第一次学情自测卷2026-2027学年人教版八年级上册数学

2026—2027学年八年级上学期数学第一次学情自测卷 （人教版　考查范围：八年级上册第十一章《三角形》、第十二章《全等三角形》、第十三章《轴对称》） 适用年级：八年级　　满分：120分　　时间：120分钟 命题人：__________　　审题人：__________　　使用日期：__________ 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________　　考号：__________ 注意事项 1. 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案写在答题卡指定区域。 2. 2. 选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答。 3. 3. 解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 4. 4. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 5. 5. 本卷难度高于常规考试，建议先易后难，合理分配时间。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题只有一个正确选项。 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5　B. 3，4，8　C. 4，5，9　D. 5，6，10 2. 如图1，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠ACD＝110°，∠B＝45°，则∠A的度数是（　　） A. 45°　B. 55°　C. 65°　D. 70° 图1 3. 已知△ABC≌△DEF，其中点B与点E对应，点C与点F对应，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. BC＝EF　B. AC＝DF　C. AB∥DE　D. ∠A＝∠D 4. 在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形中，轴对称图形有（　　） A. 1个　B. 2个　C. 3个　D. 4个 5. 如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数是（　　） A. 40°　B. 50°　C. 60°　D. 70° 图2 6. 如图3，在△ABC中，将△ABC沿DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点A′处，若∠1＋∠2＝110°，则∠A的度数是（　　） A. 40°　B. 50°　C. 55°　D. 60° 图3 7. 如图4，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A. AC∥DF　B. ∠A＝∠D　C. AC＝DF　D. ∠ACB＝∠F 图4 8. 如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积为21，AB＝6，AC＝8，则DE的长是（　　） A. 2　B. 2.5　C. 3　D. 4 图5 9. 一个多边形截去一个角后，所得新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　） A. 15　B. 16　C. 15或16　D. 15、16或17 10. 如图6，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC上一点（不与点B、C重合）．若△ABD是等腰三角形，则BD的长为（　　） A. 5　B. 　C. 5或　D. 5或6 图6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 过多边形的一个顶点可以画出7条对角线，则这个多边形是______边形． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形是______边形． 13. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠BDC＝______°． 14. 如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠ADC＝______°． 图7 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则其顶角的度数为______°． 16. 如图8，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝8，AC＝6，则△ADE的周长是______． 图8 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题6分） （1）一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数和内角和； （2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，求∠C的度数． 18.（本小题6分）如图9，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E． （1）求证：AE＝BE； （2）若AC＝12，BC＝8，求△BCE的周长． 图9 19.（本小题8分）如图10，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）求证：点D是BC的中点． 图10 20.（本小题8分）如图11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，直线l是网格中的一条直线． （1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积； （3）在直线l上作出一点P，使PA＋PB最小，并说明理由． 图11 21.（本小题10分） （1）如图12（1），在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数； （2）在（1）中，若∠A＝α，直接写出∠BOC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图12（2），BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角∠ACD，若∠A＝α，求证：∠BOC＝α． 图12 22.（本小题10分）如图13，村庄A、B位于河岸l的同侧，计划在河岸l上修建一个供水站P，使PA＋PB最短． （1）试在直线l上作出供水站P的位置（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求证：PA＋PB最短； （3）若在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），试比较QA＋QB与PA＋PB的大小，并说明理由． 图13 23.（本小题12分）如图14，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，设BD与CE相交于点G． （1）求证：BD＝CE； （2）求证：BD⊥CE． 图14 24.（本小题12分）如图15，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的动点（不与点B、C重合），以AD为一边，在AD的右侧作等边△ADE，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）探究：当点D在BC上运动时，∠BCE的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）若BC＝4，当BD＝2时，求∠DEC的度数． 图15 四、附加题（本小题10分，不计入总分） 25.（本小题10分）若一个三角形的三个内角∠A、∠B、∠C满足∠A－∠B＝∠B－∠C，则称这个三角形为“等差三角形”． （1）若一个“等差三角形”的最小内角为20°，求它的其余两个内角的度数； （2）若一个“等差三角形”同时是等腰三角形，求它的三个内角的度数； （3）若一个“等差三角形”的最大内角是最小内角的3倍，求它的三个内角的度数． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年人教版八年级上册数学第一次学情自测卷·答案与评分标准 （答案单独成册，供教师阅卷与讲评使用；满分120分，考试时间120分钟；考查范围：人教版八年级上册第十一章～第十三章） 一、参考答案速查表 选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D C C C D C 填空题（每题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 十 八 72 95 40或140 14 解答题要点（共72分） 题号 分值 答案要点 17 6 （1）边数12，内角和1800°；（2）∠C＝80° 18 6 （1）AE＝BE；（2）△BCE的周长为20 19 8 （1）△BDE≌△CDF（AAS）；（2）点D是BC的中点 20 8 （1）作图见详解；（2）面积为3；（3）连接AB′交l于点P 21 10 （1）115°；（2）90°＋α；（3）证明见详解 22 10 （1）作图见详解；（2）PA＋PB最短；（3）QA＋QB＞PA＋PB 23 12 （1）BD＝CE；（2）BD⊥CE 24 12 （1）△ABD≌△ACE；（2）∠BCE＝120°（定值）；（3）∠DEC＝30° 25 10 （1）60°、100°；（2）60°、60°、60°；（3）30°、60°、90° 二、评分标准说明 1. 选择题每小题3分，共30分；填空题每小题3分，共18分。答案错误、多选、漏选均不得分。 2. 解答题按步骤给分：各小题评分标准中标注的分数为相应步骤的得分点，学生答案与标准答案解法不同但正确的，按等价步骤给分。 3. 证明题中，依据写错但结论正确，酌情扣1分；未写依据直接得结论，该步骤不得分。 4. 作图题要求保留作图痕迹，无痕迹只有结论的，酌情给分；答案位置正确但未按要求保留痕迹的，扣1分。 5. 附加题满分10分，不计入总分，供学有余力的学生选做。 6. 全卷难度系数预估约0.54，第23题（0.26）、第24题（0.22）为压轴题，建议讲评时重点分析。 三、逐题详解与评分标准 选择题 1. 答案：D 考点：三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。 思路：逐一验算各选项中两条较短线段之和与最长线段的关系，只有两边之和大于第三边时才能组成三角形。 步骤：A项，2＋3＝5，不大于5，不能组成；B项，3＋4＝7＜8，不能组成；C项，4＋5＝9，不大于9，不能组成；D项，5＋6＝11＞10，能组成三角形。故选D。 易错点：误把"两边之和等于第三边"当作可以组成三角形（此时三点共线，只能构成线段）；也有的学生只比较了两条最短边，漏掉其他组合。 变式拓展：若三角形两边长为3和7，则第三边长x的取值范围是4＜x＜10；已知等腰三角形两边长为4和9，其周长为22（腰长只能为9）。 2. 答案：C 考点：三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。 思路：∠ACD是△ABC的外角，它等于∠A与∠B之和。 步骤：∠A＝∠ACD－∠B＝110°－45°＝65°。故选C。 易错点：误用"∠A＝180°－110°－45°＝25°"（该算法混淆了内外角位置）；或误认为∠ACD与∠A互补。 变式拓展：若∠ACD＝3∠B，则∠A＝2∠B；外角大于任意一个与它不相邻的内角，可用于比较角度大小。 3. 答案：C 考点：全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）。 思路：由"B与E对应、C与F对应"确定对应关系为A↔D、B↔E、C↔F，再逐项判断。 步骤：BC与EF是对应边，BC＝EF一定成立；AC与DF是对应边，AC＝DF一定成立；∠A与∠D是对应角，∠A＝∠D一定成立；全等三角形只保证边、角分别相等，不保证对应边平行，AB∥DE不一定成立。故选C。 易错点：把"全等"与"位似/平移/轴对称"混淆，误以为全等图形对应边平行；对应关系判断错误导致选错。 变式拓展：若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，AB＝5，BC＝4，则DF＝3（对应边AC）。 4. 答案：C 考点：轴对称图形的概念。 思路：分别判断四个三角形沿某条直线对折后直线两旁部分能否互相重合。 步骤：等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形都是轴对称图形；一般的直角三角形（两直角边不相等）不是轴对称图形。共3个。故选C。 易错点：误认为所有直角三角形都是轴对称图形；或漏数等腰直角三角形（它既是等腰又是直角）。 变式拓展：圆、线段、角、等腰梯形、平行四边形中，不是轴对称图形的是平行四边形（它是中心对称图形）。 5. 答案：D 考点：等腰三角形的性质（等边对等角）与三角形内角和。 思路：由AB＝AC得∠B＝∠C，再用内角和列方程。 步骤：设∠B＝∠C＝x，则2x＋40°＝180°，x＝70°。故选D。 易错点：误把顶角算成底角（如选A）；列方程时漏乘2。 变式拓展：若AB＝AC且∠A＝100°，则∠B＝∠C＝40°；顶角每增加2α，底角减少α。 6. 答案：C 考点：轴对称（折叠）问题中的角度关系。 思路：折叠前后△ADE与△A′DE关于DE对称，∠ADE＝∠A′DE、∠AED＝∠A′ED，将∠1、∠2转化为△ADE内角的代数式。 步骤：∠1＝180°－2∠ADE，∠2＝180°－2∠AED，两式相加得∠1＋∠2＝360°－2(∠ADE＋∠AED)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A。由∠1＋∠2＝110°，得∠A＝55°。故选C。 易错点：误认为∠1＋∠2＝∠A（漏掉倍数关系）；不会将平角180°作为桥梁。 变式拓展：若∠A＝40°，则∠1＋∠2＝80°；折叠问题中"折痕平分平角"是通用工具。 7. 答案：C 考点：全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS）及"SSA"不能判定全等。 思路：在AB∥DE、AB＝DE的条件下（已有∠B＝∠E），逐一检验各选项与已知条件能否构成判定定理。 步骤：添加A项，由AC∥DF得∠ACB＝∠F，构成AAS，能判定；添加B项，∠A＝∠D，构成ASA，能判定；添加C项，AC＝DF，构成"边边角"（SSA），不能判定；添加D项，∠ACB＝∠F，构成AAS，能判定。故选C。 易错点：误以为"两边及其中一边的对角对应相等"能判定全等（SSA是经典反例：以A为圆心、AB为半径画弧可与射线交于两点）。 变式拓展：添加BF＝EC可证BC＝EF，构成SAS；全等判定选择中若已有两角一边，优先考虑AAS/ASA。 8. 答案：C 考点：角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）与三角形面积。 思路：由AD平分∠BAC得DE＝DF，再用"面积分割"列式。 步骤：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF。S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝·AB·DE＋·AC·DF＝·DE·(AB＋AC)＝·DE×14＝21，解得DE＝3。故选C。 易错点：忘记两个三角形面积相加；误将面积公式写成·AB·AC。 变式拓展：若△ABC面积为S，AB＝a，AC＝b，则点D到AB的距离为2S/(a＋b)；该结论是角平分线性质的常用推论。 9. 答案：D 考点：多边形的内角和与截角问题中的分类讨论。 思路：由新多边形内角和反推新边数，再考虑截去一个角时原边数的三种可能。 步骤：新多边形内角和为2520°，新边数＝2520÷180＋2＝16。截去一个角分三种情形：截线不经过顶点，边数加1（原为15）；截线经过一个顶点，边数不变（原为16）；截线经过相邻两个顶点，边数减1（原为17）。故选D。 易错点：只考虑一种情形（漏解），这是本题最大失分点；或内角和公式记错（(n−2)×180°）。 变式拓展：一个n边形截去一个角后，内角和可能为(n−1)×180°、n×180°或(n＋1)×180°；锯掉长方形一个角，剩余图形可能是三角形、四边形或五边形。 10. 答案：C 考点：等腰三角形的存在性问题（分类讨论）。 思路：△ABD以AB为一腰或底不确定，按"哪两条边相等"分三类讨论，再利用AB＝AC＝5、BC＝6确定点D的位置。 步骤：作BC边上的高AH，则BH＝3，AH＝4（由AB＝5、BH＝3得）。设BD＝x，则DH＝|x−3|，AD²＝AH²＋DH²＝16＋(x−3)²。 ① 若DA＝DB，则x²＝16＋(x−3)²，解得x＝； ② 若AB＝AD，则25＝16＋(x−3)²，解得x＝0或6（点D与B或C重合，不合题意，舍去）； ③ 若AB＝DB，则x＝5。 综上，BD＝5或。故选C。 易错点：漏掉②的讨论后未检验端点是否合题意；把②的解0、6当作有效答案（导致错选D）；计算(x−3)²展开出错。 变式拓展：若AB＝AC＝10，BC＝12，点D在BC上使△ABD为等腰三角形，则BD＝或10（同理，端点情形舍去）。 填空题 11. 答案：十 考点：多边形的对角线（n边形从一个顶点出发有n−3条对角线）。 思路：由对角线条数反推边数。 步骤：n−3＝7，n＝10，即这个多边形是十边形。 易错点：误用公式n()（全部对角线条数）导致n()＝7无整数解时不知所措。 变式拓展：十边形共有10×()＝35条对角线；从一个顶点出发的对角线条数比边数少3。 12. 答案：八 考点：多边形的内角和与外角和（任意多边形外角和恒为360°）。 思路：由"内角和等于外角和的3倍"列方程。 步骤：外角和为360°，内角和为3×360°＝1080°。由(n−2)×180°＝1080°，得n＝8，即这个多边形是八边形。 易错点：误以为边数越多外角和越大；列方程时把(n−2)×180°写成(n−1)×180°。 变式拓展：若内角和是外角和的2倍，则为六边形；正八边形每个内角为135°。 13. 答案：72 考点：等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质。 思路：由AB＝AC求底角，由角平分线求∠ABD，再用外角性质求∠BDC。 步骤：∠ABC＝∠ACB＝()＝72°。∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝36°。∠BDC是△ABD的外角，∴ ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°。 易错点：误算∠ABC为36°；用内角和求∠BDC时在△BCD中列式（也可行但易错）。 变式拓展：此三角形为"黄金三角形"，△BCD也是等腰三角形（∠C＝∠BDC＝72°）；图中与△ABD相似的三角形是△BCD。 14. 答案：95 考点：角平分线的定义与三角形内角和。 思路：先用内角和求∠BAC，由角平分线得∠CAD，再在△ACD中用内角和。 步骤：∠BAC＝180°－40°－30°＝110°。∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝55°。∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝180°－55°－30°＝95°。 易错点：误将∠ADC当作△ABC的外角直接用；角平分线漏掉一半。 变式拓展：∠ADC＝90°＋∠A＝90°＋55°＝145°？注意此处D在BC上而非两条内角平分线交点，不可混用；若BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BOC＝90°＋∠A＝115°。 15. 答案：40或140 考点：等腰三角形的性质与高的位置（分类讨论）。 思路：一腰上的高可能在三角形内部，也可能落在腰的延长线上，顶角可能是锐角也可能是钝角，分两类讨论。 步骤：设等腰△ABC中AB＝AC，BD是AC边上的高。若顶角∠A为锐角，垂足D在AC上，则高与另一腰AB的夹角∠ABD＝90°－∠A＝50°，得∠A＝40°；若顶角∠A为钝角，垂足D在CA的延长线上，则∠ABD＝∠A－90°＝50°，得∠A＝140°。综上，顶角为40°或140°。 易错点：只考虑锐角情形漏掉140°；或误以为钝角时不能作高。 变式拓展：若该夹角为30°，则顶角为60°或120°；当夹角等于45°时顶角为45°或135°。 16. 答案：14 考点：角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（"角平分线＋平行线→等腰三角形"模型）。 思路：由DE∥BC得内错角相等，结合角平分线得△BOD、△COE为等腰三角形，从而将DE转化为DB＋EC，把△ADE的周长转化为AB＋AC。 步骤：∵ BO平分∠ABC，∴ ∠DBO＝∠OBC。∵ DE∥BC，∴ ∠DOB＝∠OBC。∴ ∠DBO＝∠DOB，∴ DB＝DO。同理EC＝EO。∴ △ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋DO＋EO＝AD＋AE＋DB＋EC＝AB＋AC＝8＋6＝14。 易错点：想不到将分散的线段"集中"到AB＋AC；误把△ADE的周长算成(AB＋AC)。 变式拓展：若△ADE的周长为10，则AB＋AC＝10；该模型中DE的长不确定，但周长恒定。 解答题 第17题（本小题6分） 考点：正多边形的外角与内角和；三角形内角和与角度按比分配。 评分标准：（1）用外角求边数得1分，计算内角和得1分，答句完整得1分，共3分；（2）设元列方程得2分，求解得1分，共3分。 解：（1）设这个正多边形的边数为n。∵ 每个外角都等于30°，∴ n＝360°÷30°＝12。内角和为(12−2)×180°＝1800°。答：这个正多边形是十二边形，内角和为1800°。 （2）设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x。由三角形内角和定理，2x＋3x＋4x＝180°，即9x＝180°，解得x＝20°。∴ ∠C＝4x＝80°。 易错点：（1）中外角与内角混淆（用1440°÷180°＋2得边数为10，是内角和反推的误用）；（2）中把比值直接当作度数。 变式拓展：若正多边形每个内角为150°，则每个外角为30°，边数为12；若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是直角三角形（∠C＝90°）。 第18题（本小题6分） 考点：线段垂直平分线的性质及其应用。 评分标准：（1）写出性质依据得2分，得出结论得1分，共3分；（2）等量代换转化得2分，计算结果得1分，共3分。 解：（1）证明：∵ DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，∴ AE＝BE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。 （2）∵ AE＝BE，∴ △BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝12＋8＝20。 易错点：性质用错（写成"垂直平分线平分线段"就得分不全，须用距离相等）；周长转化时代换方向颠倒（把AC写成AB）。 变式拓展：若△BCE的周长为20，AC＝12，则BC＝8；若连结CD，则CD＝AD，△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AB。 第19题（本小题8分） 考点：全等三角形的判定（AAS）、角平分线的判定、等腰三角形"三线合一"。 评分标准：（1）得∠B＝∠C得1分，得两直角得1分，写出全等判定得2分，共4分；（2）得DE＝DF得1分，用角平分线判定得1分，得AD平分∠BAC并推出BD＝CD得2分，共4分。 解：（1）证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C。∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED＝∠CFD＝90°。在△BDE与△CDF中，∵ ∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BE＝CF，∴ △BDE≌△CDF（AAS）。 （2）证明：由（1）知△BDE≌△CDF，∴ DE＝DF。∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ 点D在∠BAC的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），即AD平分∠BAC。∵ AB＝AC，∴ BD＝CD（等腰三角形顶角的平分线平分底边），即点D是BC的中点。 易错点：第（2）问直接从"DE＝DF"跳到"D是中点"，缺少"角平分线判定→三线合一"两步说理；误用HL判定（虽可行，但本问设问意图是AAS）。 变式拓展：若把条件改为DE＝DF、BE＝CF，其余不变，结论仍成立；若连结AD，可进一步得S△ABD＝S△ACD。 第20题（本小题8分） 考点：轴对称作图、格点图形的面积、轴对称中的最短路径。 评分标准：（1）正确作出△A′B′C′得3分（每个对称点1分）；（2）正确求出面积得3分（列式2分，结果1分）；（3）确定点P得1分，说理得1分，共2分。 解：（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′即为所求（如图所示）。 （2）由网格图可知AB＝2，点C到AB所在直线的距离为3，∴ S△ABC＝×2×3＝3。 （也可用外接矩形法：矩形面积为3×2＝6，两个直角三角形的面积各为，∴ S△ABC＝6−3＝3。） （3）连接AB′交直线l于点P，点P即为所求。理由：∵ 点B与点B′关于直线l对称，∴ PB＝PB′，∴ PA＋PB＝PA＋PB′。∵ 点A与点B′在直线l的两侧，∴ 由"两点之间，线段最短"，PA＋PB′≥AB′，当且仅当点P落在线段AB′上时等号成立，此时PA＋PB最小。 易错点：（2）误用×底×高时找错高（把BC当底）；（3）作A的对称点而非B的对称点（结果相同但说理不同，均可）；忘记说明"两点在l两侧"。 变式拓展：若改为在l上找点P使PA＋PC最小（C在l上），则P与C重合；若A、B在l两侧，直接连AB即得最值点。 第21题（本小题10分） 考点：角平分线夹角模型（内角平分线夹角、内外角平分线夹角）。 评分标准：（1）列式正确得2分；（2）直接写出结论得2分；（3）用外角定理得1分，写出∠OCD表达式得2分，写出∠OBC表达式得1分，得出结论得2分，共6分。 解：（1）∵ ∠A＝50°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°。∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴ ∠OBC＋∠OCB＝×130°＝65°。∴ ∠BOC＝180°－65°＝115°。 （2）∠BOC＝90°＋α。 （3）证明：∵ ∠ACD是△ABC的外角，∴ ∠ACD＝∠A＋∠ABC。∵ CO平分∠ACD，∴ ∠OCD＝∠ACD＝(∠A＋∠ABC)。∵ ∠OCD是△BOC的外角，∴ ∠BOC＋∠OBC＝∠OCD。∵ BO平分∠ABC，∴ ∠OBC＝∠ABC。∴ ∠BOC＝∠OCD－∠OBC＝(∠A＋∠ABC)－∠ABC＝∠A＝α。 易错点：（3）中误把∠OCD当作△BOC的内角；或直接用（2）的结论90°＋α回答（没有注意到CO平分的是外角）。 变式拓展：若BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB的外角，则∠BOC＝90°－∠A；三条模型（内内、内外、外外）的结论可对比记忆。 第22题（本小题10分） 考点：轴对称的性质、最短路径问题（"将军饮马"模型）。 评分标准：（1）尺规作图并保留痕迹得3分（作对称点1分，连线1分，标出点P 1分）；（2）对称转化得1分，三角形三边关系得2分，得出结论得1分，共4分；（3）得出结论得2分，说理得1分，共3分。 解：（1）作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，交直线l于点P。点P即为供水站位置（如图所示）。 （2）证明：在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA、QB。∵ 点B与点B′关于直线l对称，∴ PB＝PB′，QB＝QB′。∴ PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′，QA＋QB＝QA＋QB′。在△AQB′中，QA＋QB′＞AB′（三角形两边之和大于第三边），∴ QA＋QB＞PA＋PB，即PA＋PB最短。 （3）由（2）可知：QA＋QB＞PA＋PB。理由是QA＋QB＝QA＋QB′＞AB′＝PA＋PB。 易错点：（1）忘记保留作图痕迹（作B′的圆弧、垂直平分线痕迹）；（2）直接说"AB′最短"而不转化为三角形三边关系，说理不完整；（3）中把不等号方向写反。 变式拓展：若A、B在l两侧，则直接连接AB即得最值点（无需对称）；若在l上找点P使|PA－PB|最大，作法类似（利用三角形三边关系）。 第23题（本小题12分） 考点：全等三角形的判定（SAS）、等腰直角三角形的性质、垂直的证明。 评分标准：（1）等角加等角得1分，写出SAS全等得3分，得出结论得1分，共5分；（2）得∠ABD＝∠ACE得1分，得∠GBC＝∠ABC＋∠ABD得1分，得∠GCB＝∠ACB－∠ACE得1分，推出和为90°得2分，得出结论得2分，共7分。 解：（1）证明：∵ ∠BAC＝∠DAE＝90°，∴ ∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE。在△BAD与△CAE中，∵ AB＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴ △BAD≌△CAE（SAS）。∴ BD＝CE。 （2）证明：设BD与CE相交于点G。由（1）知△BAD≌△CAE，∴ ∠ABD＝∠ACE。∵ △ABC是等腰直角三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝45°。如图，∠GBC＝∠ABC＋∠ABD，∠GCB＝∠ACB－∠ACE。∴ ∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠ABD＋∠ACB－∠ACE＝45°＋45°＝90°。∴ ∠BGC＝180°－90°＝90°，即BD⊥CE。 易错点：（1）中对应顶点写错（写成△ABD≌△ACE会导致边不对应）；（2）中不会处理∠GBC、∠GCB的构成（不能直接说∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠ACB），须借助∠ABD＝∠ACE相减抵消。 变式拓展：该模型称为"手拉手"模型，旋转任意角度结论都成立；若把等腰直角三角形换成两个等边三角形，同样可得对应边相等、夹角为60°。 第24题（本小题12分） 考点：等边三角形的性质、全等三角形的判定（SAS）、动点探究与角度定值。 评分标准：（1）得∠BAD＝∠CAE得1分，写出SAS全等得3分，得出结论得1分，共5分；（2）判断为定值得1分，推出∠ACE＝∠ABD＝60°得1分，算出∠BCE＝120°得2分，共4分；（3）得DC＝CE得1分，得∠DCE＝120°得1分，算出∠DEC＝30°得1分，共3分。 解：（1）证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°。∵ △ADE是等边三角形，∴ AD＝AE，∠DAE＝60°。∵ 点D在BC上，∴ ∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－∠CAD，∠CAE＝∠DAE－∠CAD＝60°－∠CAD。∴ ∠BAD＝∠CAE。在△ABD与△ACE中，∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴ △ABD≌△ACE（SAS）。 （2）∠BCE的大小是定值，定值为120°。理由：由（1）知△ABD≌△ACE，∴ ∠ACE＝∠ABD。∵ 点D在BC上，∴ ∠ABD＝∠ABC＝60°（等边三角形的内角）。∴ ∠ACE＝60°。∴ ∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝60°＋60°＝120°。 （3）∵ BC＝4，BD＝2，∴ DC＝BC－BD＝2。由（1）知CE＝BD＝2，∴ DC＝CE。由（2）知∠BCE＝120°，且点D在BC上，∴ ∠DCE＝∠BCE＝120°。∴ ∠DEC＝∠EDC＝(180°－120°)÷2＝30°。 易错点：（2）中误答"是定值60°"（漏加∠BCA）；（3）中误以为△DCE是等边三角形（忽略夹角120°而非60°）；（1）中不会用"∠BAD＝60°－∠CAD"进行角的凑配。 变式拓展：当BD＝BC/3时，△DCE中DC＝2CE，∠DEC＝15°；该题是"共顶点等边三角形"旋转模型，点D在BC延长线上时结论相应变化。 第25题（本小题10分，不计入总分） 考点：新定义的理解、内角和定理、方程思想与分类讨论。 评分标准：（1）设出三个角并解得正确得3分；（2）说明中间角为60°并分类得3分；（3）列方程解得正确得4分。 解：设"等差三角形"的三个内角从小到大为x－d、x、x＋d（d≥0），则(x－d)＋x＋(x＋d)＝180°，即3x＝180°，x＝60°。即"等差三角形"的中间内角一定是60°。 （1）最小内角为20°，即x－d＝20°，60°－d＝20°，d＝40°。三个内角为20°、60°、100°。 （2）若"等差三角形"同时是等腰三角形，则至少有两个内角相等：若x－d＝x，则d＝0；若x＝x＋d，则d＝0；若x－d＝x＋d，则d＝0。综上d＝0，三个内角均为60°、60°、60°。 （3）最大内角是最小内角的3倍，即x＋d＝3(x－d)，60°＋d＝3(60°－d)，解得d＝30°。三个内角为30°、60°、90°。 易错点：（2）中只讨论"两腰相等"漏掉等边情形（本题恰只有等边）；（3）中列方程时把"3倍"方向写反；（不理解"等差"而直接猜答案。 变式拓展：若定义∠A－∠B＝∠C－∠B（即∠A＝∠C），则是"等腰三角形"的另一定义方式；可进一步探究"等比三角形"（三角成等比数列）的中间角特征。 四、命题自检结论 1. 题号连续，分值合计：选择30分＋填空18分＋解答72分＝120分，附加题10分不计入总分，符合要求。 2. 易∶中∶难分值比为24∶60∶36＝2∶5∶3，压轴题（第23、24题）预计得分率0.26、0.22，均不高于0.30。 3. 全卷考查范围限定在已教学的第十一章～第十三章，无超纲、偏题、怪题；共15幅图形，均标注图号。 4. 全部25题答案经独立验算无误；评分标准按步骤细化，可操作。 5. 正题24题中原创15题、深度改编9题，原创或深度改编比例100%（不低于80%）。 6. 难度系数预估约0.54，落在0.45—0.60区间。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $