精品解析：四川省德阳市第五中学2026-2027学年九年级上学期10月数学定时作业

德阳五中2026年10月九年级数学定时作业 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数是2 B. 一次项系数是 C. 是它的一个根 D. 常数项是 【答案】B 【解析】 【分析】把原方程化为一般式可判断A、B、D，再把代入原方程，看左右两边是否相等可判断C． 【详解】解：将方程化为一般形式为． ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为， 将代入原方程，左边，右边，左边右边， ∴是方程的根， ∴四个选项中，只有B选项说法错误，符合题意． 2. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式判断根的情况． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 【详解】把方程x2﹣4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到：x2﹣4x=﹣1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：x2﹣4x+4=﹣1+4 配方得：（x﹣2）2=3． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而增大． 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，. 对称轴为直线，顶点坐标为，故A、B错误. 将抛物线向右平移2个单位长度，得，与题中函数不符，故C错误. ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D正确. 5. 如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 6. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 7. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 解得，， ． 9. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合的能力；抛物线的顶点为，所以c的变化会使得抛物线沿着y轴上下移动，结合图象找到临界状态即可确定c的范围． 【详解】解：如图所示，由题意得，， 当抛物线经过C点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得， 当抛物线经过A点时，抛物线与矩形边界只有一个公共点， 将代入得，解得， 由图象得：当时，抛物线与矩形边界会有两个公共点， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 12. 某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据互发短信的规则计算总短信数量，列出符合题意的方程． 【详解】解：设参加培训的有人， ∵每人不需要给自己发短信，且每两人之间互发一条短信， ∴每个人需要给其余人各发条短信，总短信条数为条， 结合总发送短信共条，可得方程． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割比例得到，据此求出的长，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先得出抛物线解析式为，设，则，根据题意得出，代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 依题意，的纵坐标为， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，求得二次函数解析式是解题的关键． 三、解答题 16. 解答下列各题： （1） （2） （3）化简求值：，其中x满足． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 化简结果为，值为． 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ 或 ， 解得 ； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： ， 由得， ∴原式． 17. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）在抛物线中，若，求y的取值范围； （3）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）首先由图象求出y的最大值为4，然后分别将和代入表达式求解比较得到y的最小值为，进而求解即可； （3）根据平行线的性质求出，设平移后的抛物线为，将代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴当时，，即； 当时，， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，当时，y取得最大值4； 当时，；当时，； ∴y的最小值为； ∴若，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 设平移后的抛物线为， 将代入得，， 解得， 平移后抛物线的解析式为． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）的取值范围是且 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根可得出且求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，然后代入，得出关于m的一元二次方程，求解并舍去不符合的值即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ 即， 整理得：， 解得，， 由（1）知且，故不符合舍去， 即． 19. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，的面积等于？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒 （2）点P，Q之间的距离不可能为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，利用三角形面积公式，两点之间的距离公式，分类讨论思想以及找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设点P，Q移动的时间为x秒．由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可； （2）由于P，Q之间的距离是否可以为，根据勾股定理列出方程求解即可. 【小问1详解】 解：设点P，Q移动的时间为x秒，则， ∵ ，， ∴． ∵的面积等于， ． 解得：，． 经检验，，均符合题意． 故经过2秒或4秒，的面积等于． 【小问2详解】 解：∵， ． 即． ． ∵， ∴方程无实数根． 故点P，Q之间的距离不可能为． 20. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）直接写出的解集； （3）点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，二次函数的解析式为； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 通过点，，然后直接由图象即可求解； 由得，，所以，，则的面积为，设，然后由题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象过， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴点， ∵一次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得点，又， ∴当时，由图象可知或， 即的解集为或； 【小问3详解】 解：由，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积为， 设，如图， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得或， ∴点的坐标为或． 21. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． 设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？（用含的代数式表示） 若在的基础上，为了尽可能让利于摊主，当为何值时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】（1）人行过道的宽是米； （2）该夜市可以租出个摊位；，该夜市的月租金总收入为元． 【解析】 【分析】设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程即可； 根据每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位，得出该夜市可以租出个摊位； 由题意得月租金为元，则总月租金为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 根据题意得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴不符合题意，舍去， 答：人行过道的宽是米； 【小问2详解】 解：∵每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位， ∴当每个摊位的月租金上涨元时，该夜市可以租出个摊位； 由题意得月租金为元，则总月租金为， ∴ 整理得， 解得，， ∵尽可能让利于摊主， ∴舍去， ∴，该夜市的月租金总收入为元． 22. 已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的解析式； （2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标； （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点． ①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式； ②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=(x-1)2，m=1；（2）Q(，0)；（3）①h=-a2+3a（0＜a＜3）②存在，P的坐标是(2，0)，(，0)，(，0) 【解析】 【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，便可求出抛物线的解析式和m的值； （2）使△QAB的周长最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B点关于x轴的对称点B′，当A、Q、B′三点在一条直线上时，△QAB的周长最小； （3）①根据P点坐标分别求出DE两点坐标，便可求出h与a之间的函数关系式； ②存在，根据DE=MN=2列方程求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2， ∵点A(3，4)在抛物线上，则4=a(3-1)2， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=(x-1)2， ∵点A(3，4)也在直线y=x+m，即4=3+m， 解得m=1； （2）直线y=x+1与y轴的交点B的坐标为B(0，1)， B点关于x轴的对称点B′点的坐标为B′(0，-1)， 设直线AB′的解析式为y=kx+b， 将A、B′两点坐标代入y=kx+b，得 ， 解得k=，b=-1， ∴直线AB′的解析式为y=x-1， 当A、Q、B′三点在一条直线上时， AQ+BQ的值最小，即△QAB的周长最小， Q点即为直线AB′与x轴的交点， 当y=0时，0=x-1， 解得x=， Q点坐标为Q(，0)； （3）①已知P点坐标为P(a，0)，则E点坐标为E(a，a2-2a+1)，D点坐标为D(a，a+1)， h=DE=yD-yE=a+1-(a2-2a+1)=-a2+3a， ∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a（0＜a＜3）； ②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 理由是∵M(1，0)， ∴把x=1代入y=x+1得：y=2， 即N(1，2)， ∴MN=2， 要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2， 由①知DE=|-a2+3a|， ∴2=|-a2+3a|， 解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=， ∴(2，0)，(1，0)（因为和M重合，舍去），(，0)，(，0) ∴P的坐标是2，0)，(，0)，(，0)． 【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法，二次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中2026年10月九年级数学定时作业 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数是2 B. 一次项系数是 C. 是它的一个根 D. 常数项是 2. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A. B. C. D. 4. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而增大． 5. 如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 12. 某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 14. 已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______． 三、解答题 16. 解答下列各题： （1） （2） （3）化简求值：，其中x满足． 17. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）在抛物线中，若，求y的取值范围； （3）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 19. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发， （1）经过几秒，的面积等于？ （2）点P，Q之间的距离是否可以为？请说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）直接写出的解集； （3）点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 21. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． 设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？（用含的代数式表示） 若在的基础上，为了尽可能让利于摊主，当为何值时，该夜市的月租金总收入为元？ 22. 已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的解析式； （2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标； （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点． ①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式； ②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $