专题2.2 两条直线的位置关系讲义（5类必考点）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 两条直线的位置关系 【考点导航】 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 2．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知两点和，则直线与直线（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【分析】先算出两条直线的斜率，进而判断两条直线的位置关系，若斜率相等，则再判断两条直线是否重合，进而得到答案. 【详解】由题意，，而直线的斜率为，将点代入直线的方程，则，即点A不在直线上， 所以直线与直线平行. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    5．（25-26高一下·四川·阶段检测）已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系． 【详解】因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题． 6．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】B 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得或 ， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 4．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 5．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 6．（第07讲 两条直线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）直线经过点，，直线的斜率为，则与的位置关系是（     ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【详解】直线经过点，， 则 已知直线的斜率为，即 则直线与直线垂直. 2．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 4．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）将经过原点且斜率为的直线绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线l，求直线l的斜率. 【答案】 【详解】设直线的斜率为，因为直线是由已知直线绕着原点逆时针旋转90°得到， 所以直线 与已知直线垂直，所以. 5．（第09讲两条直线平行和垂直的判定（思维导图 2知识点 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，因为两条直线互相垂直，所以 ，得，解得. 2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知点，，，若直线与直线垂直，则的值为_______. 【答案】 【详解】由，，得 ；由，，得 ； 因为直线与直线垂直，得 ，所以 ， 化简得，解得. 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 4．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知两条直线和. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列式计算即得； （2）利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】（1）由，可得，解得. （2）由，可得且，解得. 5．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知点，，，，. (1)若A，B，C三点在同一直线上，求m的值； (2)若直线，判断直线与的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线与的位置关系是平行，理由如下： 因为， 所以. . 由（1）可知：当时，A，B，C三点在同一直线上， 所以当时，A，B，C三点不在同一直线上， 又因为， 所以直线与的位置关系是平行. 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线斜率公式、互相平行两直线斜率的关系进行运算判断即可； 【详解】（1）因为A，B，C三点在同一直线上， 所以. （2）略. 6．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测），， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点的坐标计算斜率，根据倾斜角的取值范围，确定斜率的取值范围，根据斜率的取值范围计算参数； （2）讨论直角，根据直线垂直，斜率相乘得计算参数的值． 【详解】（1）由直线的倾斜角的取值范围是，得到 当直线的斜率存在，即当时，或． ，或，解得或； 当直线的斜率不存在时，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （2）由，，； 可知，；； 若为直角，则，，解得； 若为直角，则，，此时无解； 若为直角，则，，解得； 综上，实数或． 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】略 3．（26-27高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【分析】分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 【点睛】本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题 4．（26-27高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明如下： 由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】略 5．（26-27高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【详解】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 6．（26-27高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 两条直线的位置关系 【考点导航】 【知识梳理】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【考点1：两条直线平行的判定】 1．（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知两点和，则直线与直线（    ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．（25-26高一下·四川·阶段检测）已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 6．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【考点2：已知两条直线平行求参】 1．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 5．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 6．（第07讲 两条直线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）若直线与平行，求的值. 【考点3：两条直线垂直的判定】 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）直线经过点，，直线的斜率为，则与的位置关系是（     ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 4．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）将经过原点且斜率为的直线绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线l，求直线l的斜率. 5．（第09讲两条直线平行和垂直的判定（思维导图 2知识点 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 6．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【考点4：已知两条直线垂直求参】 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知点，，，若直线与直线垂直，则的值为_______. 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 4．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知两条直线和. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 5．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知点，，，，. (1)若A，B，C三点在同一直线上，求m的值； (2)若直线，判断直线与的位置关系，并说明理由. 6．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测），， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． 【考点5：两条直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 1．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 3．（26-27高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（26-27高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    5．（26-27高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 6．（26-27高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $