第3章 勾股定理 单元练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第3章勾股定理专题练习 勾股定理与折叠问题 一、长方形中的折叠 1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=10,AD=6,点E为AD边上一点， 将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上的，点F处，则AE的长为（) A号B号cn号 2.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B 落在CD边上的B处，点A的对应点为A,若BC=3,则BN=,AM= 1/18 3,如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将△BCE沿CE翻折得到 △GCE延长CG交AD于点H,连接EH (I)求证：△EAH≈△EGH: (2)若AB=10,求CH的长. 4.如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,点P,E分别是边AB,BC上 的动，点，连接DP,PE将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，点A与，点B分别 落在点A,B处 (1)如图②，当，点P运动到边AB的中点处时，点A与点B重合于点F处，过 点C作CK⊥EF于点K,求CK的长； (2)当点P运动到某一位置，若P,A,B三，点恰好在同一直线上，且 AB=4?试求此时AP的长， 2/18 BE B ① ② 备用图 二、三角形中的折叠 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,,点D为斜边AB上一点，连 接CD,将△BCD沿CD翻折，使，点B落在，点E处，点F为直角边AC上一，点，连接 DF,将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合.若AD=5,则AF的长为 () A.1 c 6.如图，三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AB=5.D是BC边上一 ,点，连接AD,把△ABD沿AD翻折，点B恰好落在AC延长线上的，点B处，则CD 3/18 的长为 7.如图，折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在AB边上的点F处，折痕为 DE已知AB=AC,FD⊥BC, (1)猜想∠AFE的度数，并说明理由； (2)AF=4,BF=6,求AE的长. B D 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，进行如下操作： (I)如图①，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合， 折痕为DE,若AC=3,BC=4,求CD的长； (②)如图②，将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE 重合，若AC=3,BC=4,求CD的长. 4/18 B2---- B4 ② 勾股定理与夹半角模型 方法技巧：夹半角，线集中，勾股解 基本模型： 如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,点D,E是斜边BC上两，点，且 ∠DAE=45,则BD+CE2=DE2. 1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E分别在边BC及 其延长线上，BD2+CE=DE,F为△ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE, 则结论：①AF=AE:②∠DAE-45:③SAe=AD-EF:④ CE2+BE2=2AE2其中正确的是（) 5/18 A.①②③④ B.①②④ c.①③④ D.①② 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E均在边BC上，且 ∠DAE=45若BD=4,CE=3,则DE= 3.如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,点D,E是斜边BC上的两，点，且 ∠DAE=45°.若BD=6,CE8,则△ABD与△ADE的面积之比为 4.如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC,AD=AF,点D,E为BC边上的 两点，且∠DAE=45°，连接EF,BF,则下列结论正确的是 ①△AED≈△AEF;②△AED为等腰三角形：③BE十DC>DE:④ BE+DC2>DE2 6/18 5.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90,D,E为BC上两点， ∠DAE=45,F为△ABC外一点，且FB⊥BC,A1AE?则下列结论：① CE=BF:②BD+CE=DE:®SDE号ADEF:@CE+BE=3AE共 中正确的是 (填序号) 】 6.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E在直线BC上.如图①，若 ∠DAE=45,求证：BD2+CE2=DE 【阅读理解】 要证明BD十CE=DE,可设法将BD,CE,DE转化为某直角三角形的 三边，故过点A作AF⊥AD,且AF=AD,连接CF,EF.再通过证明 △ABD=△ACF,△AED=△AEF,即可将BD,CE,DE转化到直角△ECF 7/18 中解决问题 【拓展应用】 如图②，若∠DAE=135°，其他条件不变，请探究：以线段BE,CD，DE 的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由 E 综合与实践 1.【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的 五边形ABEFG 【探索新知】 (I)从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形ABEFG的面积，并写出 得到等式a十b2=c的过程 8/18 (②)如果满足等式Q十b2=c的a,b,c是三个正整数，我们称a,b,c为 勾股数.已知m,n是正整数且m>n,证明：2mn,m2-n2,m2十n是勾股数. 【灵活运用】 (3)在如图所示的五边形ABEFG中，若a=4,b=8,则空白部分的面积为 (④)请写出任意一组含有85的“勾股数”： (5)小明在他找到的勾股数的表达式中，用2n十4n十4（为任意正整数）表 示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是 a C 2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力如图①是著名的 赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大 正方形的面积有两种求法，一种是等于℃，另一种是等于四个直角三角形与一 个小正方形的面积之和，即b×4十b-a,从而得到等式 9/18 C2=ab×4+b-a尸，化简便得结论a+b2=c2这里用两种求法来表示同一个量 2 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”· a-t D C D ① ② ③ 【方法运用】千百年来，人们争先恐后地证明勾股定理，其中有著名的数 学家，也有业余数学爱好者向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的直 角△ABC和△DEA如图②放置，其三边长分别为 a,b,c,∠BAC=∠DEA=90,显然BC⊥AD (1)请用a,b,C分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,△EBD的面积， 再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a十b=c (2)如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6, 设BD=x,求X的值 10/18 答案 勾股定理与折叠问题 1.B 2.52 3.(1)证明：·点E为边AB的中点， .'AE=BE' 由翻折可知：i=BE,∠A=∠EGH=∠EGC=90°，∴.AE=≥U, EH=EH, 在Rt△EAH与Rt△EGH中， AE=≥， .∴.Rt△EAH≌Rt△EGH(HL). (2)解：在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=10, .Rt△EAH≌Rt△EGH, .'AH=GH,.'DH=AD-AH=10-AH' 由翻折可知：GC=BC=10. .∴.CH=CG+GH=10+AH, DH2+CD2=CH2, ∴.10-AHP+10=10+AH2, .∴.AH=2.5,∴.CH=10+AH=12.5. 4.解：(1)由折叠知∠PFD=∠PFE=90°， 11/18 ∠PFD+∠PFE=180,即E,F,D三点在同一直线上。 设BE=EF=x,则EC=6一x, DC=AB=8,DF=AD=6, :.在RtA DEC中，DE=DF+FE=6+X,EC=6-X,DC=8: 6*x=6-X+8,解得x-号即C=F-号 ∴0E-9,c-9 s0ccE-eK,平a×9-9ck,CK-智 33 (2)设AP=X,则PB=8一x. 由折叠可知，PA=PA=X,PB=PB=8一X. .AB=4,..PB-PA=4PA-PB=4 由PB一PA=4,得8-X-X=4,.x=2,即AP=2. 由PA-PB=4,得x-8-x=4, X=6:即AP=6 综上所述，AP的长为2或6. 5.D 6.3 7.解：(1)∠AFE的度数为90°，理由如下： 12/18 .AB=AC,∴.∠B=∠C, 由折叠的性质可知，∠DFE=∠C,EF=CE, .∠DFE=∠B,.FD⊥BC,∴.∠BDF=90°， ∴.∠B+∠BFD=180°-∠BDF=90°， ∴.∠DFE+∠BFD=90°， ∴.∠AFE=180°-∠DFE+∠BFD=90°， .∠AFE的度数为g0 (2)AF=4,BF=6,∴.AC=AB=10, 设AE=x,则EF=CE=10一X, 在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF2=AE2-EF2, 即42=x2-10-x2, 解得x=29 ,AE的长为29 5 8.解：(I)由折叠可知AD=BD=BC一CD, 在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD=CD+AC2, .BC-CD=C D2+AC2, 4-CD=CD2+32,CD=7 8 (2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90° 13/18 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,∴.AB=5, .∴.BE=AB-AE=5-3=2' BD=BC-CD=4-CD. 在Rt△BED中，根据勾股定理得BD=ED+BE2, 4-CDF-GD'+2,GD-3 勾股定理与夹半角模型 1.A 2.5 3.3:5 4.①③ 5.①②③ 6.【阅读理解】证明：如答图①，过点A作AF⊥AD,且AF=AD,连接 CF,EF, .'∠DAE=45°，∠DAF=90°， .∠DAE=∠EAF=45, EA=EA, 在△EAD和△EAF中，了∠EAD=∠EAF, AD=AF, 14/18 ∴.△EAD≌△EAF,∴.DE=EF .∠BAD+∠CAE=45°，∠CAE+∠CAF=45°， ∴.∠BAD=∠CAF? AB=AC, 在△BAD和△CAF中 ∠BAD=∠CAF, AD=AF, ∴.△BAD≌△CAF, .BD=CF,∠B=∠ACF=45, .∠ACB=45°，∴.∠ECF=90°， ∴.EF2=EC2+CF2, ∴.DE2=BD2+CE2. 【拓展应用】解：以线段BE,CD,DE的长度为三边长的三角形是直角三 角形 理由：如答图②，作AF⊥AE,使得AF=AE,连接DF,CF ,∠EAF=∠BAC=90? ∴.∠FAC=∠EAB AF=AE, 在△FAC和△EAB中， ∠FAC=∠EAB, AC=AB, .∴.△FAC≌△EAB, ,∴.BE=CF,∠ACF=∠EBA=45, 15/18 .∠ACB=45°，.∴.∠FCB=90° .∠DAE=135°，∠EAF=90°， .∴.∠DAF=360°-135°-90°=135， .∴.∠DAF=∠DAE AD=AD,AF=AE' ∴.△DAF≌△DAE,∴.DF=DE. 在Rt△DCF中， .DF2=DC2+CF2, ∴.DE2=DC2+BE2, :.以线段BE,CD,DE的长度为三边长的三角形是直角三角形 D B E ② 综合与实践 1.(1)解：如答图 16/18 G S五边形ABEFG=SE方形ABDN+SE方形MDEP+S△MFG+S△AMG -b+d+jab+jab-o+b'+ab. S五t边形A=SE器c+Saa+SAc=C+ab+ab=c+ah) ..a+b2+ab=c+ab,..a2+b2=c2. (2)证明：：2mn?=4m2n2,m2-n2=m+-2mm2, .2mnP+m2-n2=4m2n2+m4+n4-2m2n2=m2+n2, :m,n是正整数且m>n .2mn,m2-n2,m2+n2都是正整数， 2mn,m2-n2,m2+n2是勾股数. (3)48 (4)85,3612,3613(答案不唯一) (5)2n2+4n4n+4 2.(1)证明：：S四边形ABDC= Sa方a-b1a,S5=Se5+Sa -号b*olb+a-ba. 2 17/18 2c0+b+0-2b, 21 2 2 .a2+b2=c2 (2)解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=AB-BD=42-X=16-x2, 'BD+CD=BC=6' .CD=BC-BD=6-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD=AC2-CD2=52-6-x2=-11+12x-x2, 16-X2=-11+12x-x2,x=9 18/18