第2章 实数的初步认识（单元自测·培优卷） 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

第2章 实数的初步认识·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第14题）计算，结果是（　　） A． B． C． D． 2．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）如果一个实数的立方根等于它本身，那么这样的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第9题）已知，，。下列数中是有理数的是（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第4题）小明要把精确到百分位。他先精确到千分位，再把所得近似数精确到百分位。与直接精确到百分位相比，小明的结果（　　） A．相同 B．大 C．小 D．大 5．（改编自2025·南京中考公开重排版第4题）一块正方形薄片的面积为。已知，则它的边长为（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2025·镇江期末公开重排版第13题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）要使有意义，可以取（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第5题）化简，结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第13题）满足的整数共有________个。 10．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第7题）设是的正平方根，是的立方根，则的算术平方根是________。 11．（选自2024·苏州振华期中公开重排版第16题）正实数的两个平方根为和。若，则________。 12．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）比大且比小的全部整数为________。 13．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第8题）将千克精确到千克， 所得近似值比原数大________克。 14．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第3题）在，，，，，，（相邻两个之间的的个数依次增加），中，非负有理数共有________个。 15．已知，则________。 16．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）若有意义， 则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第17题）小华计算时写成：或。 （1）指出他的错误，并写出正确结果。 （2）计算。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第24题）给出两个等式：①；②。 （1）求使这两个等式中至少一个成立的全部实数。 （2）是否有能使两个等式同时成立？说明理由。 19．（6分）小华认为：“两个无理数的和、差、积一定都是无理数。”请分别举出一组反例，否定其中关于“和”“差”“积”的三种说法，并写出运算结果。三组例子可以使用相同的无理数。 20．（6分）（改编自2025·镇江期末公开重排版第9题）一根木条的实际长度为米，按四舍五入法精确到米得到米。截取时不计锯缝损耗。 （1）写出的取值范围。 （2）要把木条截成两段，每段至少长米，能否仅凭这个近似长度保证成功？请说明理由。 （3）若另一根木条同样精确到米的近似长度为米，能否保证截成上述两段？ 21．（6分）某小组计算了：，，，。请只利用这些数据回答： （1）在哪两个相邻的百分位小数之间？ （2）将精确到十分位，结果是什么？ （3）将精确到百分位，结果是什么？说明判断舍入的依据。 22．（8分）一个实心正方体的体积为。将它沿着三个方向各等分一次，切成个完全相同的小正方体，不计切割损耗。 （1）求大正方体的棱长。 （2）求每个小正方体的棱长。 （3）这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积增加多少？ 23．（8分）（改编自2024·泗洪期中公开重排版第22题）阅读材料：对任意实数，都有；两个非负数的和等于时，这两个数都等于。已知实数满足。 （1）求。 （2）求。 （3）求的平方根。 24．（8分）在数轴上，点表示。点与点关于表示的点对称，点与点关于表示的点对称。关于某点对称，是指该点为两点连线段的中点。 （1）分别写出点表示的数。 （2）将三点表示的数从小到大排列。 （3）求的长，并解释为什么两次对称后，点到点的位移为一个整数。 25．（10分）（改编自2025·南京中考公开重排版第11题）阅读材料：。研究等式。 （1）借助材料求所有满足等式的实数。 （2）它的正根位于哪两个连续整数之间？说明理由。 （3）已知是无理数，判断这个正根能否写成两个整数的比（分母不为），并说明理由。 26．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第22题）阅读材料：非负实数满足；比较两个正数的大小，可以比较它们的平方。 （1）只利用、，能否直接说明？为什么？ （2）利用材料证明。 （3）用类似方法比较与的大小。 27．（10分）某活动用面积为的正方形制作卡片，取到中的整数。称卡片为“间隔合格”，是指它的边长严格位于某个奇整数与之间。 （1）时是否合格？说明理由。 （2）当时，列出所有合格的。 （3）在中，共有多少个合格的？请按分类列出，不要遗漏边界。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第14题）计算，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先算内层算术平方根：，再算。 【易错提醒】根号表示算术平方根，不能添上正负号。 2．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）如果一个实数的立方根等于它本身，那么这样的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】设这个数为，则。当时成立；当时，两边同除以得，所以。因此全部为，共有个。 【易错提醒】不要只考虑正数，也不要漏掉零。 3．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第9题）已知，，。下列数中是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以是有理数；、、均为一个无理数加一个有理数，仍为无理数。 【易错提醒】先运算后分类；无理数的平方可能是有理数。 4．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第4题）小明要把精确到百分位。他先精确到千分位，再把所得近似数精确到百分位。与直接精确到百分位相比，小明的结果（　　） A．相同 B．大 C．小 D．大 【答案】B 【详解】直接四舍五入得；先精确到千分位得，再精确到百分位得。小明的结果大。 【易错提醒】应根据原数的下一位直接四舍五入，连续舍入可能改变结果。 5．（改编自2025·南京中考公开重排版第4题）一块正方形薄片的面积为。已知，则它的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】面积为平方米，边长为米，即毫米。 【易错提醒】面积的开平方得到长度，再把米换成毫米；不能将面积单位的换算倍数直接用于边长。 6．（改编自2025·镇江期末公开重排版第13题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的平方根为。 【易错提醒】题目最终求的是平方根，应先确定被开方数，再写出两个根。 7．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）要使有意义，可以取（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根式在分母上，被开方数必须严格大于，故；四个选项中只有符合。 【易错提醒】分母不能为零，所以不能把边界包括在内。 8．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第5题）化简，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以，原式为。 【易错提醒】平方后再开算术平方根得到绝对值。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第13题）满足的整数共有________个。 【答案】 【详解】由得。所给开区间包含在中，不含整数。 【易错提醒】端点不取，两个相邻整数之间没有整数。 10．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第7题）设是的正平方根，是的立方根，则的算术平方根是________。 【答案】 【详解】，，，所以所求算术平方根为。 【易错提醒】正平方根为正；先求商，再开平方。 11．（选自2024·苏州振华期中公开重排版第16题）正实数的两个平方根为和。若，则________。 【答案】 【详解】，故，。又，所以。 【易错提醒】这里求被开方数，必须使用排除负值。 12．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）比大且比小的全部整数为________。 【答案】 【详解】且，所以全部整数为。 【易错提醒】同时考虑负整数、零和正整数。 13．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第8题）将千克精确到千克， 所得近似值比原数大________克。 【答案】 【详解】千克约为千克，差为千克，即克。 【易错提醒】应先按指定精度舍入，再统一单位求差。 14．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第3题）在，，，，，，（相邻两个之间的的个数依次增加），中，非负有理数共有________个。 【答案】 【详解】非负有理数为、、、，共有个。、和所列不循环小数为无理数；为负数。 【易错提醒】不能把“带根号”等同于无理数，也不能漏掉非负这一限制。 15．已知，则________。 【答案】 【详解】，，故原式。 【易错提醒】被开方数的小数点移动三位，立方根相应移动一位。 16．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）若有意义， 则________。 【答案】 【详解】需同时有和，所以。于是。 【易错提醒】两个根式必须同时有意义，不是任选一个。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第17题）小华计算时写成：或。 （1）指出他的错误，并写出正确结果。 （2）计算。 【答案】（1）误把算术平方根写成两个平方根；正确结果为；（2）。 【详解】（1）表示的算术平方根，值为，不应写成。所以。 （2）因为，所以，原式。 【易错提醒】先辨别平方根与根号表示的含义，再判断绝对值内部符号。 【评分标准】（2分）指出算术平方根只有非负值并得到。 （3分）正确去绝对值并算得。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第24题）给出两个等式：①；②。 （1）求使这两个等式中至少一个成立的全部实数。 （2）是否有能使两个等式同时成立？说明理由。 【答案】（1）；（2）没有。 【详解】①等价于，故；②等价于，故。使至少一个成立的全部值为。 同时成立时既要等于中的一个，又要等于，不可能。因此没有这样的实数。 【易错提醒】“至少一个”允许只成立一个；“同时”要求同一个数满足两式。 【评分标准】（3分）分别求出两个等式的全部解，并列出三个值。 （2分）说明两式没有共同解。 19．（6分）小华认为：“两个无理数的和、差、积一定都是无理数。”请分别举出一组反例，否定其中关于“和”“差”“积”的三种说法，并写出运算结果。三组例子可以使用相同的无理数。 【答案】例如：和；差；积。 【详解】关于和：与都是无理数，但和为。 关于差：与都是无理数，但差为。 关于积：与都是无理数，但积为。这三个结果都是有理数，分别否定了三种说法。 【易错提醒】反例必须满足前提“两个数都是无理数”。 【评分标准】（2分）给出和为有理数的有效反例。 （2分）给出差为有理数的有效反例。 （2分）给出积为有理数的有效反例。 20．（6分）（改编自2025·镇江期末公开重排版第9题）一根木条的实际长度为米，按四舍五入法精确到米得到米。截取时不计锯缝损耗。 （1）写出的取值范围。 （2）要把木条截成两段，每段至少长米，能否仅凭这个近似长度保证成功？请说明理由。 （3）若另一根木条同样精确到米的近似长度为米，能否保证截成上述两段？ 【答案】（1）；（2）不能；（3）能。 【详解】（1）由四舍五入的边界可得。 （2）两段总长至少需米。实际长度可能为米，此时舍入后为米，却不足以截成两段。因此不能保证。 （3）近似长度为米时，实际长度至少为米，大于米，所以在不计锯缝损耗的条件下能保证。题中均不计锯缝损耗。 【易错提醒】近似数不等于实际长度；反例只需举出一个合法的不足长度。 【评分标准】（2分）写出含左端点、不含右端点的区间。 （2分）用合法反例说明不能保证。 （2分）由下界米说明能保证。 21．（6分）某小组计算了：，，，。请只利用这些数据回答： （1）在哪两个相邻的百分位小数之间？ （2）将精确到十分位，结果是什么？ （3）将精确到百分位，结果是什么？说明判断舍入的依据。 【答案】（1）和之间；（2）；（3）。 【详解】（1），所以。 （2）因为，故精确到十分位为。 （3），所以。结合，四舍五入到百分位为。 【易错提醒】知道介于与之间，还不足以决定百分位舍入；需要比较中点。 【评分标准】（2分）用平方比较得到百分位上下界。 （2分）正确得到十分位近似值。 （2分）以舍入中点为依据得到百分位近似值。 22．（8分）一个实心正方体的体积为。将它沿着三个方向各等分一次，切成个完全相同的小正方体，不计切割损耗。 （1）求大正方体的棱长。 （2）求每个小正方体的棱长。 （3）这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积增加多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）增加。 【详解】（1）设大正方体棱长为厘米，则，所以。 （2）每个小正方体体积为立方厘米，棱长为厘米。 （3）大正方体表面积为平方厘米，小正方体表面积之和为平方厘米。增加平方厘米。 【易错提醒】切分后总体积不变，但内部切面成为外表面。 【评分标准】（2分）由体积求大棱长。 （2分）求小正方体体积与棱长。 （4分）分别计算两种表面积并求增加量。 23．（8分）（改编自2024·泗洪期中公开重排版第22题）阅读材料：对任意实数，都有；两个非负数的和等于时，这两个数都等于。已知实数满足。 （1）求。 （2）求。 （3）求的平方根。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【详解】（1）由材料将等式写成。两个平方都非负，故且，所以。 （2），所以所求为。 （3），的平方根为。 【易错提醒】第（2）问根号表示非负值，第（3）问的平方根有两个。 【评分标准】（3分）借助材料改写成两个平方之和并求出参数。 （2分）正确求算术平方根。 （3分）得到平方和并写出两个平方根。 24．（8分）在数轴上，点表示。点与点关于表示的点对称，点与点关于表示的点对称。关于某点对称，是指该点为两点连线段的中点。 （1）分别写出点表示的数。 （2）将三点表示的数从小到大排列。 （3）求的长，并解释为什么两次对称后，点到点的位移为一个整数。 【答案】（1），；（2）；（3），向左移动个单位。 【详解】（1）设表示，表示，由中点条件得，所以；，所以。 （2），因此。所求顺序为。 （3），故。两次对称的代数关系为，无理数部分保留，差恰为。 【易错提醒】第二次对称的中心是，不能仍用。 【评分标准】（3分）正确写出两次中点关系并求出所表示的数。 （2分）估算并完整排列三数。 （3分）求距离并说明位移为。 25．（10分）（改编自2025·南京中考公开重排版第11题）阅读材料：。研究等式。 （1）借助材料求所有满足等式的实数。 （2）它的正根位于哪两个连续整数之间？说明理由。 （3）已知是无理数，判断这个正根能否写成两个整数的比（分母不为），并说明理由。 【答案】（1）；（2）和之间；（3）不能。 【详解】（1）等式变形为，即，故，。 （2），所以，从而。 （3）不能。若可写成两个整数的比，则它是有理数，加上后也是有理数，与已知矛盾。 【易错提醒】第（1）问要保留负根；第（3）问要说明有理数加整数仍为有理数。 【评分标准】（3分）借助材料转成平方并求出两个根。 （3分）用相邻整数平方确定正根区间。 （4分）用有理数封闭性解释矛盾。 26．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第22题）阅读材料：非负实数满足；比较两个正数的大小，可以比较它们的平方。 （1）只利用、，能否直接说明？为什么？ （2）利用材料证明。 （3）用类似方法比较与的大小。 【答案】（1）不能，由此只得到和大于；（2）见证明；（3）。 【详解】（1）这两条下界只能推出，而，两个数都大于不能决定它们的大小。 （2），故。两数都为正，故。 （3），所以。两数都为正，故。 【易错提醒】同大于某个数不能推出大小关系；平方比较应先说明双方非负。 【评分标准】（3分）指出粗下界不足以比较并说明原因。 （4分）用给定材料严格证明原不等式。 （3分）正确完成类似比较并说明正数条件。 27．（10分）某活动用面积为的正方形制作卡片，取到中的整数。称卡片为“间隔合格”，是指它的边长严格位于某个奇整数与之间。 （1）时是否合格？说明理由。 （2）当时，列出所有合格的。 （3）在中，共有多少个合格的？请按分类列出，不要遗漏边界。 【答案】（1）合格；（2）；（3）个。 【详解】（1），所以。是奇数，故合格。 （2）等价于，所以。 （3）边长为正，只需考虑。当时，，共个；时，，共个；时共个；时，，只有，共个。因此合计个。完全平方数在区间端点，均不合格。 【易错提醒】两端都是严格不等号；最后一段要受截断。 【评分标准】（2分）说明面积对应边长在与之间。 （3分）完整列出至。 （5分）分类列举四个区间，排除端点，得到个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $