式恒成立等价于对任意的， 不等式恒成立，显然不成立；则，故B正确； 令，再同一坐标系中作出其大致图象，如图所示： 则，解得，故A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，故C正确； ，因为，所以取不到，故D错误； 故选：BC 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，， 所以， 所以成立； (2) 【分析】（1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. 【详解】（1）略 （2），不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 【题型六】分段函数的值域或最值 【典例6-1】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质，分别求出和时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当时，，当，， 所以， 当时，，单调递增， 所以，即， 综上，的值域为. 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·江西吉安·期中）若函数，则的最小值和最大值分别为 （   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】结合一次函数的单调性分别求解两段函数的值域，求并集即可求得的值域，即可得解. 【详解】当时，；当时，. 综合得函数的值域为，故. 故选：C 【变式6-2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数，则函数的值域为____________. 【答案】 【分析】分段求解，结合二次函数的性质求出取值的范围即可. 【详解】当时，，对称轴为， 当时，取最小值0；当时，取最大值1， 所以； 当或时，， 综上，，则函数的值域为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为2，最小值为 【分析】作出图象，数形结合即可求解． 【详解】作出函数的图象如图所示． 由图象可知，当时，取最大值为2； 当时，取最小值为. 所以的最大值为2，最小值为. 【题型七】根据分段函数的单调性求参数 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值. 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用分段函数单调性，结合二次函数、反比例函数单调性列式求解. 【详解】由函数在R上单调递减，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：BCD. 【变式7-3】（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)当时，的最小值为；当时，的最小值为 【分析】（1）先分析各段函数的单调性，然后结合分段点处函数值大小关系列出不等式组求解出结果； （2）二次函数的对称轴，根据与的大小关系进行分类讨论，由此确定出的单调性，即可求解出最小值. 【详解】（1）当时，，是单调递增函数； 当时，的对称轴为，所以在上单调递增， 若函数为上的增函数，只需，解得. （2）当时，函数，对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为. 【题型八】函数奇偶性的判断 【典例8-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 【变式8-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 【变式8-2】（多选）下列函数是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用奇函数的定义，对各选项逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，对于，， 即，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，因为的定义域为，关于原点对称， 又，故是奇函数，故C正确； 对于D，因为的定义域为，关于原点对称， 又，故是奇函数，故D正确； 故选：CD. 【变式8-3】（25-26高一上·云南迪庆·期中）设函数， (1)用单调性的定义证明在上单调递增； (2)令，判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1) 设，且 ． 由， 得，即． 所以在上单调递增． (2)为奇函数， 因为，所以的定义域为， ，都有， 所以为奇函数 【分析】（1）利用单调函数的定义，即可证明； （2）由条件可知，再根据函数奇偶性的定义，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【题型九】由奇偶性求函数解析式 【典例9-1】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B 【变式9-1】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 【变式9-2】（25-26高一上·山东·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，_____． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性求解析式即可． 【详解】是偶函数，当时，， 则时，， ， 所以时，， 故答案为：． 【变式9-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解解析式即可； （2）按照、和分类讨论，利用二次函数性质求解值域，最后再求并集即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 设，则，所以，所以， 综上：， （2）当时，在单调递增， 在上单调递减，又，，所以此时； 当时，； 当时，在单调递减， 在上单调递增，又，，所以此时； 所以的值域为． 【题型十】函数奇偶性的应用 【典例10-1】（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 【变式10-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 【答案】A 【分析】法一：结合函数的奇偶性结合赋值法令得计算求解；法二：应用方程组结合函数奇偶性得出计算求值. 【详解】法一：因分别是定义在上的偶函数和奇函数， ，有， 所以. 法二：因分别是定义在上的偶函数和奇函数， 且， 令，则， 令，则， 则， 又， 解得. 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知偶函数的定义域为，在上单调递减，求，，的大小关系 【答案】 【分析】由函数的奇偶性及单调性即可直接判断. 【详解】因为在上单调递减， 所以有. 又因为是上的偶函数， 所以，， 从而有. 【题型十一】由奇偶性求参数 【典例11-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 【变式11-1】（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】方法一：根据偶函数的定义求解即可；方法二：根据多项式的奇次项系数为0即可求解. 【详解】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 【变式11-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 【变式11-3】（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明:任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 【题型十二】由函数奇偶性解不等式 【典例12-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，可得函数在上的单调性，再结合函数的单调性解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减，且 又， 所以， 解得或， 即. 【变式12-1】（25-26高一上·山东滨州·期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的图象关于原点对称可作出的大致图象，由图可得答案. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且， 又奇函数的图象关于原点对称， 则的大致图象如图所示：    由图知的解集为. 故选：A. 【变式12-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得到在上单调递减及，从而得到的取值情况，即可求出不等式的解集. 【详解】因为是上的奇函数，且，则， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 则当或时，当或时； 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式12-3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得，则不等式的解集为． 1. 单调性核心总结 单调性是区间局部性质，证明必用“任意取值”；单调区间不连续不合并；单调函数最值在端点。定义法五步解题模板是考试必考基础。 2. 函数最值核心规律 闭区间连续函数必有最值，开区间无最值；最值包含端点值与极值点，不可片面判断。 3. 奇偶性核心口诀 判奇偶，先看域，对称方可再求值； 偶对称y，奇对称原点； 奇同单调，偶反单调； 奇函数含0必有。 4. 考场解题核心原则 先判定义域，再判奇偶性；单调性证明不取特殊值；区间书写规范不合并；综合题型优先利用奇偶性转化区间，简化运算。 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 二、多选题 4．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 5．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 7．（25-26高一上·云南·期中）已知是定义域为的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】先得到在上的单调性，再由单调性解不等式. 【详解】根据题意可得在上是减函数，且，则由，得， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题 8．已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)若，在区间上的最大值为；若，在区间上的最大值为；若，在区间上的最大值为. 【分析】（1）分和两种情况，结合分段函数单调性分析求解； （2）分类讨论在区间上的单调性，结合单调性求最值. 【详解】（1）因为在R上单调递增，则有： 若，则， 因为在定义域内单调递增， 且，所以符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围. （2）因为，则， （i）若，可知在上单调递增，最大值为； （ⅱ）若，则开口向上，对称轴， 可知在上单调递增，最大值为； （ⅲ）若，则开口向下，对称轴， ①当，即时，可知在上单调递减，最大值为； ②当，即时，可知在上单调递增，最大值为； ③当，即时，可知在上单调递增，在上单调递减， 所以最大值为； 综上所述：若，在区间上的最大值为； 若，在区间上的最大值为； 若，在区间上的最大值为. 9．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 10．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $