第3章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版八年级上册

学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 第3章勾股定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列各组数中是“勾股数”的一组是() A.1,V2v5 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.2,2,3 2.△ABC的三边长分别为a,b,C,由下列条件能判断△ABC为直角三角形的是() A.a=2,b=3,c=4 B.a=2,b=4,c=5 C.a=v2 b=13 c=2 D.a=1 b=v2 c=3 3.在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若c=4,则a2+b的值为() A.4 B.8 C.16 D.32 4.已知a,b,c是一个三角形的三条边，且满足（口-+b-3+c-2=0,则这个三角形的面积是 () 3V13 A.3 B.3 C.6 D.2 5.如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B,且BC=1.连接AC,在AC上截 取CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E表示的实数是() A 0 E A3-1 B.1 c.5-5 D.5-1 6.如图，会泽县水城梨园里的一棵梨树的一段BC被风吹断，顶端C着地，BC段与地面AC成30°夹角， 若AB段长度为2米，则顶端着地处C与大树底端A之间的距离为() B C 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8米 米 C.3v6 米 D.4米 7图1是第七届国际数学教育大会(CME-7) 的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图 0A=442=A43=…=A4=1 OA. 2所示)演化而成的.如果图2中 ，那么的长为() As ICME-7 图1 图2 4.v5 B.6 C.22 D.3 8.如图，O是等边△ABC内一点，OA=6,OB=8,OC=10,将线段B0绕点B逆时针旋转60°得到线段 BO',下列结论： ①00'=8： ②∠A0B=150°： ③边形40=24+16N√5 @3.4oc+S.cs=24+25V5 其中正确的结论有() 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数.观察下列勾股数：3、4、5；5、 12、13；7、24、25；…,这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，若某个此类勾股数的勾 为9，则其弦是 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙 正方形的面积为23，则AC的长为 分 B 11.一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门 对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为 12.如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则∠DAE-∠BAC的度数为 B 13.如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板的宽度AB为16cm,当 ∠ABC=90 AC=20 cm △ABC CB ∠ACD .CD 时，测得 保持此时 的形状不变，当平分 ACD时，点B到CD的距离 是 cm B D 图1 图2 14.如图，在△ABC中，AB=6,∠ACB=90°，∠A=60°，作∠ABC的平分线交AC于点D,点M,N 分别是BD和BC上的动点，则MC+MN的最小值是 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I5.定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),即在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对 记作sadM: 这时sad4=底边_BC 腰AB· 如图.若在。ABC中，4B=AC,ad∠B4C- 5'AD平分∠BAC交 BC于点D,则sad∠BAD的值是 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6,点E、F分别是AB、BC上的动点，沿 EF所在直线折叠△EBF,使点B落在AC上的点D处，当△AED是以DE为腰的等腰三角形时，AD的长 为 O B 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段AD的长. D 18.如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决 请阅读并完成下列问题： B 1 A2:C 0123→ 图1 图2 (1)如图1，过数轴上表示2的点A,作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB,连接OB,以点O为圆心， 以OB为半径画弧，与数轴正半轴交于点C,请直接写出点C表示的数. 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②如图2，请参照(1)的作法，在数轴上找到表示 10 P 的点.（保留作图痕迹，不写作法） 19.如图，在△ABC中，AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cms 的速度移动，设运动时间为t秒. ◇ B (I)用含t的代数式表示AP=,PC= (2)t为何值时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半？ 20.如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，△ABC的顶点在格点上. (I)直接写出AB=,BC=一，AC=: (2)判断△ABC的形状，并说明理由， 21.我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,己知点C为一海 港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为300km和400m,且AB=500km,以台风中心为圆心周 围250km以内为受影响区域. (1)求证：∠ACB=90°； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下 列要求画图： 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (①)在图1中画一个△ABC ,使其三边长分别为 5、25、5,并写出△MBC的面积： (②在图2中画一个△MBC,使其三边长分别为3、 1013 并写出△ABC 的面积. 23.公园中一长方体石凳如图所示，长为30cm,宽为30cm,高为40cm,一只蚂蚁以3cm/s的速度从顶点 M爬到对角顶点N(M,N不在同一个面上) ←30cm 30cm 40cm M (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出 对应的平面展开示意图 1) (②)在的基础上，求蚂蚁从点M爬到点N的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到 达（结果保留小数点后一位）？(V58=7.616,1B=3.605 24.如图，教室地面放着一个课桌，桌面AB与地面平行，点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为60Cm 图1中，一扫帚的一端与墙角0重合，另一端靠在点A处，OA=100cm. 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点B重合，另一端挂在墙上的点C处.若 OC=240cm,彩带BC比桌宽AB长140cm,求桌宽AB的长度. 25.如图①，现有一张三角形纸片ABC,沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点 D重合. B D ① ② (1)填空：△ADC是 三角形： (2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长： (3)如图②，若∠DAC=90°，写出BC,BD,AE之间的数量关系 26.如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.己知直角三角形的两 直角边长分别为4，b,斜边长为C.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了 勾股定理a2+b2=c2 a B 6 b 图1 图2 图3 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3 已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3,求该风车状图案的面积. 27.完成以下问题 E D B 图1 图2 图3 (I)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,C重合），连接 AD,过点A作AE⊥AD,并满足AE=AD,连接CE.则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系 是 (2)探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B,C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角 形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE.试探索线段BD2、CD、DE2之间满足的等量关系，并证 明你的结论： (3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3,CD=1,请直接写出线 段AD的长. 8/8函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章勾股定理（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 心 S 6 7 答案 C D C 6 D B C D 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.41 10.7 11 (x-5)2+(x-3)2=x2 12.45°145度 13.9.6 35 14.2 2V5 15.5 16. 3V3-33V3 或 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 【详解】解：AB=13,BC=5,AC=12. .AB2=132=169BC2+AC2=52+122=169 ∴.BC2+AC2=AB2 ∴.△ABC是以∠ACB=90°的直角三角形， ∴.∠ACD=180°-∠ACB=90°， 在RtAACD中，∠ACD=90°， 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=VAC2+CD2=V122+122=122 .3分 18 【详解】(1)解：，点A表示的数是2， .0A=2, AB=1,AB⊥OA, OB=VO4+4B2=22+=5 :以点O为圆心，以OB为半径画弧，与数轴正半轴交于点C, .OC=OB=5 ∴点C表示的数为5 2分 (2)解：OA=3,AB=1,AB⊥OA, :.OB=O+AB2=V32+P=V10 ∴点P即为所求。 如图，点P即为所求 B -2-1023D4→5分 19. 【详解】(1)解：，AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°， .4=VAB2-BC2=V502-302=40(cm) 由整意得4P=2cm,PC-=(0-20cm,…2分 (2)解：，△PCB的面积等于△ABC面积的一半， ∴.△PCB的面积等于△APB面积， .AP=PC, .2t=40-2t, 解得1=10， 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：t为10秒时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半.5分 20: 【详解】(1)解：由题意得， AB=V12+22=V5 BC=V32+42=5 AC=V22+42=2V5 …2分 (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下； 由1)得B=V5.BC=5AC=25 :4B2+4C2=(W5+25=5+20=25,BC-=5=25, .AB2+AC2=BC2, .△ABC是直角三角形.5分 21.(1)i证明：：AC=300km,BC=400km,AB=500km, ...AC2+BC2=AB2 △ABC是直角三角形，即∠ACB=90°；3分 (2)解：海港C受台风影响，理由如下 如图，过点C作CD⊥AB于D, S.c =AC.BC=1AB.CD 1 D B 2 :CD=4CBC-300x400=240(km）. AB 500 .250>240 .海港C受台风影响.5分 22.(1) (2) 【详解】(1)解：如图1，面积为5 3/11 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 图1 AB=V22+4=2V5AC=V22+1P=V5BC=V32+42=5 AC2+AB2=(N5+(25=25=BC2, :△ABC为直角三角形，且∠A=90°， Sc=)AB-AC=)×25xV5=5. 21 3分 (2)解：如图2，面积为 B 4.5 图2 AB=VP+32=V10AC=V2+32=13BC=3 Sc=c-hcx3x3=45.6分 1 23. 【详解】(1)解：蚂蚁从点M爬到顶点N,有三种展开方式： ① ,M N 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时“、“所在的直角三角形两条直角边分别为 40+30=70(cm)30cm,展开图如下： 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30cm 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形 40cm M 30cm ② MN 两条直角边分别为： 30+30=60(cm)40cm,展开图如下： 40cm 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、 所在的直 M 30cm 30cm ③ MN 角三角形两条直角边分别为： 30+40=70(cm).30cm,展开图如下： 30Cm..3分 M 30cm 40cm (2)解：第①③两种展开方式下点M到点N的距离相等： MN=√702+302=√5800=10V58≈76.16(cm) 第②种展开方式下点M到点N的距离为： MN=V402+602=V5200=20W13≈72.1(cm) .V5800>V5200 5200=20V13≈72.1(cm)72.1÷3≈24.0(s) ∴.最短路线长度为 答：最快需要24.0秒.6分 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 【详解】(1)解：如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M, Mh-- 图1 由题意可知，AM=60cm, ,桌面AB与地面平行， .AM⊥OM, 在Ra0AM中，由勾股定理得OM=VA0-AM=V102-60=80cm, 答：课桌的高度为80cm;3分 (2)解：如图②，延长BA交墙面于点N,则∠BNC=90°， C 图2 设4B=cm,则CB=(x+140)cm.BN=(x+60)cm .OC=240cm,ON =80cm, :CW=240-80=160(cm) 在RtABCN中，由勾股定理得：BN2+CN2=BC2, :(x+60+1602=(x+140 解得x=60, 答：桌宽AB的长度为60cm.6分 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25. 【详解】(I)解：，三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D 重合， .AD=AC, .△ADC是等腰三角形.2分 (2)解：设CE=x,则BE=14-x, 在RtAAEC中，由勾股定理得：AE2=AC2-CE2, .AE2=132-x2 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=AB2-BE2, :2=153-(4-x :132-=152-(04- 解得：x=5, 在R4BC中，南勾股定理得：ME=VAC-CE=3>-了=4=2.4分 (3)解：由(1)得：△ADC是等腰三角形， 又∠DAC=90° ∴，△ADC是等腰直角三角形 又AE是CD边上的高， 六DE=CE, ∠DAB=∠EAC=.∠D4C=)×90°=45°， 2 ∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形， .DE=AE=EC,即CD=2AE, BC-BD CD .BC-BD=2AE.6分 26. 【详解】（①）证明：：大的正方形的面积可以表示为(a+b),大的正方形的面积又可以表示为c2+4×)ab, :.c2+4xab=(a+b)}, 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴c2+2ab=a2+b2+2ab, d2+b2=c2.3分 (2)解：空白部分的面积_边长为c的正方形的面积2个直角三角形的面积=c2-2×)b, 2 a=4,b=6, :空白部分的面积=华+62-2××4x6=28,…6分 2 (3)解：根据题忘得：0B=0C=3,4(4B+1C)-24,即4B+4C=6】 在Ra1OB中，根据勾服定理得：AB=0AP+OB,即(6-AC)=3+3+AC」 解得：AC=1, ∴.0A=3+1=4 1 .SAM0s=50A0B=5x3x4=6. 2 2 4SAM0B=24 ∴.该风车状图案的面积 10分 27. 【详解】(1)解：∠BAC=90°，AE⊥AD, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90° ·.∠BAD=∠CAE AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， BAD△CAE AD=AE ∴ABAD≌ACAE(SAS) ∴.BD=CE,∠ACE=∠B AB=AC,∠BAC=90° ∴△ABC为等腰直角三角形， 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠B=∠ACB=45 .∠ACE=∠B=45° .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° .BD⊥CE.3分 (2)结论： BD2+CD2=DE2 CE 证明：如图，连接， B D C:∠BAC=∠DAE=90 ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE」 AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △BAD△CAE AD=AE ∴△BAD≌ACAE(SAS) ∴.BD=CE,∠ACE=∠B, :△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠B=∠ACB=45°∠ACE=∠B=45 ·.∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° 在Rt△ECD中：CE2+CD2=DE2, ..BD2+CD2=DE2 …7分 (3)解：如图，过A作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE、DE, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B :∠ABC=∠ACB=∠ADC=45° .∠BAC=90°，AB=AC AE⊥AD ∴.∠BAC=∠DAE=90° ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, .∠BAD=∠CAE AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △BAD ACAE AD=AE ∴.△BAD≌aCAE(SAS) ..CE=BD=3. ∠ADC=45°△ADE ∠ADE=45 为等腰直角三角形， .∠EDC=∠ADE+∠ADC=45°+45°=90° 在Rt△EDC中，CD=I,CE=3 .DE2=CE2-CD2=32-1=8 设AD=AE=x, 则DE2=AD2+AE2=2x2, .2x2=8,解得x=2, AD=2.11分 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11 第3章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列各组数中是“勾股数”的一组是（     ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．2，2，3 【答案】C 【分析】验证每组数是否为正整数且较小两数的平方和与最大数的平方是否相等，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．含，，不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． B．三个均为小数，均不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． C．5，12，13均为正整数，且，是勾股数，故本选项符合题意． D．2，2，3均为正整数，但，不是勾股数，故本选项不符合题意． 2．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 3．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 4．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． 5．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 6．如图，会泽县水城梨园里的一棵梨树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为2米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（ ） A．8米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先借助含的直角三角形性质求出斜边长，再套用勾股定理列式，计算得出的长度． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∴． 7．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 8．如图，O是等边内一点，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断①②，由，可判定③④． 【详解】解：如图，连接， ∵将线段绕点B逆时针旋转得到线段， 由旋转可得，， 是等边三角形， ，故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，， ， ，故②正确，符合题意； 如图，过点作于点， 是等边三角形， ， ， ∵为等边三角形， ，故③正确，符合题意； 如图，将线段绕点C顺时针旋转到，连接，，过点C作于点M， 则，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴， ∴，故④正确，符合题意； 正确的结论有①②③④，共4个． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 10．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 11．一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽5尺，竖着比门框高3尺，沿门对角线斜拿着竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据题意可列方程为________ 【答案】 【分析】设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 12．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 13．如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板的宽度为，当时，测得，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是_________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的直角边长度，再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，得到点到的距离等于点到的距离，最后用直角三角形面积法求出到的垂线段长度，即为所求距离． 【详解】解：已知，，，由勾股定理： ， 根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点到的距离， ， 点到的距离， 故点到的距离等于． 14．如图，在中，，，，作的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】由题意可得点关于的对称点落在边上，则的最小值转为点到直线的垂线段的长度，作于点，交于点，由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴点关于的对称点落在边上， ∴的最小值转为点到直线的垂线段的长度， 如图，作于点，交于点， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 15．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据的定义，需构造一个以为顶角的等腰三角形，求出其底边与腰的比；利用等腰三角形三线合一性质求出长，通过在腰上截取线段构造等腰三角形，结合勾股定理与面积法求解． 【详解】解：，平分， ，， ， 设，， 则， 在中，， 在上截取，连接， 为等腰三角形，且顶角， ， 过点作于， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 16．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 _____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，此时点C、点F重合，可得；②当时，此时点D、点C重合，可得，即可求出答案． 【详解】解：当是以为腰的三角形时，分两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点C、点F重合， ∵，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵点C、点F重合， ∴， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点D、点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴； 故答案为：或． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 18．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 19．如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 20．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)解：是直角三角形，理由如下； 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）可证明，则可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得，， ， （2）略 21．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 【答案】(1)如图1，面积为5 (2)如图2，面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，用线段表示无理数，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为直角三角形，且， ； （2）解：图略， ，，， ． 23．公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 24．如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 25．如图①，现有一张三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合． (1)填空：是___________三角形； (2)若，求边上的高的长； (3)如图②，若，写出之间的数量关系___________． 【答案】(1)等腰 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得到，所以是等腰三角形； （2）设，利用勾股定理得到方程解得：，在中，由勾股定理即可解答； （3）由是等腰三角形，又，得到是等腰直角三角形；又是边上的高，所以与都是等腰直角三角形，即可得到．由，即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：． （3）解：由（1）得：是等腰三角形， 又， ∴是等腰直角三角形 又是边上的高， ∴，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，即． ∵， ∴． 26．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 27．完成以下问题 (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)结论： 证明：如图，连接， ， ， ， 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 中：， ． (3) 【分析】（1）由 和 得，结合、， 证，得．再由全等得，而，故 ，即 ． （2）连接，由 ，得，结合、，证 ，得 ，．由 为等腰直角三角形得，故，从而．由勾股定理得 ，即． （3）过作，使，通过构造等腰直角三角形，先证，得 ．由 和为等腰直角三角形得，从而．由勾股定理求，再在等腰中求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ． 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过作，使，连接 、． ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 在 中，， ， 设 ， 则， ，解得， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $