精品解析：　四川成都市金牛区成都外国语学校（创新班）2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

成都外国语学校初三创新班10月月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 10 6. 如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是的直径，弦于点E，连接，．若的半径为m，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，将矩形沿直线（点E在边上，点F在边上）折叠，点A的对应点D恰好是边的中点，点C的对应点P落在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 当A，B之间距离为时， B. 若该抛物线与直线有交点，则 C. 给定正实数a，若（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个 D. 点，，在抛物线上，且，则a的取值范围为或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 13. 如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 14. 已知关于的方程有两根，，若，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成作答： （1）计算：． （2）计算：． （3）设，是方程的两个根，且，求常数的值． 16. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 18. 如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． （1）求抛物线解析式； （2）在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校初三创新班10月月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将所求代数式拆分为含与的两部分，结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 2. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 3. 如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 光线平行且直径与光线垂直， 的长度等于平行光线与之间的距离，即， 在中，，，， ， ． 4. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 5. 如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 6. 如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可知是的直径．设与边的切点为F，连接并延长交于G点，由切线的性质可知，进而可得，由垂径定理可得．设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程可求得，则可得，再根据勾股定理可求得，则可得，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵， ∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 8. 已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点分别为，过点作轴于点，根据切线长定理得出平分，进而可得，设，得出，根据点在抛物线上，，联立解方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，设与y轴，直线的切点分别为，过点作轴于点， 设， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵是的切线， ∴平分 ∴ 设， ∴ ∴， ∴ ∵点在抛物线上， ∴． 联立得：， 整理得， 即． ∵， ∴， 即的半径为． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是的直径，弦于点E，连接，．若的半径为m，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用垂径定理和直角三角形三角函数定义推导逐一判断对错即可． 【详解】解：是的直径，弦于点E， ， 在中，，， ， ，故选项A不正确； ， ， ，故选项B正确； ， ， ， ，故选项C正确； ，， ，故选项D不正确； 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，将矩形沿直线（点E在边上，点F在边上）折叠，点A的对应点D恰好是边的中点，点C的对应点P落在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】作轴于，连接，由题意可得，，，，由矩形的性质可得，，结合题意，，设，则，由勾股定理得出，，证明，求出，，从而得出，，，； 由反比例函数的性质求出；设，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作轴于，连接， 由题意可得：，，，， ∵矩形的顶点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵点A的对应点D恰好是边的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，，故A正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，故C错误，不符合题意； ∵点P落在反比例函数的图象上， ∴，故D正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，故B错误，不符合题意； 故选：AD． 【点睛】本题考查了反比例函数综合、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11. 在坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 当A，B之间距离为时， B. 若该抛物线与直线有交点，则 C. 给定正实数a，若（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个 D. 点，，在抛物线上，且，则a的取值范围为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将抛物线解析式配方得到对称轴与顶点坐标，再结合根与系数的关系、二次函数的性质逐一分析选项. 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A： 设，，由根与系数的关系得，， ∴， 当时，，平方得，解得， 此时，符合题意，故A正确； 选项B： 抛物线与直线有交点，即方程有实根，整理得， 当时，判别式，解得或，故B错误； 选项C： 方程的根为整数， ∴由根与系数的关系得两根之和为，即两根关于对称， 结合且（开口向上），整数根的可能组合为： 当和时，， 当和时，对应， 当（两等根）时，对应， 或时，代入得，不符合； 因此满足条件的的值只有3个，故C正确； 选项D： 将三点代入解析式得： ，，， 由得， 整理得， 零点为，，， 当时，，，，，不合题意； 当时，，，，满足，符合题意； 当时，，，，，不合题意； 当时，，，，满足，符合题意； 综上所述，或，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ，  ，  ∵，  ，  ，  ∵， ，，  ，  ． 13. 如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证得，根据相似三角形的性质得出，，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点在第二象限， ． 14. 已知关于的方程有两根，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上，方程的两根分别在区间和内，根据二次函数图像性质可得区间端点函数值的符号，列不等式组求解即可． 【详解】解：设， ∵二次项系数为，函数开口向上，方程两根满足， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 对三个结果取交集，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 按要求完成作答： （1）计算：． （2）计算：． （3）设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，符合题意， ∴常数的值为． 16. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 18. 如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M的坐标是或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【小问1详解】 解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． 【小问3详解】 解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 19. 已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． （1）求抛物线解析式； （2）在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在，点F的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）连接，首先确定该抛物线对称轴为，进而确定，；由对称性可得，，进而可得，再证明，易得为等腰直角三角形，可得，；证明为等腰三角形，可得，进而确定点坐标；根据对称性，确定当点在轴下方时的坐标，即可获得答案； （3）设，过点作于点，过点作于点，分点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方、点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方、点在该抛物线的对称轴的左侧三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 当时，可得，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， 将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 存在， 当点在轴上方时，如下图，连接， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由对称性可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，当点在轴下方时，可得 综上所述，点F的坐标为或； 【小问3详解】 设，过点作于点，过点作于点，则， 分三种情况讨论， 情况1，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况2，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况3，当点在该抛物线的对称轴的左侧时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴此种情况下，符合题意的点不存在． ∵， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $