第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学实数初步认识单元强化卷，通过基础辨析、几何直观应用及规律探究题，全面考查平方根、无理数等核心知识，适配单元复习时的分层能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|无理数判断（如第1题）、数轴表示（如第2题）|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|8/16|平方根立方根计算（如第9题）、数值转换（如第16题）|运算能力考查，渗透创新意识| |解答题|11/68|正方形与数轴（如第24题）、新定义“完全数组”（如第25题）|分层设计，综合应用与推理探究|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章实数的初步认识（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列各数中，是无理数的是() 22 A.⑧ B.7 C.3.1415926 D.5 2.如图，数轴上点N表示的数可能是() N 54-3-21012345分 A② B V3 3。下列说法中：①不带根号的数都是有理数：②8没有立方根：③平方根等于本身的数是1，④ “有意 义的条件是a为正数：其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.下列说法中，正确的是() A.16=-4 B,t25=5 C.27=3 D.近=t1 5.如图，正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上，表示的数为-1.以点A为圆心，AB为半径画弧， 与数轴相交于点E,则点E表示的数为() A 3-2-10123→ A.5-1 B.5 C.5+1 D.2 6.若237133,2T4s2.82,则2370() A.13.33 B.28.72 C.133.3 D.287.2 7.如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这 4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在() 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0和0.5之间B.0.5和1之间 C.1和1.5之间 D.1.5和2之间 8.如图是一个数值转换器的原理图，当输入x的值为81时，输出'的值是() 输入y☑取算数平方根 是不是 是 无理数 输出y 不是 A.2 B.3 c v D 3 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.4的平方根是 -64的立方根是 ,V81的算术平方根是 10.比较大小 -√ -3.(填“>”或“<”） 1.已知“为整数，且0<V26<a+1 则as 12.如果4a+1和a-11是一个正数的平方根，则这个正数是 13.将四个数5,5丽23 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 -101234K6789 14.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3cm2,1cm2,图中两块阴影部分的面积和为 cm2 1cm2 3cm2 15.已知实数0,0满足a=V2-b+6-2+5 a,b 则-b的值为 16.一个数值转换器，如图所示： 215 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 3 其中为非负有理数.例如当输入的为3或9时，输出的的值都是3.若输入有理数的值后，始终 输不出y的值，则x的值可能是 (请写出所有可能的结果). 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.计算： 27+5-1-4 18.解下列方程 (①)4(x+3}-1=24 2)2(2x-)+4=0 19.如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为0，b,c,化简：厅-la-d+a+b B A0 C 1 20.在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中.一3， 2,5.1234，√0.25，π’3.14 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 21.已知一个正数的两个不同的平方根分别是1+3和b+1,3a+b的算术平方根是2. (1)求a、b的值； (2)求5a-b-1的立方根. 22.【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律. 4x9=6 V4x15=6 ②16x25=20.V16×V25=20 ③V56x49=42.V36x49=42 【规律发现】 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V9×25= V100×121= (1)计算： (2)用字母表示你发现的规律 (3③)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例： √27=V9x3=V5xV5=3√5 请你试着化 √8= V18= 简下面各式： 23.有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若“和b是有理数， a(π+3)+b= 0,则a=0 b=0.己知m和n是有理数， (①若m-2)xV6+m-4=0 试求出mn的立方根： ②若2+)m-(1-)n=6其中m,n是x的平方根，求x的值. 24.如图，正方形ABCD的四个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示-1.以点 C为圆心，以CD的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E.小明利用割补法求出了正方形ABCD的面 积是13，请你解决下面问题， D B E -4-3-2-10 12345x (1)正方形ABCD的边长是 (2)点E表示的实数是 (3)能否将正方形ABCD纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为3：2，长比宽 多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由： (4)将正方形ABCD纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是 (结果保留π). 25.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数， 则称这三个数为“完全数组”，这些算术平方根称为“完全子集”，例如：一2，-8，-18这三个数， 、2)x(-8)=4,-2)x18)=6,-8×(18)=12,其结果4,6,12都是整数，所以-2，-8， -18这三个数是“完全数组”，而4,6,12称为“完全子集”. 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)-9,-1,-4这三个数是“完全数组”吗？请说明理由. (2)若-4，a,-16这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12，求a的值. 26.探索题 阅读下列解题过程： 1 1(W5-4) 5-√4 5+45+45-4（5-（4 -5-4=5-2 1(6-5) 6-5 =√6-√5 6+5 (6+5V6-5)(6-(5 请回答下列问题： 1 ()观察上面的解题过程，请直接写Vn-√n-1的结果为 1 1 1 1 1 ②利用上面所提供的解法，请化简：1+2万+5+5+4+9s+9+9+100 27.【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于“，即=a,那么这个正数叫做“的算术平方根，记作Va,0的算 术平方根是0，即0=0，并且被开方数a为非负数. 【探究新知】 )若（人a=a,则a的取值范围是 【知识应用】 ②若a+b+1a-2b+4=0,求a+的值 【拓展提升】 6若2025-a+va-2026=0,求a-2022的值， 5/5 第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．3.1415926 D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，化简各选项后即可判断． 【详解】解：A．，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意． 2．如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算所给选项中的实数范围，再根据数轴上点N表示的数的范围即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上点N表示的数可能是． 3．下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是为正数；其中正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义，立方根、平方根的概念，算术平方根的双重非负性，逐个判断说法正误即可． 【详解】解：①不带根号的数不一定都是有理数，例如不带根号，但是无理数，因此①错误； ②，的立方根是，因此②错误； ③平方根等于本身的数只有，因此③错误； ④有意义的条件是被开方数，即为非负数，不只是正数，因此④错误； 四个说法全部错误，故正确的有个． 4．下列说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，∴选项A错误； ，∴选项B错误； ∵，∴选项C正确，符合题意； ∵，∴选项D错误． 5．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：正方形的面积为5， , 由作图可知，在数轴上，表示的数为， 点E所表示的数为． 6．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 7．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 8．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 10．比较大小：_________．（填“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】两个负数比较大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小，可通过平方比较和的大小． 【详解】解：∵ ， ∵ ，， ∴ ∴． 11．已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：， ， 即， 为整数，且， ． 12．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【答案】或 【分析】根据正数平方根的性质，分两个平方根互为相反数和两个平方根相等两种情况，列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 13．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 14．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 15．已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 16．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．计算：． 【答案】 【详解】解： 原式 ． 18．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 19．如图，数轴上点、、表示的数分别为，，，化简： 【答案】 【分析】根据数轴判定，，再根据算术平方根，绝对值，立方根的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，， ． ． ． 20．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 【答案】有理数集合：； 无理数集合：. 【分析】先化简可开方的数，再根据有理数和无理数的定义分类.有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数. 【详解】解：是分数，是有限小数，是有限小数，都符合有理数定义， 以上三个数属于有理数，填入有理数集合； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无限不循环小数，都符合无理数定义， 以上三个数属于无理数，填入无理数集合. 21．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2． (1)求、的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据算术平方根的定义得，继而得到关于、的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，即， ∵的算术平方根是2， ∴， 联立可得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：∵，， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 22．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 23．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴． 24．如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题． (1)正方形的边长是__________； (2)点表示的实数是__________； (3)能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由； (4)将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ，， 正方形纸片的边长为，， 裁不出满足上述条件的纸片 (4) 【分析】（1）根据正方形的面积为，正方形的面积等于边长的平方即可得出正方形的边长； （2）由同圆半径相等得等于正方形边长，结合点在数轴上表示的数，向右平移对应长度，即可计算得出点表示的实数； （3）按长宽的比例设未知数，根据长比宽多列方程求出长与宽，再将宽与正方形边长比较，即可判断能否裁出符合条件的长方形； （4）明确正方形内最大圆为内切圆，其直径等于正方形边长，代入圆的周长公式计算即可得出圆形纸片的最大周长． 【详解】（1）解：∵正方形的面积是， ∴正方形的边长是； （2）解：点表示， 且在正半轴， ∴表示的实数为； （3）略 （4）解：正方形内最大圆直径等于正方形边长， ∴圆形纸片周长的最大值是． 25．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组” (2)的值为或 【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可； （2）根据题意可分当和，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或． 26．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则即可解答； （2）根据二次根式分母有理化法则即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 27．【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C A A C D 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． 10．＞ 11．5 12．或 13． 14． 15． 16．0或1 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 【详解】解： 原式 ．.........3分 18． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或．.........3分 （2）解：， ， ， 解得．.........5分 19． 【详解】解：由图可知，， ．.........2分 ． ．.........5分 20．有理数集合：；.........2分 无理数集合：..........5分 21． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，即， ∵的算术平方根是2， ∴， 联立可得：， 解得：， ∴的值为，的值为；.........3分 （2）解：∵，， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为．.........5分 22． 【详解】（1）解：根据规律可知；；.........2分 （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，；.........4分 （3）解：；．.........6分 23． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为；.........3分 （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴．.........6分 24． 【详解】（1）解：∵正方形的面积是， ∴正方形的边长是；.........1分 （2）解：点表示， 且在正半轴， ∴表示的实数为；.........3分 (3)不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ，， 正方形纸片的边长为，， 裁不出满足上述条件的纸片.........5分 （4）解：正方形内最大圆直径等于正方形边长， ∴圆形纸片周长的最大值是．.........6分 25． 【详解】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组”.........3分 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或．.........6分 26． 【详解】（1）解：；.........4分 （2）解： ．.........10分 27． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是．.........3分 （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴．.........6分 （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ．.........11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $