第2章 实数的初步认识 单元自测 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

第2章 实数的初步认识·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第3题）已知且，下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，的算术平方根是。因此；是负平方根，不能当成算术平方根。 【易错提醒】条件决定应取哪个平方根。 2．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）要使有意义， 下列数中不能取的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】需且，即且。四个备选值只有不能取。 【易错提醒】根式位于分子，允许根式为零；分母仍须非零。 3．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）同时满足和的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【详解】第二个等式要求，平方得。若，两式均成立；若，两边同除以得，且两式均成立。因此共有个。 【易错提醒】先满足算术平方根的非负条件，再取两个条件的共同值。 4．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第9题）已知是有理数，是无理数。下列数中一定是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若是有理数，则也应为有理数，与已知矛盾。在时为；在时为；为有理数。 【易错提醒】“一定”要求对所有符合条件的数成立，不能只试正数或非零数。 5．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第13题）已知，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，所以。此外，，。 【易错提醒】两个负数，绝对值大的数反而小；不能直接按字面比较平方。 6．（改编自2025·镇江期末公开重排版第9题）正方形的边长精确到米后为米。关于它的实际面积与平方米的关系，下列判断正确的是（　　） A．一定等于 B．一定小于 C．一定大于 D．既可能小于，也可能大于 【答案】D 【详解】实际边长可能为米，也可能为米，二者舍入后均为米。面积分别小于和大于平方米，因此两种情况都有可能。 【易错提醒】由近似边长计算出的面积不一定等于实际面积。 7．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第13题）同一个正数，精确到千位时记为万，精确到百位时记为万。下列数中，可能是这个正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记为万表示原数在内；记为万表示原数在内。两条件同时成立时，选项中只有符合。 【易错提醒】先把万换成原单位，再考虑最后一位的精度；两个条件要同时成立。 8．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）满足的正整数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】原条件为，所以。正整数为，共有个。 【易错提醒】应先还原根的开区间，再平方得到被开方数的范围。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第12题）实数满足且。数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________。 【答案】 【详解】，两点距离为。 【易错提醒】先由确定负根，再比较与的位置。 10．实数互为相反数，且是无理数，则一定为________数（填“正”“零”或“负”）。 【答案】负 【详解】。无理数不为，所以，。 【易错提醒】无理数一定不等于零；相反数的乘积不可能为正。 11．（改编自2025·南京中考公开重排版第4题）计算：________。 【答案】 【详解】，，商为。 【易错提醒】先开平方，再计算除法；不能直接将被开方数除以分母。 12．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第12题）设，， 则的平方根为________。 【答案】 【详解】，所以，，。因此的平方根为。 【易错提醒】两个绝对值中符号不同，最后问平方根而非算术平方根。 13．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题） 使有意义的整数共有________个。 【答案】 【详解】需同时满足和，所以，共个。 【易错提醒】两端允许根式为零，因此和均需计入。 14．（改编自2024·泗洪期中公开重排版第22题）已知对任意实数，。满足的实数数对共有________组。 【答案】 【详解】右边是两个平方的和，恒不小于，不可能等于，所以没有实数数对。 【易错提醒】无解也是结论；不能在非负数和为负数的条件下继续机械求参。 15．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第23题）已知，，则把精确到十分位的结果是________。 【答案】 【详解】，所以。它大于舍入中点，因此精确到十分位为。 【易错提醒】仅知道在6和7之间不能决定十分位舍入，需要与6.55比较。 16．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）在到的整数中，满足且为无理数的共有________个。 【答案】 【详解】等价于，其中整数有，共个。只有是完全平方数，需要排除，故共个。 【易错提醒】被开方数是整数不代表根是整数；排除区间内完全平方数。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第5题）小明说：“无论取何实数，都等于。” （1）用检验这句话，并改正为对所有实数都成立的等式。 （2）求使成立的全部实数。 【答案】（1）错误，应为；（2）或。 【详解】（1）当时，左边为，右边为，不相等。正确等式为。 （2），故或，解得或。 【易错提醒】平方后开算术平方根时，原数可能为负；绝对值等于正数有两种情况。 【评分标准】（2分）给出有效反例并写成绝对值。 （3分）完整求出两个实数解。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第24题）阅读材料：若两个非负数的算术平方根相等，则这两个数相等；若两个实数的立方根相等，则这两个数相等。利用材料解下列等式，并检验根式是否有意义。 （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【详解】（1）由材料得，解得。代入两边的被开方数均为，所以符合。 （2）由材料得，解得。代入两边的被开方数均为，立方根都有意义，故符合。 【易错提醒】平方根等式应检验非负条件；立方根可作用于所有实数。 【评分标准】（3分）求出第一问并检验两边被开方数非负。 （2分）求出第二问并说明立方根有意义。 19．（6分）（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）研究正数与的大小关系。 （1）当时，把按从小到大的顺序排列。 （2）当时，比较与的大小，并说明理由。 （3）“若，则”是否正确？说明理由。 【答案】（1）；（2）；（3）正确。 【详解】（1），所以。 （2），两边同乘正数得。又与均为正，比较其平方得。 （3）正确。且，两边平方得，再同除正数得。 【易错提醒】只有在两边均非负时，平方比较才保持大小关系。 【评分标准】（2分）正确排列具体例子。 （2分）在大于时用平方比较说明结论。 （2分）反向推理中保留为正的条件。 20．（6分）一个密闭实心正方体零件的体积为。现有内棱长分别为与的两个正方体包装盒，不计盒壁厚度和装入间隙，零件与盒子按对应棱平行的方向装入。已知，，。 （1）零件棱长位于哪两个相邻的十分位小数之间？ （2）两个盒子中哪一个能够装下它？说明理由。 （3）若先把零件棱长精确到再判断，可能得到什么错误结论？ 【答案】（1）和之间；（2）只有内棱长的盒子能装下；（3）会错误地认为的盒子也能装下。 【详解】（1），所以。 （2）棱长大于，小于，所以前一个盒子不能装下，后一个可以。这里两个立方体按对应棱平行装入。 （3）因为，故，精确到十分位为。若把近似棱长当成实际值，会误判小盒子也能装下。 【易错提醒】“近似值为4.1”不等于实际长度不超过4.1。 【评分标准】（2分）用立方值夹出上下界。 （2分）按实际严格大小判断两盒。 （2分）用舍入中点指出误判。 21．（6分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第16题）正数的两个平方根是和。 （1）用表示，并证明。 （2）若，求以及的全部可能值。 （3）在第（2）问条件下，若，求。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【详解】（1）两个平方根互为相反数，故，。又，所以。 （2），所以，得。故或，，对应或。 （3），所以。结合第（2）问得。 【易错提醒】仅确定被开方数时不一定确定哪一个根被命名为a，求b时需保留两种符号。 【评分标准】（2分）由相反数关系建立参数表示并证明。 （2分）利用绝对值求正数并列出两种取值。 （2分）依据根的正负进一步确定参数。 22．（8分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第22题） 已知实数使与互为相反数。 （1）求满足的一个线性关系。 （2）小华认为对所有满足条件的都有意义，且等于。这句话是否正确？若不正确，给出反例，并写出使该结论成立所需补充的条件。 （3）若都是整数且，列出所有可能的数对。 【答案】（1）；（2）不正确，如，需补充；（3）。 【详解】（1）互为相反数的立方根，其被开方数也互为相反数，所以，即。 （2）当时，两根分别为与，互为相反数，符合条件，但分式的分母为，无意义。补充后，可将两边同除以，得到比值。 （3）依次检查时，分别为。其中只有和是的整数倍，故数对为与。 【易错提醒】在约分或除以字母前，应先确认字母不为零。 【评分标准】（2分）由相反数得到线性关系。 （3分）给出零分母合法反例并补充非零条件。 （3分）在给定整数范围内穷尽两组数对。 23．（8分）在数轴上，点分别表示，动点表示实数。 （1）当时，求。 （2）求使成立的全部。 （3）当为整数时，第（2）问中的等式能否成立？已知为无理数，请说明理由。 【答案】（1）；（2）；（3）不能。 【详解】（1）点P在线段AB上，。 （2）当时，，故；当时，，故。在线段AB上时和为，不满足。因此全部为。 （3）不能。若是整数，除以后应为有理数，与已知矛盾。负值同理。 【易错提醒】应分别检查左侧、线段上、右侧三种位置。 【评分标准】（2分）指出线段内距离和为定值。 （4分）两侧分别求解并排除线段内部。 （2分）用无理性说明整数点不可能。 24．（8分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第16题）材料：对正整数，记，则。 （1）比较的大小，说明理由。 （2）计算。 （3）小明认为“相邻两项都很接近，所以前项的和小于”。判断这句话，并求出前项的和。 【答案】（1）；（2）；（3）错误，和为。 【详解】（1），。两分母为正且，故。 （2）逐项展开后中间各根式抵消，和为。 （3）错误。。相邻项接近不能说明很多项累加后总和很小。 【易错提醒】抵消后要保留首项的减数和末项的被减数，项数与最后被开方数相差1。 【评分标准】（2分）利用材料正确比较正分母。 （3分）展开消去并算出。 （3分）否定错误理由并算出项和。 25．（10分）（改编自2025·南京中考公开重排版第11题）阅读材料：。设为的正根。已知，，且是无理数。 （1）用根号表示，并给出介于哪两个相邻整数之间。 （2）利用，把化为不含的二次及以上幂的式子，再确定介于哪两个相邻整数之间。 （3）是有理数还是无理数？说明理由。 【答案】（1），；（2），；（3）无理数。 【详解】（1），两根为，故正根。由得。 （2），所以。给定平方值说明，故，，从而。 （3）为无理数，因为。若为有理数，则也应为有理数，矛盾。所以为无理数。 【易错提醒】用粗估不足以确定立方的整数区间；需利用给出的百分位平方数据。 【评分标准】（3分）借助材料求正根并估算整数区间。 （4分）正确降低幂次并用细界确定立方区间。 （3分）用反证说明立方仍为无理数。 26．（10分）两个正整数分别为两个相邻正整数的平方，且。 （1）若，求。 （2）能否为偶数？说明理由。 （3）如果且，其中为正整数，写出关于的表达式，并说明它们是否都大于。可使用材料：。 【答案】（1）；（2）不能；（3），均大于。 【详解】（1）设，则，为正整数。由材料得，所以，。 （2）两个相邻整数必一奇一偶，它们的平方仍一奇一偶，和为奇数，故不能为偶数。 （3）设，则，由得，所以，。为正整数，所以两个数均大于。 【易错提醒】应把“相邻”用于算术平方根，不是误认为相差1。 【评分标准】（3分）以相邻整数表示两根并求出、。 （3分）说明奇偶平方仍一奇一偶。 （4分）建立一般式并检查正数范围。 27．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第7题）称一个正整数为“双整根数”，是指和都是整数。阅读材料：一个正整数同时是完全平方数和完全立方数，当且仅当它能写成某个正整数的六次方，即；此时，。以下可以直接使用这段材料。 （1）验证是双整根数，并写出这两种根的整数值。 （2）求范围内的全部双整根数。（已知，） （3）若双整根数满足，求，并说明为什么不会有另一个不同的。 【答案】（1），；（2）；（3），且唯一。 【详解】（1），，所以两个根分别为，是双整根数。 （2）由材料，所以。又，故或，得到或。 （3）由材料。时，故。当正整数增大时，与都严格增大，因此和严格增大，不会再有另一个，所以唯一。 【易错提醒】第（2）问排除；第（3）问要求说明唯一性，不能只验一个数。 【评分标准】（2分）验证的平方根与立方根整值。 （4分）使用六次方材料确定整数范围并列全。 （4分）求出并用单调增大说明唯一。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第3题）已知且，下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题）要使有意义， 下列数中不能取的是（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）同时满足和的实数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．无数个 4．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第9题）已知是有理数，是无理数。下列数中一定是无理数的是（　　） A． B． C． D． 5．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第13题）已知，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2025·镇江期末公开重排版第9题）正方形的边长精确到米后为米。关于它的实际面积与平方米的关系，下列判断正确的是（　　） A．一定等于 B．一定小于 C．一定大于 D．既可能小于，也可能大于 7．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第13题）同一个正数，精确到千位时记为万，精确到百位时记为万。下列数中，可能是这个正数的是（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）满足的正整数共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州树人期中公开重排版第12题）实数满足且。数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________。 10．实数互为相反数，且是无理数，则一定为________数（填“正”“零”或“负”）。 11．（改编自2025·南京中考公开重排版第4题）计算：________。 12．（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第12题）设，， 则的平方根为________。 13．（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第6题） 使有意义的整数共有________个。 14．（改编自2024·泗洪期中公开重排版第22题）已知对任意实数，。满足的实数数对共有________组。 15．（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第23题）已知，，则把精确到十分位的结果是________。 16．（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第10题）在到的整数中，满足且为无理数的共有________个。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第5题）小明说：“无论取何实数，都等于。” （1）用检验这句话，并改正为对所有实数都成立的等式。 （2）求使成立的全部实数。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第24题）阅读材料：若两个非负数的算术平方根相等，则这两个数相等；若两个实数的立方根相等，则这两个数相等。利用材料解下列等式，并检验根式是否有意义。 （1）； （2）。 19．（6分）（改编自2024·无锡玉祁第一次月考公开重排版第6题）研究正数与的大小关系。 （1）当时，把按从小到大的顺序排列。 （2）当时，比较与的大小，并说明理由。 （3）“若，则”是否正确？说明理由。 20．（6分）一个密闭实心正方体零件的体积为。现有内棱长分别为与的两个正方体包装盒，不计盒壁厚度和装入间隙，零件与盒子按对应棱平行的方向装入。已知，，。 （1）零件棱长位于哪两个相邻的十分位小数之间？ （2）两个盒子中哪一个能够装下它？说明理由。 （3）若先把零件棱长精确到再判断，可能得到什么错误结论？ 21．（6分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第16题）正数的两个平方根是和。 （1）用表示，并证明。 （2）若，求以及的全部可能值。 （3）在第（2）问条件下，若，求。 22．（8分）（改编自2024·苏州振华期中公开重排版第22题） 已知实数使与互为相反数。 （1）求满足的一个线性关系。 （2）小华认为对所有满足条件的都有意义，且等于。这句话是否正确？若不正确，给出反例，并写出使该结论成立所需补充的条件。 （3）若都是整数且，列出所有可能的数对。 23．（8分）在数轴上，点分别表示，动点表示实数。 （1）当时，求。 （2）求使成立的全部。 （3）当为整数时，第（2）问中的等式能否成立？已知为无理数，请说明理由。 24．（8分）（改编自2024·南京金陵汇文12月月考公开重排版第16题）材料：对正整数，记，则。 （1）比较的大小，说明理由。 （2）计算。 （3）小明认为“相邻两项都很接近，所以前项的和小于”。判断这句话，并求出前项的和。 25．（10分）（改编自2025·南京中考公开重排版第11题）阅读材料：。设为的正根。已知，，且是无理数。 （1）用根号表示，并给出介于哪两个相邻整数之间。 （2）利用，把化为不含的二次及以上幂的式子，再确定介于哪两个相邻整数之间。 （3）是有理数还是无理数？说明理由。 26．（10分）两个正整数分别为两个相邻正整数的平方，且。 （1）若，求。 （2）能否为偶数？说明理由。 （3）如果且，其中为正整数，写出关于的表达式，并说明它们是否都大于。可使用材料：。 27．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期末公开重排版第7题）称一个正整数为“双整根数”，是指和都是整数。阅读材料：一个正整数同时是完全平方数和完全立方数，当且仅当它能写成某个正整数的六次方，即；此时，。以下可以直接使用这段材料。 （1）验证是双整根数，并写出这两种根的整数值。 （2）求范围内的全部双整根数。（已知，） （3）若双整根数满足，求，并说明为什么不会有另一个不同的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $