第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 第2章实数单元提升卷，立足单元复习，覆盖实数概念、运算及应用，通过传统与现实情境融合，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配初中数学单元巩固与培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|无理数判断、平方根计算、数轴与实数|结合数轴遮挡（第2题）、传统单位“亩”（第7题），考查几何直观与应用意识| |填空题|8/16|实数大小比较、规律探究、图形拼接|设计数值排列规律（第16题）、长方形拼正方形（第15题），发展抽象能力与空间观念| |解答题|11/68|实数运算、实际问题、规律推理|绣布面积计算（第20题）、数值转换器（第24题）、算式规律探究（第27题），梯度覆盖基础运算到创新应用，体现数学思维与表达|

第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B A D C A 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 【详解】解： ．...............3分 18． 【详解】（1）解： 解得：或...............3分 （2）解： 解得：...............5分 19． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为；...............3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为．...............5分 20． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为；...............2分 （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来．...............5分 21． 【详解】（1）解：∵，即，a为的整数部分， ∴． ∵的立方根是2， ∴， ∴；...............2分 （2）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分，的小数部分， ∴， ∴的平方根为．...............5分 22． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为；...............3分 （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为．...............6分 23． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2；...............2分 （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为；...............4分 （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为．...............6分 24． 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为；...............2分 （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1；...............4分 （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9................6分 25． 【详解】（1）解：∵，其中为有理数， ∴，； ∴，．...............2分 （2）解：∵， ∴ ∵x、y为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为5或．...............6分 26． 【详解】（1）解：根据题意可得，．...............3分 （2）解：当时，；当时，．...............6分 （3）原式 ．...............10分 27． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，那么；...............2分 ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是，...............5分 （2）解： ；...............8分 （3）解： ．...............11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章实数的初步认识（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.在实数5，，0,1中，最小的是() A-V2 B-1 C.0 D.1 2.如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是() 久 A v3 B.VA cv5 D.vio 3.下列计算或说法中，错误的是() A.(-2}=2 D.5的平方根是±号 4 C.0.9的算术平方根是0.3 5 22 4.数π’7，-5,27,3.1416,0中，无理数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.按-定规律排列的代数式：后，3Wa.5后，7G9 ,…,第”个代数式是() A.(2n-1)va B.(2m+)a C.(n+1)va D.2026Va 6,已知x,’,为三角形的三边长，且满足3x-3)+-2+2y=k-y-+V+y- ,则以x,y 为边长的等腰三角形的周长为() A.5 B.7 C.8 D.7或8 7.亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩≈666.67平方米.根据下列表格中的数据，面积为 1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是()米 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A.25.79~25.80B.25.80~25.81 C.25.81~25.82 D.25.82-25.83 &E5居8隔音-侣. 按此规律，若 0一ga否a.b为数·剥6如-产的位为《） 6 A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 64 9.25的算术平方根是 -0.125的立方根是 √的平方根是 V5-1 10.比较大小：124 5,2 2 (填“>”，“<”或“=”) 11.如图，数轴上在点A,点B之间，且表示整数的点有一个. A B ⑤ 12.已知=-8+8-+2，则四 的算术平方根为 13.若2.456=a,V24.56=b245.6=cV2456- ,则 (用“、b、C来表示). 14,已知a、b、c分别为aABC的三边长，化简：2V(a-b-c}-b-c-a= 15.如图1，把两个边长为lm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可 以得到一个面积为2dm的大正方形：通过动手操作，小张同学把长为5dm,宽为ldm的长方形如图2所示 进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 dm 图1 图2 215 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.将、2、5、4、…按如图方式排列，若规定 表示第*排从左向右第'个数，若V2028 x,y 在a,）,则a-b的值为 √T 第1排 √4√52 第2排 √56√7√8阿 第3排 6514312io →第4排 。 第5排 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.计算： V25-64+l-5 18.解方程： (①40x+52-1=120 (②3x-°-125=0 19.已知2a-1的平方根为±3,3a-b-1的立方根为2. (1)求3a-b的算术平方根： ②若‘是万的整数部分，求0+2+5c的立方根。 20.《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极 高的工艺水平和独特的工艺门类.现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为432cm2. (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为246cm的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说 明理由.（π取3） 21.观察：因为 4<万<5.即2<7<3， 所以V 的整数部分为2，小数部分为7-2.根据上述规 律，解决下面的问题： 0)如果5的整数都分为43如=h-5 的立方根是2，求a和b的值： 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17-3 √17-3 （-m)3+(n+4)2 (2)已知m是 的整数部分，n是 的小数部分，求 的平方根。 22.实数的化简与计算.已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示. b 0 a )化简：Va+b-b-小--2c的平方根 (②若0的算术平方根为3，b的立方根为3，b和c是互为相反数，求Va+-b-c--2© 的平方根。 23.如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8. D A -4-3-2-101234 ① ② (1)求出这个魔方的棱长： (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长： (3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与表示-2的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 24.一个数值转换器如图所示： 是 输入x/ 取算术平方根 →<是无理数 输出y 否 (1)当输入x的值为256时，输出y的值是 (2)若输入有效的x值后，始终无法输出'的值，请你写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； ③若输出'的值是5，请写出两个清足要求的'的位： 25.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无 理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果mx+n=0,其中、n为有理数.x为无理数，那么m=0, n=0.运用上述知识解决下列问题： (①如果m+1N3+n-2=0 其中、n为有理数，则m三 n 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若xy均为有理数，且x+W2+x-17=22-y ,求+ 、x+y 的值 26.对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： --周g任可-母 观察上述式子的特征，解答下列问题： ()把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； V10-6)2= V7-92= (2)当a>b时， Va-b)= 当a<b时， V(a-b)2= 可Gg哥+as 1 3)计算： 026 27.问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式.阅读观察下列算式，探求规律： 73 94 实践探究： (1)按照此规律： 19 ①计算： 100 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，且n为正整数) 1 (2)直接写出结果： 迁移应用： 7.9 91 (3)计算： +g+6 4×1 2025. 5/5 第2章 实数的初步认识（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ， ， 、， ， ， 最小的是． 2．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 3．下列计算或说法中，错误的是（     ） A． B． C．0.9的算术平方根是0.3 D．的平方根是 【答案】C 【详解】选项A，，A选项正确． 选项B，，，B选项正确． 选项C，，0.9的算术平方根不是0.3，C选项错误． 选项D，，的平方根是，D选项正确． 4．数，，，，，中，无理数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，逐一判断每个实数是否为无理数． 【详解】解：． 、、、是有理数．、是无理数，共2个． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 6．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 7．亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：面积为1亩的正方形面积约为平方米， 设正方形边长为，则正方形面积为， 由表格可知：当时，， 当时，， ∵， ∴， 即边长范围是． 8．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是，的平方根是． 10．比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 11．如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 12．已知，则的算术平方根为_______． 【答案】 【分析】根据被开方数非负列出不等式组求出x的取值范围，进而确定x的值和y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得 ∴， ∴ ， ∴的算术平方根为． 13．若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 14．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 15．如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 16．将、、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为_____． 【答案】 【分析】先观察排列规律，得出第排有个数，且奇数排从左到右递增、偶数排从左到右递减；再计算前排的总个数，确定所在的排数，最后根据该排的排列方向确定其位置，进而求出的值． 【详解】解：由图可得第排有个数， ∴前排的数的总个数为：． ∵，， ∴前排共有个数，前排共有个数． ∵（即）， ∴在第排，即． 由图可得偶数排从左到右递减，第排的数从开始，依次为， ∴第排从左数第个数为． ∵， ∴， 解得． ∴． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 解得：或 （2）解： 解得： 19．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算得，，则，计算的算术平方根即可； （2）根据题意计算得，则，计算的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为． 20．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 21．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．根据上述规律，解决下面的问题： (1)如果的整数部分为a，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）仿照题干求出a的值，根据立方根的定义求出，即可求出b的值； （2）先求出的取值范围，进而得到m、n的值，代入求值，最后求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵，即，a为的整数部分， ∴． ∵的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分，的小数部分， ∴， ∴的平方根为． 22．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 23．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 24．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 25．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________； (2)若x、y均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)，2 (2)的值为5或－3 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）解：∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）解：∵， ∴ ∵x、y为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为5或． 26．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 27．问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： ，，，，…． 实践探究： (1)按照此规律： ①计算：______； ②第n个式子是______；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：______； 迁移应用： (3)计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）根据①得到的规律化简每一个根式，再计算乘法即可； （3）先计算每一个根式，再计算乘法． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，那么； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， （2）解： ； （3）解： ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $