专题2.3 直线的方程（8类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的方程 【考点导航】 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线点斜式方程的定义，代入已知的定点坐标和斜率即可得到对应方程. 【详解】由题意可知，直线过定点且斜率，由直线的点斜式方程的定义，可得直线的点斜式方程为，故C正确. 2．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）过点，斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点斜式方程直接写出答案，再转化为一般式方程即可. 【详解】根据点斜式方程得直线方程为，化简得. 故选：A. 3．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，斜率为， 根据点斜式方程可得：，化简可得：. 4．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 5．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 【考点2：两点式方程】 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 3．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线l经过点 B．直线l的斜截式方程为 C．直线l的横截距为 D．与直线l垂直的直线的一个方向向量为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：由直线方程可知直线l经过点和，故A正确； 对于选项B：由直线方程即为，可得， 所以直线l的斜截式方程为，故B错误； 对于选项C：对于直线l：，令，解得， 所以直线l的横截距为，故C正确； 对于选项D：因为直线l的斜率，则直线l的一个方向向量为， 且，即， 所以与直线l垂直的直线的一个方向向量为，故D正确. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 5．（2.2 直线的方程）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】直线的方程为;直线方程为即;直线的方程为 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 【考点3：截距式方程】 1．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，按直线是否过原点分类，结合直线方程的截距式求解. 【详解】当直线过原点时，该直线在两轴上的截距的绝对值相等，方程为，即； 当直线不过原点时，若该直线在两轴上的截距相等，设方程为，则，解得，所求方程为； 若该直线在两轴上的截距互为相反数，设方程为，则，解得，所求方程为， 所以符合要求的直线方程为或或. 2．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 3．（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 【答案】或 【分析】本题要分截距都为 0和截距不为 0两种情况讨论，利用直线截距式或斜截式代入已知点求解，容易漏掉过原点的情况. 【详解】当直线横截距和纵截距都为0时，设直线为， 将点代入可得，即，此时直线方程为，即 当直线截距不为0时，可设直线为，因为横截距为纵截距的两倍，所以， 又因为直线过点，代入直线可得，解得， 所以直线方程为. 故答案为：或. 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 5．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】 【分析】设出直线截距式方程，代入点坐标后变形，将问题转化为求的正约数个数，约数个数即为满足条件的直线条数． 【详解】设直线的截距式方程为， 代入点得：，变形整理得， 可得， 已知，故，即是的正约数， 的正约数为：、、、、、、、、，共个，对应组不同的正整数， 故满足条件的直线共条． 【考点4：一般式方程】 1．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意可得， 因为，所以，因为，所以，即， 所以方程不经过第一象限. 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 3．（26-27高二上·安徽·阶段检测）（多选）在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用斜率和截距的正负来判断. 【详解】由图可知，，且，将两个直线方程变形为：，， 直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为， AD选项，两条直线斜率均大于，所以同号，两条直线在轴的截距必一正一负，在轴的截距也一正一负， 同一条直线在坐标轴的截距也是一正一负，且两直线交点在第三象限，所以A选项正确、D选项错误； BC选项，两条直线斜率均小于，所以异号，两条直线在轴的截距必同号，在轴的截距也同号， 同一条直线在坐标轴的截距也同号，若，则两直线交点在第一象限，反之两直线交点在第三象限，所以B、C选项正确. 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】先求点关于直线的对称点，再根据反射光线过和两点，用两点式求直线方程并整理为一般式. 【详解】设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，可列方程组， 解得，即， 由反射的性质可知，反射光线经过点和，代入直线两点式方程得 ， 整理为一般式得. 5．（26-27高二上·陕西铜川·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； (3)求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 【答案】(1)直线方程：；直线方程：； (2) (3) 【分析】（1）根据截距式直接求解所在直线的方程，根据两点式求所在直线的方程； （2）先求得中点的坐标为，再结合两点式方程求解即可； （3）根据斜率公式与垂直直线的斜率关系求得边上的中垂线的斜率为，再结合点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即． 由两点式，得边所在直线的方程为，即． （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得所在直线的方程为，即． （3）由，得边上的中垂线的斜率为． 又的中点坐标为，由点斜式， 得边上的中垂线的方程为，即． 【考点5：直线过定点问题】 1．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2．（26-27高二上·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由，解得，即直线过定点. 3．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l恒过定点P(1，1)，计算PA、PB的斜率，结合直线与线段AB相交的斜率约束求解m的取值范围. 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 5．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，然后设出直线的纵横截距，利用截距式写出直线的方程，代入定点，找出之间的关系，利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】直线的方程为，整理为， 因为对任意的均成立，，得，即直线过定点. 设，，则. 直线的截距式方程为，直线过定点，. ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 【考点6：两条直线平行的判定及应用】 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 2．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系求解即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得. 当时，：，：，不重合. 所以. 3．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，再检验排除两直线重合的情况即可得到结果 【详解】因为 直线：，：，与平行， 所以，即，解得或， 当时，，，满足平行要求； 当时，，，即，与重合，不符合要求. 综上所述，实数的取值集合为. 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线：，直线：，若，则________． 【答案】 【详解】由两直线平行的充要条件可知， ，即，解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足题意. 当时，直线：，直线：，两直线平行，满足题意. 综上所述， 5．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为________. 【答案】 【详解】因为与平行， 故，整理得，解得或. 验证是否重合： 当时，化简为，化简为，两直线重合，不符合要求，舍去； 当时，为，为，两直线斜率相等且截距不同，满足平行条件. 综上，实数的值为. 【考点7：两条直线垂直的判定及应用】 1．（26-27高二上·贵州·阶段检测）若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得 ，解得. 2．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直，则，化简即可判断. 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 5．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由与垂直，得，解得. 【考点8：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式得到结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 3．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直． (1)求的值； (2)求与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）由（1）可得直线的方程为， 令，得，令，得， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为． 4．（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）先排除直线的斜率不存在的情形，再利用两直线垂直时斜率之积为求． （2）由两直线平行时斜率相等求，再求直线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式计算． 【详解】（1）若，则为轴，与斜率为的不垂直， 故． 此时的斜率为，由与垂直，得，解得． （2）直线的斜率为，由与平行可知，且，解得． 此时直线的方程为，化为， 所以它与轴、轴的交点分别为和． 直线的方程为，与不重合，故两直线确实平行． 因此，直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的方程 【考点导航】 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）过点，斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 5．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【考点2：两点式方程】 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 3．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线l经过点 B．直线l的斜截式方程为 C．直线l的横截距为 D．与直线l垂直的直线的一个方向向量为 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 5．（2.2 直线的方程）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【考点3：截距式方程】 1．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高二上·天津·期中）直线过点，且横截距a，纵截距b满足，则的方程为______． 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 5．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为________． 【考点4：一般式方程】 1．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如果且，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·安徽·阶段检测）（多选）在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 5．（26-27高二上·陕西铜川·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； (3)求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 【考点5：直线过定点问题】 1．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 【考点6：两条直线平行的判定及应用】 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数（     ） A．1 B． C． D．0 3．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线：，直线：，若，则________． 5．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为________. 【考点7：两条直线垂直的判定及应用】 1．（26-27高二上·贵州·阶段检测）若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 2．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【考点8：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直． (1)求的值； (2)求与两坐标轴围成的三角形的面积． 4．（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知直线：． (1)若直线：与垂直，求的值； (2)若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $