北京市东直门中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题（直升班）

2026北京东直门中学高一10月月考 数 学(直升班) 一、选择题:(本题有10道小题,每小题4分,共40分) 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.若,则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知,则的值是( ) A. B. C. D. 4.在中,,,,则( ) A. B. C. D. 5.已知,,且,那么( ) A. B. C. D. 6.若函数的定义域为,则( ) A.为奇函数,且为上的减函数 B.为偶函数,且为上的减函数 C.为奇函数,且为上的增函数 D.为偶函数,且为上的增函数 7.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 8.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条葫芦曲线的方程为,,其中表示不超过的最大整数.若该条曲线还满足,经过点,则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为( ) A. B. C. D. 9.在锐角中,角,,所对的边为,,,若,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知函数,若关于的方程有四个不同的实根,,,,且,则的最小值是( ) A.15 B.15.5 C.16 D.17 二、填空题:(本题有5道小题,每小题5分,共25分) 11.函数的定义域为,则的取值范围为. 12.已知,,则. 13.若,且,那么是三角形. 14.内角,,对边分别为,,.已知,,则的面积为. 15.已知函数(,,)的部分图象如图所示,关于函数有下列结论: ①图象关于点对称; ②单调递减区间为,; ③若,则; ④有4个零点. 则其中结论正确的有.(填上所有正确结论的序号) 三、解答题:(本题有6小题,共85分) 16.(本小题12分) 在中,角,,的对边分别为,,,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求该三角形的周长. 17.(本小题14分) 已知函数. (1)若,求函数的值域; (2)将的图象向左平移()个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的图象关于原点对称,求的值; (3)若函数在区间上有且仅有两个零点,求的取值范围. 18.(本小题14分) 设函数(). (1)若不等式的解集为,求,的值; (2)若, ①,,求的最小值; ②若在上恒成立,求实数的取值范围. 19.(本小题15分) 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫做潮汐.早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深(单位:米)的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间(例如“”表示时刻为“3:00”)变化符合函数.其中,,. (1)求函数的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可),某船吃水深度(船底离地面的距离)为6.5米. ①如果该船是旅游船,1:00进港,希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? ②如果该船是货船,在17:00开始入港卸货,吃水深度以每小时0.5米的速度减少,由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口,那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口,(忽略出港所需时间)? 20.(本小题15分) 在中,内角,,的对边分别为,,,为钝角;,. (1)求; (2)从条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知,使得存在,求的面积. 条件①:;条件②:;条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 21.(本小题15分) 设是正整数集的一个非空子集,如果对于任意,都有或,则称为自邻集.记集合(,)的所有子集中的自邻集的个数为. (1)直接写出的所有自邻集; (2)若为偶数且,求证:的所有含5个元素的子集中,自邻集的个数是偶数; (3)若,求证:. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $