2.5.2 圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学 · 公开课 圆 与 圆 的 位 置 关 系 —— 两个圆的故事，一个『圆心距』讲完 C1 C2 公共弦 授课教师：____________ 班级：高二（ ）班 一、情境导入 · 生活里的两圆 两个圆凑到一起，会发生什么？ 02 高二数学 · 圆与圆的位置关系 日全食 月轮遮住日轮 → 内含/内切 齿轮咬合 两轮紧紧相抵 → 外切 水面涟漪 两圈水波交叠 → 相交 同心圆环 大环套小环 → 内含 它们都是两个圆的故事。想一想：用什么数，能说清两个圆的远近？ 本节课的学习路线 四站打卡，一节课走完 03 高二数学 · 圆与圆的位置关系 01 温故知新 圆的方程 · 两点间距离 02 探究新知 五种位置关系 · 动态演示 03 方法应用 公共弦 · 公切线 · 弦长 04 综合提升 含参最值 · 易错警示 一、温故知新 · 三件旧工具 今天全靠它们拼出新知识 04 高二数学 · 圆与圆的位置关系 工具① 圆的方程 标准式　(x - a)2 + (y - b)2 = r2 一般式要先配方，才能读出圆心和半径！ 工具② 两点间距离公式 两点连线一量，圆心距 d 就到手。 热身小练　圆 x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 的圆心与半径分别是多少？ C(2, -1)　r = 3 （参考答案） 工具③ 点到直线的距离公式 待会儿求『公共弦长』时，它要唱主角。 二、探究新知 · 五种位置关系 先看图——数一数公共点有几个 05 高二数学 · 圆与圆的位置关系 外离 0 个公共点 外切 1 个公共点 相交 2 个公共点 内切 1 个公共点 内含 0 个公共点 公共点的个数：2 个 → 相交；1 个 → 相切；0 个 → 外离或内含。 相切分外切与内切；外离与内含都是 0 个——要区分，得靠『圆心距』。 二、探究新知 · 判定准则 两把尺子：半径之和 与 半径之差 06 高二数学 · 圆与圆的位置关系 外离 d > r1 + r2 0 点 外切 d = r1 + r2 1 点 相交 |r1 - r2| < d < r1 + r2 2 点 内切 d = |r1 - r2| 1 点 内含 0 ≤ d < |r1 - r2| 0 点 把 d 放到数轴上看一看 内含 相交 外离 |r1 - r2| r1 + r2 d 落在两个刻度之间 → 相交； 正好压在刻度上 → 外切或内切。 口诀　先算和与差，d 往中间放：差内含、等差切、中间交、等和外切、和外离。 动态演示 · 两圆在靠近 ★ 放映模式下，左边动图自动循环播放 07 高二数学 · 圆与圆的位置关系 看什么？ 公共点的个数在怎么变？ 盯住 d d 从 3.30 一路减小到 0.15 对答案 d 与 r1+r2、|r1-r2| 谁大谁小？ 小贴士：动图会自动循环；想停下来细讲，请翻下一页逐帧点击。 动态演示 · 一键一状态 ★ 连续点击鼠标，看 d 如何决定关系 08 高二数学 · 圆与圆的位置关系 C1 C1 不动，C2 一步步向左靠近 C2 d 外离 d > r1 + r2 0 个公共点 C2 d 外切 d = r1 + r2 1 个公共点（切点） C2 d 相交 |r1 - r2| < d < r1 + r2 2 个公共点 C2 d 内切 d = |r1 - r2| 1 个公共点（切点） C2 d 内含 0 ≤ d < |r1 - r2| 0 个公共点 位置关系由 d 与『和、差』的大小唯一确定。 学以致用 · 例 1（判定位置关系） 求 d，比较和与差，下结论 09 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例1　判断圆 (x + 2)2 + y2 = 4 与圆 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9 的位置关系。 ① 圆心与半径 C1(-2, 0)，r1 = 2；C2(2, 1)，r2 = 3 ② 算圆心距 d ③ 比和与差 因为 1 < 4.1 < 5，所以两圆相交（2 个公共点） 课堂练习 1 判断圆 x2 + y2 = 1 与圆 (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 的位置关系。 （参考答案） 1 < 2.83 < 3 → 相交 三、方法提炼 · 代数法 联立方程组，数一数解的个数 10 高二数学 · 圆与圆的位置关系 思路 把两个圆的一般式方程联立， 两式相减消去 x2 + y2， 得到一条直线，再代回其中一个 圆的方程，看实数解的个数。 两组不同的解 → 相交 一组实数解 → 外切 或 内切 没有实数解 → 外离 或 内含 易错警示　一组实数解可能是外切也可能是内切——别想当然写成外切！ 代数法的独特优势：能顺手把交点（切点）坐标求出来；几何法则算得更快。 学以致用 · 例 2（代数法） 两种方法互相印证 11 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例2　判断圆 x2 + y2 = 1与圆 (x - 2)2 + y2 = 1 的位置关系；若有公共点，求出公共点坐标。 ① 联立相减 两式相减：-4x + 4 = 0，得 x = 1 ② 代回求解 代回 x2 + y2 = 1，得 y = 0 ③ 几何法验证 d = 2 = r1 + r2，唯一解 两圆外切，切点坐标为 (1, 0) 看！代数法连切点都求出来了——看家本领。 课堂练习 2 · 思考辨析 判断对错： ① 方程组只有一组实数解， 两圆一定外切； ② 圆心距 d < r1 + r2， 两圆一定相交。 ① ×　还可能是内切 ② ×　d 还可能小于 |r1 - r2|，此时是内含 四、方法应用 · 公切线的条数 把五种位置再数一遍——这次数线 12 高二数学 · 圆与圆的位置关系 0 内含 条公切线 1 内切 条公切线 2 相交 条公切线 3 外切 条公切线 4 外离 条公切线 口诀　内含无、内切一、相交二、外切三、外离四——从里到外，01234。 学以致用 · 例 3（公切线） 先定位置，再数切线 13 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例3　求两圆 x2 + y2 = 4 与 (x - 4)2 + y2 = 4 的公切线条数。 ① 圆心与半径 C1(0, 0) 与 C2(4, 0)，半径都是 2 ② 算圆心距 d = 4 = 2 + 2 = r1 + r2　→ 外切 两圆外切，公切线共有 3 条 两条外公切线 + 过切点的一条内公切线。 课堂练习 3 求两圆 x2 + y2 = 9 与 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25 公切线的条数。 （参考答案） C2(3, 4)，r = 5，d = 5 2 < 5 < 8 → 相交 公切线 2 条 五、方法应用 · 公共弦所在直线 两个方程一相减，二次项消失 14 高二数学 · 圆与圆的位置关系 C1 C2 公共弦 A、B 是两圆的公共点 第一步 两圆方程联立 公共点 A、B 同时满足两个方程 第二步 两式相减 x2、y2 被消掉，剩下一条直线 第三步 得出结论 这条直线就是公共弦所在的直线 前提　x2、y2 系数必须相同（一般式），否则先化简再相减。 学以致用 · 例 4（公共弦方程） 先证相交，再相减 15 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例4　已知圆 C1：x2 + y2 - 2x - 6y - 1 = 0 与圆 C2：x2 + y2 - 10x - 12y + 45 = 0。 (1) 求证：两圆相交；　(2) 求公共弦所在直线的方程。 ① 配方 ② 验证相交 ③ 两式相减 化简得：4x + 3y - 23 = 0 公共弦所在直线的方程：4x + 3y - 23 = 0 课堂练习 4 求两圆 x2 + y2 = 4 与 (x - 2)2 + y2 = 4 公共弦所在直线的方程。 提示：先化成一般式！ 先化一般式： x2 + y2 - 4x = 0 相减得 x = 1 五、方法应用 · 公共弦有多长 公共弦长 = 圆被直线截得的弦长 16 高二数学 · 圆与圆的位置关系 A B d r 垂径定理 + 勾股定理，还是老配方 三步求公共弦长 ① 相减 相减得公共弦直线方程 ② 求距离 d 圆心到该直线的距离 ③ 套公式 哪个圆来算都行，结果能互相验算！ d 是『圆心到公共弦』的距离！ 学以致用 · 例 5（公共弦长） 接例 4，把弦长算到底 17 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例5　接例 4，求两圆 C1与 C2的公共弦长。 ① 公共弦直线 由例 4：4x + 3y - 23 = 0 ② 求距离 d ③ 套弦长公式 课堂练习 5 接练习 4：求两圆 x2 + y2 = 4 与 (x - 2)2 + y2 = 4 的公共弦长。 （参考答案） 公共弦：x = 1 d = 1 六、综合提升 · 含参数与最值 位置关系 → 圆心距的方程 → 基本不等式 18 高二数学 · 圆与圆的位置关系 ① 定关系 外切？内切？先确定 → ② 列方程 把 d 写成 |a + b| 的形式 → ③ 求最值 (a+b)2 定值 → 基本不等式 核心工具：基本不等式 （当且仅当 a = b 时取等号） 外切给出 (a + b)2 的值 → 乘积 ab 的最大值就锁定了。 别忘了圆心！(x - a)2 的圆心横坐标是 a，(x + b)2 的是 -b，圆心距就是 |a + b|。 先把圆心写对，再谈位置关系，这是含参题的第一步。 学以致用 · 例 6（含参最值） 外切定方程，不等式收尾 19 高二数学 · 圆与圆的位置关系 例6　已知圆 C1：(x - a)2 + (y + 2)2 = 4 与圆 C2：(x + b)2 + (y + 2)2 = 1 相外切， 求 ab 的最大值。 ① 圆心与半径 C1(a, -2)，r1 = 2； C2(-b, -2)，r2 = 1 ② 外切列方程 d = |a + b| = 2 + 1 = 3， 即 (a + b)2 = 9 ③ 基本不等式 ab 最大值 （此时 ） 课堂练习 6 · 变式 把例 6 中的『外切』改为『内切』，求 ab 的最大值。 提示：内切时 d = |r1 - r2| 等于几？ → ab 最大值 七、易错警示 · 这四个坑别踩 红笔圈出来的，都是考场上丢过分的地方 20 高二数学 · 圆与圆的位置关系 相减前没化一般式 x2、y2 系数必须相同才能直接相减；含参数的方程要先整理成一般式。 一组解 = 外切？ 内切也只有一组实数解；下结论前先看 d = r1 + r2 还是 d = |r1 - r2|。 只比和，不比差 判位置要同时比较 r1 + r2 与 |r1 - r2|，否则内切、内含全部漏判。 公共弦长的 d 弦长公式里的 d 是『圆心到公共弦直线的距离』，不是圆心距，别混。 八、课堂小结 一节课，一张图 21 高二数学 · 圆与圆的位置关系 圆与圆的 位置关系 五种关系 外离 · 外切 · 相交 · 内切 · 内含 两把尺子 r1 + r2 与 |r1 - r2|，比出 d 公共弦 公切线 01234，从里数到外 思想方法：几何问题 → 代数运算（数形结合 · 转化与化归） 两式相减 → 公共弦直线 九、课后作业 · 分层选做 基础题人人过关，提高题挑战自我 22 高二数学 · 圆与圆的位置关系 基础（必做） 判断下列两圆的 位置关系： ① x2 + y2 = 1 与 　 (x - 3)2 + y2 = 9 ② x2 + y2 = 9 与 　 (x - 5)2 + y2 = 4 要求：写出 d 与和、差的比较过程 提高（选做） 求两圆 x2 + y2 = 4 与 (x - 2)2 + y2 = 4 的 公共弦长（课上算过 直线），试独立完成； 并数一数公切线条数。 提示：三种问法其实是同一条链 思考（挑战） 圆 C1：x2 + y2 = 1 与 C2：(x - a)2 + y2 = 4 相切，求 a 的值。 想一想：外切和内切 给出的 a 一样吗？ 提示：分类讨论，别漏解 谢谢聆听 两个圆的故事，讲到底 是一个『距离』的故事。 欢迎各位老师批评指正 $