2.5.2 圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 2.5.2 圆与圆的位置关系 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 逻辑推理 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 数学运算 复习回顾 判断直线和圆的位置关系 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 探索新知 圆与圆的位置关系： （1）两圆相交，有两个公共点； （2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； （3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点． 问题：圆与圆存在哪些位置关系？ 探索新知 思考：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 探索新知 追问：你能根据圆心距与半径之间的关系画出圆与圆的位置关系吗？ R O1 r O2 r R O1 O2 r R O1 O2 R O1 O2 r R O1 O2 r R O1 O2 r r R O1 O2 两圆相离(外离) 两圆相切(外切) 两圆相交 两圆相切(内切) 两圆相离(内含) 两圆相离(内含) 探索新知 位置关系 公共点个数 连心线 |O1O2| 长 外离 外切 相交 内切 内含 无 一个 r R O1 O2 r R O1 O2 R O1 O2 r R O1 O2 r R O1 O2 r r R O1 O2 两个 |O1O2| ＞R＋r |O1O2|＝R＋r |R－r |＜|O1O2|＜R＋r |O1O2|＝|R－r| 0 ≤ |O1O2|＜|R－r| (同心圆：|O1O2|＝0) 一个 无 请同学们完成下列表格 探索新知 1、判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若两圆有公共点,则两圆相交. ( ) (2)若两圆没有公共点,则两圆相离.( ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.( ) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( ) × × × √ 2. 已知 ⊙O1和⊙O2 的半径分别为 3 cm 和 5 cm，判断两圆的位置关系. （1）当 O1O2 = 8 cm时，两圆的位置关系是_________； （2）当 O1O2 = 2 cm时，两圆的位置关系是_________； （3）当 O1O2 = 10 cm时，两圆的位置关系是_________. 外切 内切 外离 典例分析 例 1、 已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆 C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系． 解法 1：把圆 C1 的方程化成标准方程，得 (x＋1)2＋(y＋4)2＝25， 圆 C1 的圆心是 (－1，－4)，半径 r1＝5． 把圆 C2 的方程化成标准方程，得 (x－2)2＋(y－2)2＝10， 圆 C2 的圆心是 (2，2)，半径 r2＝． 圆 C1 与圆 C2 的圆心距为 ＝3． 圆 C1 与圆 C2 的两半径之和 r1＋r2＝5＋，两半径长之差 r1－r2＝5－. 因为 5－＜3＜5＋，即 r1－r2＜3＜r1＋r2，所以圆 C1 与圆 C2 相交 (如图)，它们有两个公共点 A，B． 典例分析 例 1、 已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆 C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系． 解法 2：将圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得到方程组 ①－②，得 x＋2y－1＝0，　③ 由③，得 y＝ ． 把上式代入①，并整理，得 x2－2x－3＝0．　④ 方程④的根的判别式 Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0， 所以，方程④有两个不相等的实数根 x1，x2，把 x1，x2 分别代入方程③，得到 y1，y2． 因此圆 C1 与圆 C2 有两个公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交． 本题只要判断圆 C1 与圆 C2 是否有公共点，并不需求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根. 探索新知 思考 ：如果两圆方程联立消元后得到的方程的 Δ = 0，它说明什么？当 Δ < 0 时，又说明什么？ ① Δ = 0 说明方程 ①② 组成的方程组有两个相同解， 即只有一个公共点，所以两圆相切 (内切或外切)； 若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切. ② Δ < 0 说明方程 ①② 组成的方程组无解， 即没有一个公共点，所以两圆相离 (外离或内含). 若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离. 探索新知 变式：设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0, ① ② ①-②化简得： x+2y-1=0 代入①化简得 x2-2x-3=0 d1 r1 解： 探索新知 思考 ：画出圆C1：x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0 ①和圆C2：x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0 ② 以及方程 x + 2y – 1 = 0 ③ 表示的直线，说说有什么发现？ B A x y O C1 C2 因为有方程 ①② 组成的方程组的解 (x，y) 必定满足方程 ③； 而方程组有两组实数解，即两圆 C1、C2 有两个公共点 A、B，这两个公共点必在方程 ③ 确定的直线上； 又因为两点确定一条直线，因此方程 ③ 表示的直线就是两圆公共弦所在的直线. 结论：若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在的直线方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0． 典例分析 例 2 已知圆 O 的直径 AB＝4，动点 M 与点 A 的距离是它与点 B 的距离的 倍．试探究点 M 的轨迹，并判断该轨迹与圆 O 的位置关系． 探索新知 思考：如果把本例中的“ 倍”改为“k (k＞0) 倍”，你能分析并解决这个问题吗？ 探索新知 变式1、已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 解析:∵半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切, ∴动圆圆心到定圆圆心(5,-7)的距离为4+1或4-1, ∴动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9. 答案:D 课堂小结 1.圆与圆的位置关系： 3.相交圆的公共弦： 4.坐标法解决平面几何问题的步骤 2.判断方法： 课堂检测 D 课堂检测 D 课堂检测 3、圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有(　　)． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,5)，r2＝4， |C1C2|＝ ＝5， r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2， 圆C1与圆C2相交，故选B. 答案　B 课堂检测 4、已知圆O1:(x-1)2+y2=4和圆O2:x2+(y- )2=9. (1)求两圆公共弦所在直线的方程; (2)求两圆的公共弦长. 解:(1)由题意知两圆相交,将两圆的方程相减, 课后作业 课本第98页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1.圆和圆的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 解析：圆的圆心为，半径.将圆的方程化为标准方程，其圆心坐标为，半径.两圆心之间的距离，，，，两圆的位置关系是相交.故选D. 化简得两圆公共弦所在直线的方程为2x-2y-3=0. (2)圆O1的圆心(1,0)到公共弦所在直线的距离d=,圆O1的半径为2,所以,两圆的公共弦长为2. $