第3章 勾股定理（单元自测·培优卷）2026-2027学年数学苏科版八年级上册

第3章 勾股定理·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）设。下列结论正确的是（　　） A．三数一定都是整数 B．不是整数时，这三数一定不能作直角三角形的边 C．这三数一定能作直角三角形的边，但未必是勾股数 D．只有时这三数才能作直角三角形的边 2．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第5题）三角形三边为，满足。这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．只有一组邻边相等的钝角三角形 C．不能确定 D．等腰直角三角形 3．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第24题）等腰三角形中，，是底边上的中线。点在线段上，交于，且。已知，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第8题）在中，，垂足为，在线段上，为中点，，。则等于（　　） A． B． C． D． 5．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第2题）两艘船同时从同一港口出发，分别以每小时海里、海里的速度向正北、正东匀速航行。两船相距海里时，已经过（　　） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 6．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第22题）梯子斜靠竖直墙面，初始底端离墙根米、顶端离地米。底端沿水平地面外移米后，顶端下降的距离（　　） A．大于且小于米 B．等于米 C．大于米 D．等于米 7．（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第12题）在中，，平分交于。若，，则为（　　） A． B． C． D． 8．（选自2024·南京秦淮期中，公开重排版第16题）矩形中，，，为中点。点在线段上，按到的方向，在前方，（允许或）。 的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第12题）一个长方体的长、宽、高分别为、、。一根连接两个不在同一表面的顶点的细杆恰好放在其中，细杆长度为________。 10．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第24题）竖直旗杆高米，地面固定点距杆脚米，要求铁索笔直连接旗杆顶和固定点。铁索每米为一个购买单位，不计预留长度，至少购买________米。 11．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第18题）在中，，在线段上，，，。则________。 12．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第25题）四边形中，，点在直线同侧，。点从沿向以每秒个单位长度的速度运动，点同时从沿向以每秒个单位长度的速度运动。运动秒时，________。 13．（改编自2023·常州期中，公开重排版第8题）三角形有两边长分别为和，第三边可取。其中面积最大时，第三边长是________。 14．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第12题）在中，，，于。若，则________。 15．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第16题）等腰直角三角形中，。平分，于。则的面积为________。 16．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第6题）等腰三角形中，，，为线段上任意一点（含端点）。过作、。则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第13题）把三角形纸片沿折叠，点在线段上，点落在上的点处（）。已知，。 （1）证明； （2）不求，直接求。 18．（5分）（改编自2023·常州期中，公开重排版第7题）小辰说：“直角三角形两直角边为，斜边为，若，那么。” （1）指出错误，写出与的正确关系； （2）若这个直角三角形的面积是，求。 19．（6分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第17题）测量点、隧道入口与另一开挖点依次位于同一水平直线上。为确定山另一侧的，测量人员在过且垂直的直线上取点，测得， 米。 （1）求的精确长度； （2）若，约为多少米（精确到米）？ （3）小陆把直接作为的测量值，误差约多少米？ 20．（6分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第19题）某平面示意图取单位正方形网格，标出。 （1）通过计算判断的形状； （2）求这个三角形的周长； （3）小方格边长改为原来的倍后，周长和面积分别成为原来的多少倍？ 21．（6分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第20题）在中，，，。是的平分线，点在上，点分别在上，四边形为正方形。 （1）证明也在的平分线上； （2）求正方形边长。 22．（8分）四边形的对角线、垂直相交于内部点。 （1）证明； （2）若，，，求； （3）小宁说：“只要四边形四边满足（1）中的等式，两条对角线就垂直。”另取一个凸四边形，其四边满足该等式；过分别作的垂线，垂足均在线段内。在这些条件下，他的判断是否正确？请证明。 23．（8分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第11题）边长为的正方形纸片中，点为中点。折叠使与重合，折痕分别交于。 （1）求； （2）求及折痕的长。 24．（8分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第25题）在中，，，。动点从出发，沿射线以每秒运动，运动时间为秒。 （1）求； （2）当为直角三角形时，求所有的值（不与重合）； （3）说明为什么不能把作为直角。 25．（10分）（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第23题）笔直公路同侧有两地，垂足为，千米，千米，千米。 （1）求； （2）在上建站，要求，设千米，求并验证位置符合要求； （3）该等距车站同时能使最小吗？请说明理由。 26．（10分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第22题）正方形边长为，点在线段上，点在线段上，且，。 （1）将绕顺时针旋转，得到，指出的排列顺序； （2）证明； （3）求。 27．（10分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第15题）在中，，，，。沿折叠，使落在上的处，在上。 （1）求和； （2）在线段上运动，且（允许），求周长的最小值及取到时的位置； （3）若要求不能与重合，是否仍有周长最小值？说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）设。下列结论正确的是（　　） A．三数一定都是整数 B．不是整数时，这三数一定不能作直角三角形的边 C．这三数一定能作直角三角形的边，但未必是勾股数 D．只有时这三数才能作直角三角形的边 【答案】C 【详解】恒有，且三数均为正。最大数为，另外两数之和减它为，所以能构成三角形，再由勾股定理逆定理知其为直角三角形。但不是整数时三数未必均为整数，例如时三数为，故未必是勾股数。 【易错提醒】勾股数还要求三个数均为正整数。 2．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第5题）三角形三边为，满足。这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．只有一组邻边相等的钝角三角形 C．不能确定 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】两个非负数的和为，故且。因此是等腰直角三角形。 【易错提醒】由平方和为零应同时提取两个条件。 3．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第24题）等腰三角形中，，是底边上的中线。点在线段上，交于，且。已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则等腰三角形三线合一给。又，所以。由勾股定理得。 【易错提醒】题目未直接给直角，应先由中线与等角条件证明。 4．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第8题）在中，，垂足为，在线段上，为中点，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直角三角形中，斜边中点到三个顶点距离相等，故。 。 【易错提醒】中点属于斜边，不是的中点。 5．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第2题）两艘船同时从同一港口出发，分别以每小时海里、海里的速度向正北、正东匀速航行。两船相距海里时，已经过（　　） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【详解】设经过小时，。由勾股定理，，得，故。 【易错提醒】船间距离不是两段航程直接相加。 6．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第22题）梯子斜靠竖直墙面，初始底端离墙根米、顶端离地米。底端沿水平地面外移米后，顶端下降的距离（　　） A．大于且小于米 B．等于米 C．大于米 D．等于米 【答案】A 【详解】梯长平方为。新高度为。下降米；因，有，故下降量大于且小于米。 【易错提醒】底端外移量通常不等于顶端下滑量。 7．（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第12题）在中，，平分交于。若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，故，。 。又，故。 【易错提醒】先确认是小直角三角形的斜边。 8．（选自2024·南京秦淮期中，公开重排版第16题）矩形中，，，为中点。点在线段上，按到的方向，在前方，（允许或）。 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点沿方向平移得，则。再将关于对称为，故。 水平距离为、竖直距离为，所以最小值为。连接与相交的点在内，且对应也在内，等号可取。 【易错提醒】定长须先通过平移处理，不能直接对角线相加。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第12题）一个长方体的长、宽、高分别为、、。一根连接两个不在同一表面的顶点的细杆恰好放在其中，细杆长度为________。 【答案】 【详解】先求底面对角线，再求细杆长。 【易错提醒】空间对角线应经过两次勾股，不能把面上展开最短路当作内部线段。 10．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第24题）竖直旗杆高米，地面固定点距杆脚米，要求铁索笔直连接旗杆顶和固定点。铁索每米为一个购买单位，不计预留长度，至少购买________米。 【答案】 【详解】需要长度为米。因，按米购买至少为米。 【易错提醒】购买长度应向上满足实际需要，不能四舍五入后向下截短。 11．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第18题）在中，，在线段上，，，。则________。 【答案】 【详解】为等腰直角三角形，故。 中，，所以。因此。 【易错提醒】两段相加，不能直接把视作一边长。 12．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第25题）四边形中，，点在直线同侧，。点从沿向以每秒个单位长度的速度运动，点同时从沿向以每秒个单位长度的速度运动。运动秒时，________。 【答案】 【详解】取。运动秒，，所以。两点水平相距、竖直相距，故。此时两点均未到达终点。 【易错提醒】两点相向变化的水平位置应分别计算，不能把两段路程相减作为PQ。 13．（改编自2023·常州期中，公开重排版第8题）三角形有两边长分别为和，第三边可取。其中面积最大时，第三边长是________。 【答案】 【详解】以长为的边为底，另一条长为的边在垂直于底时高最大为，最大面积。这时第三边为，属于备选值。 【易错提醒】第三边最长并不代表面积最大。 14．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第12题）在中，，，于。若，则________。 【答案】 【详解】。设，则。由、及，得。也可用两个直角三角形，。 【易错提醒】是小直角三角形中所对的边。 15．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第16题）等腰直角三角形中，。平分，于。则的面积为________。 【答案】 【详解】将关于角平分线对称到，则在射线上，且为的中点。因为到直线的距离为，故到的距离为到距离的一半。因此。 【易错提醒】E是垂足而不是BC中点；面积关系来自折叠对应后的中点。 16．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第6题）等腰三角形中，，，为线段上任意一点（含端点）。过作、。则________。 【答案】 【详解】底边高为，面积为。又，故。 【易错提醒】点到边的距离必须是垂线段长度，不能直接加斜线。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第13题）把三角形纸片沿折叠，点在线段上，点落在上的点处（）。已知，。 （1）证明； （2）不求，直接求。 【答案】（1）见解析；（2）。 【详解】折叠保持角度，。因为反向射线，这两角和为，故各为，所以。 。在两个直角三角形中，，，相减得。 【易错提醒】折叠不表示；公共的高平方可以消去。 【评分标准】（3分）折叠保持角度，。因为反向射线，这两角和为，故各为，所以。 （2分）。在两个直角三角形中，，，相减得。 18．（5分）（改编自2023·常州期中，公开重排版第7题）小辰说：“直角三角形两直角边为，斜边为，若，那么。” （1）指出错误，写出与的正确关系； （2）若这个直角三角形的面积是，求。 【答案】（1）；（2）。 【详解】勾股定理是平方关系，，不能把两直角边相加当作斜边。 面积为，故。于是，由于，有。 【易错提醒】从取长度的正值。 【评分标准】（3分）勾股定理是平方关系，，不能把两直角边相加当作斜边。 （2分）面积为，故。于是，由于，有。 19．（6分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第17题）测量点、隧道入口与另一开挖点依次位于同一水平直线上。为确定山另一侧的，测量人员在过且垂直的直线上取点，测得， 米。 （1）求的精确长度； （2）若，约为多少米（精确到米）？ （3）小陆把直接作为的测量值，误差约多少米？ 【答案】（1）米；（2）米；（3）约米。 【详解】为反向射线，所以。又，故。由得米。 米，精确到米约为米。 直接用斜边替代直角边会高估，约多米，精确到米约为米。 【易错提醒】斜向测距不能直接等同于垂直偏移量。 【评分标准】（2分）为反向射线，所以。又，故。由得米。 （2分）米，精确到米约为米。 （2分）直接用斜边替代直角边会高估，约多米，精确到米约为米。 20．（6分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第19题）某平面示意图取单位正方形网格，标出。 （1）通过计算判断的形状； （2）求这个三角形的周长； （3）小方格边长改为原来的倍后，周长和面积分别成为原来的多少倍？ 【答案】（1）直角三角形，直角在；（2）；（3）倍、倍。 【详解】，，，有，故。 ，，，周长为。 所有边长变为原来的倍，所以周长变为倍；面积由两条直角边的积的一半计算，变为倍。 【易错提醒】面积放大倍数不同于长度放大倍数。 【评分标准】（2分），，，有，故。 （2分），，，周长为。 （2分）所有边长变为原来的倍，所以周长变为倍；面积由两条直角边的积的一半计算，变为倍。 21．（6分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第20题）在中，，，。是的平分线，点在上，点分别在上，四边形为正方形。 （1）证明也在的平分线上； （2）求正方形边长。 【答案】（1）见解析；（2）。 【详解】正方形给，且、。过作，由于在平分线上，有，所以到等距，位于的平分线上。 勾股定理得。设，以连接三顶点，将三角形面积分割，，解得。 【易错提醒】内点到三边等距后，才能用三块三角形同高的面积和。 【评分标准】（3分）正方形给，且、。过作，由于在平分线上，有，所以到等距，位于的平分线上。 （3分）勾股定理得。设，以连接三顶点，将三角形面积分割，，解得。 22．（8分）四边形的对角线、垂直相交于内部点。 （1）证明； （2）若，，，求； （3）小宁说：“只要四边形四边满足（1）中的等式，两条对角线就垂直。”另取一个凸四边形，其四边满足该等式；过分别作的垂线，垂足均在线段内。在这些条件下，他的判断是否正确？请证明。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）正确。 【详解】由四个直角三角形，，，，，两边相加均为四段平方和。 ，故。 设，，。由勾股定理，，。已知等式使两式相加为，故，得，即重合。因此在过同一垂足的垂线上，。 【易错提醒】逆向判断需完整证明，不应仅因正向成立就断言逆向成立。 【评分标准】（3分）由四个直角三角形，，，，，两边相加均为四段平方和。 （3分），故。 （2分）设，，。由勾股定理，，。已知等式使两式相加为，故，得，即重合。因此在过同一垂足的垂线上，。 23．（8分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第11题）边长为的正方形纸片中，点为中点。折叠使与重合，折痕分别交于。 （1）求； （2）求及折痕的长。 【答案】（1）；（2），。 【详解】设。折叠得，而、，故，解得。 设，折叠得，故，解得，所以。 水平距离为，沿方向距离为，故。 【易错提醒】折痕上的点同时到等距；应核验交点落在两条边内。 【评分标准】（3分）设。折叠得，而、，故，解得。 （3分）设，折叠得，故，解得，所以。 （2分）水平距离为，沿方向距离为，故。 24．（8分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第25题）在中，，，。动点从出发，沿射线以每秒运动，运动时间为秒。 （1）求； （2）当为直角三角形时，求所有的值（不与重合）； （3）说明为什么不能把作为直角。 【答案】（1）；（2）或；（3）在射线上时，为锐角。 【详解】。 若直角在，则，所以。若直角在，此时越过。设，则，，而，故，得、。 且在射线上，与固定锐角相同，不能为直角。两种候选均满足射线范围，因此答案完整。 【易错提醒】射线不等于线段；越过之后仍须讨论。 【评分标准】（3分）。 （3分）若直角在，则，所以。若直角在，此时越过。设，则，，而，故，得、。 （2分）且在射线上，与固定锐角相同，不能为直角。两种候选均满足射线范围，因此答案完整。 25．（10分）（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第23题）笔直公路同侧有两地，垂足为，千米，千米，千米。 （1）求； （2）在上建站，要求，设千米，求并验证位置符合要求； （3）该等距车站同时能使最小吗？请说明理由。 【答案】（1）千米；（2）千米；（3）不一定，本题等距站不是总路程最短的站点。 【详解】两地在公路同侧，高度差为，故。 ，。令其相等，得，所以，且。 等距站有，故。因为，所以这个和大于。另选站点，则；因，此和小于。因此另有站点使总路程更短，等距站并非最短路站，无需确定真正的最短点。 【易错提醒】“到两点等距”与“距离和最小”对应不同的几何条件。 【评分标准】（4分）两地在公路同侧，高度差为，故。 （3分），。令其相等，得，所以，且。 （3分）等距站有，故。因为，所以这个和大于。另选站点，则；因，此和小于。因此另有站点使总路程更短，等距站并非最短路站，无需确定真正的最短点。 26．（10分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第22题）正方形边长为，点在线段上，点在线段上，且，。 （1）将绕顺时针旋转，得到，指出的排列顺序； （2）证明； （3）求。 【答案】（1）；（2）见解析；（3）。 【详解】旋转后与重合，对应，且在的延长线上，因此顺序为，。 。又、公共，故，从而。 设，则，，。勾股定理给，解得，符合。 【易错提醒】旋转后在正方形外，不能把写成。 【评分标准】（4分）旋转后与重合，对应，且在的延长线上，因此顺序为，。 （3分）。又、公共，故，从而。 （3分）设，则，，。勾股定理给，解得，符合。 27．（10分）（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第15题）在中，，，，。沿折叠，使落在上的处，在上。 （1）求和； （2）在线段上运动，且（允许），求周长的最小值及取到时的位置； （3）若要求不能与重合，是否仍有周长最小值？说明理由。 【答案】（1）；（2）最小值，；（3）没有最小值。 【详解】折叠得，所以。设，则，；由于，，得、。 折痕上的点满足，故周长。等号需共线，在线段上只有，故最小值为。 排除后，任何允许点均有；把沿向移动得越来越接近的周长，因唯一等号点被排除，不存在最小值。 【易错提醒】必须审查最短路等号位置；排除唯一等号点后不能仍把下界当最小值。 【评分标准】（4分）折叠得，所以。设，则，；由于，，得、。 （3分）折痕上的点满足，故周长。等号需共线，在线段上只有，故最小值为。 （3分）排除后，任何允许点均有；把沿向移动得越来越接近的周长，因唯一等号点被排除，不存在最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $