精品解析：北京市第二中学2026-2027学年高一上学期航2学段考试数学试题

北京二中2026—2027学年度第一学段2025级航2学段考试试卷 数学必修第一册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若向量与不共线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 6. 在梯形中，，，，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 7. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是． A. B. C. D. 的大小关系不确定 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 10. 函数，当时，，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 函数的定义域为______． 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为________． 15. 已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 16. 已知，则的值为___________. 17. 已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为______. 18. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合， （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20. 已知向量，，其中，函数的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值，及函数的单调递增区间； （2）已知函数的图象是先将的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位得到的．设实数，若集合中恰有两个元素，求的取值范围． 21. 已知关于的不等式，. （1）已知不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式 22. 已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）若函数，求的最值； （2）已知，求函数f(x)的值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意x1∈[0，1]，总存在∈[1，2]，使得＝成立，求实数k的值. 23. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”， 且， 求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2026—2027学年度第一学段2025级航2学段考试试卷 数学必修第一册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解指数不等式得到，再求即可. 【详解】，， 则. 故选：D 2. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，，即可得到答案. 【详解】，即. ，即. ，即. 所以. 故选：C 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， ，或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 若向量与不共线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于向量与不共线，当时，，则， 同理可得，，则“”“”； 若，，则，同理， 所以，“”“”， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题. 5. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 6. 在梯形中，，，，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可. 【详解】因为， 所以， , 所以，可得， . 故选：A. 7. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是． A. B. C. D. 的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出的表达式，利用不等式的性质求解即可. 【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有. 所以有，因此. 可得：； 可得：，因此. 故选：A 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力. 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 9. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 所以更接近. 10. 函数，当时，，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次因式有一正一负根，要使时恒非负，需一次因式零点与二次因式正零点重合，由此建立关系式求出的范围再验证选项. 【详解】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 11. 已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由这一段的二次式恒非负得到，再验证当时这一段也满足，故范围为. 【详解】由题意，对一切都有，分两段讨论. 当时，需恒成立. 记，其图象开口向上、对称轴为. 若，则在上单调递减，最小值为， 由得，即； 若，则最小值为，由得， 即，结合得. 所以由这一段得. 当且时，因为，所以； 又，故也成立. 综上，实数的取值范围为. 12. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由时， ，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解. 【详解】解：当时，， 则在上递增，在上递减，且， 由知：时，， 时，，且在上递增，在上递减， 因为，当时， ， 因为， 所以， 令，解得， 所以满足，的t的最大值是， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】且解不等式即可． 【详解】且，由此解得,故填 【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0． 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，以及对进行讨论，由此求得的值. 【详解】由""是""的充分条件知满足该方程， 代入得，即，解得或. 当时，方程为，即，解集为， 此时""是充要条件，不符合"不必要"； 当时，方程为，即， 解得或，解集为， 此时由能推出方程成立，而方程成立不一定有， 故""是充分不必要条件，符合题意. 所以. 15. 已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据不等式，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为； 不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故， 根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当或时，，故，又，故. 故答案为：；. 16. 已知，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果. 【详解】因为，，,又因为， 所以 所以, 所以, . 故答案为：. 17. 已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故答案为：15 18. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④. 【详解】对①，当时，， 当时，，当时，， 综上，的最小值为，①正确； 对②，，， 当时，， 当时，若，；若，， 如时，，函数不存在最小值，②错误； 对③，当时，最多一个解， 得或， 如时，，由可得(舍去)， 由得或，故此时两个零点，即； 如时，，由可得， 由得或，故此时三个零点，即； 当时，，由可得， 由得，故此时一个零点，即； 当时，，时，，无解， 时，，无解， 此时没有零点，即. 综上，的值域为，故③正确； 对④，当时，如时，， ，，，此时，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合， （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即可求得所求； （2）由题设条件得到是A的真子集，利用数轴法即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以，或， 故. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 因为， 所以，解得，故， 当时，是A的真子集，满足题意； 当时，是A的真子集，满足题意； 所以. 20. 已知向量，，其中，函数的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值，及函数的单调递增区间； （2）已知函数的图象是先将的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位得到的．设实数，若集合中恰有两个元素，求的取值范围． 【答案】（1），（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数，再由对称轴间距离求周期及解析式，最后写出单调区间即可； （2）先根据图象变换求出，然后由，得，再结合集合中有两个元素，求的取值范围；或由得，然后由，求出的范围，再结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 相邻对称轴间距为，， 由，，得到 下面求单调增区间：， ， 单调递增区间：（）． 【小问2详解】 由题意， 令， 方法一：，解得， 当时，，当时，，当时，， 当时，， 因为集合恰有两个元素， 所以，即. 方法二：因为，所以， 令，使且小于的值从大到小依次为、、… 若集合恰有两个元素， 则，解得． 即. 21. 已知关于的不等式，. （1）已知不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式 【答案】（1）； （2）； （3）当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件得，2是方程的两根即可计算作答； (2)将所给不等式等价变形，利用二次型不等式在R上恒成立分类求解即得； (3)按不等式类型及二次项系数正负分类解含参数的不等式即可. 【详解】（1）依题意，，2是方程的两根()，于是有，，解得 所以实数的值为1； （2）不等式对恒成立，即为恒成立， 当时，恒成立，则， 当时，一元二次不等式在R上恒成立，则必有，解得， 综上得，， 所以实数的取值范围是； （3）不等式化为：即有， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，，解得或， ③当时，原不等式化为，当，即时，解原不等式得：， 当，即时，解原不等式得：，当，即时，解原不等式得：， 综上所述：当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 22. 已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）若函数，求的最值； （2）已知，求函数f(x)的值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意x1∈[0，1]，总存在∈[1，2]，使得＝成立，求实数k的值. 【答案】（1）最小值为4，最大值为5；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用已知得出函数的单调区间，利用单调性可求得函数的最值； （2）令，根据函数的性质，可得函数的单调性，从而求出函数的值域； （3）对任意，总存在，使得成立可转化成函数的值域为函数值域的子集，建立关系式，解之即可． 【详解】（1）当a=4时，函数在上是减函数，在上是增函数， 所以是单调递减函数，是单调递增函数， ，，， 的最小值为4，最大值为5. （2）∵ ∴令，，则，. ∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. ∴当，即时，函数单调递减， 当，即时，函数单调递增， ∵，， ∴函数为的值域为. （3）， 当时，在是单调递增函数， ∵对任意，总存在，使得成立 ∴函数的值域为函数值域的子集，由（2）知函数为的值域为， ∴，无解， 当时，是单调递减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立 ∴函数的值域为函数值域的子集， ∴，得， 当时，，不符合题意， 综上所述，. 【点睛】本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题． 23. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”， 且， 求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1）P不是“封闭集”， Q是“封闭集”，理由为： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，， ，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 证明：因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以 ， 所以，则，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $