3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高中数学必修第一册人教A版

《3.4 函数的应用（一）》教学设计

学科：高中数学

教材版本：人教A版必修第一册

课题：3.4 函数的应用（一）

课时：第1课时

课型：新授课

授课时长：45分钟

一、课标分析

依据《普通高中数学课程标准》，本节课属于"函数"主题内容。课标要求学生在已有一次函数、二次函数、幂函数、分段函数学习的基础上，能够建立实际问题的函数模型，利用函数模型解决简单的实际问题。常用的函数模型包括：一次函数模型

（，为常数）、二次函数模型

（，为常数）、幂型函数模型

（，为常数）以及分段函数模型。同时，课标要求学生经历"审题—建模—求模—还原"的函数建模过程，发展数学建模、数学运算等核心素养。

二、教材分析

《函数的应用（一）》是人教A版必修第一册第三章"函数的概念与性质"的收官内容。此前学生已经系统学习了函数的概念、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数的图象和性质，具备了初步的函数研究经验。本节的核心任务是：利用函数概念及其蕴含的思想方法解决简单的实际问题，即从实际情境中建立函数模型，再利用模型分析和解决问题。

本节两个例题都是给定（或容易确定）数学模型的实际应用：一个是分段函数（一次函数）模型，一个是二次函数模型。在分析函数变化规律时蕴含数形结合思想，在处理分类情境时蕴含分类讨论思想。本节既是对第三章函数知识的综合运用，也为后续学习更复杂的、需要自主选择和构造函数模型的应用问题做好方法铺垫，具有承上启下的地位。

通过经历由实际问题建立函数模型、再利用模型分析解决问题的完整过程，学生能体验数学在解决实际问题中的价值和作用，感受数学与日常生活的紧密联系，有助于增强应用意识、激发学习兴趣、发展实践能力。

三、学情分析

高一学生已经掌握一次函数、二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值，知道分段函数的概念，具备一定的运算求解能力。但学生首次系统经历"实际问题—函数模型"的建模过程，从实际情境中提取变量、寻求变量间对应关系的经验不足，对自变量实际取值范围的确定尤其陌生。

学生常见误区：

1.建立解析式后忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点坐标公式求最值；

2.分段函数的分段点归属不清，两段解析式衔接处出现遗漏或重复；

3.求出数学结果后忘记还原为实际问题的结论，缺少"答"的环节。本节课需要按"审题—建模—求模—还原"四步规范示范，反复强化定义域先行意识。

四、教学目标

1.能从实际情境中抽象出一次函数、二次函数、分段函数模型，会利用已知函数模型解决简单的实际问题，发展数学建模素养；

2.经历"审题—建模—求模—还原"的完整解题过程，能准确确定自变量的取值范围，规范书写解答，提升数学运算素养；

3.在小组合作探究中体会函数模型刻画现实世界变化规律的价值，增强数学应用意识。

五、教学重难点及突破策略

教学重点：

运用一次函数、二次函数、分段函数模型处理简单的实际问题。

教学难点：

运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题，准确确定自变量的实际取值范围。

重难点突破策略：

1.从学生熟悉的出租车计价、工厂利润等生活情境入手，降低建模门槛，先"读懂题"再"建模型"；

2.板书固定"审题—建模—求模—还原"四步流程，每道例题、练习都按四步展开，形成解题规范；

3.强化"定义域先行"：建模之后先确定自变量取值范围，再求解析式、求最值，杜绝套用公式不检验；

4.课堂练习梯度设置：先套用已知模型，再自主建模，当堂板演、当堂纠错。

六、教学准备

教师准备：

多媒体课件，例题与课堂练习题，板书设计，坐标纸。

学生准备：

预习课本3.4节，复习一次函数、二次函数、分段函数的图象与性质，准备练习本和坐标纸。

七、教学过程（总时长45分钟）

环节一：情境导入（5分钟）

教师活动：出示问题：某市出租车收费标准为：行程3 km以内（含3 km）收费10元；超过3 km的部分，每千米再加收2元。提问：行程与车费之间的对应关系是函数吗？能用一个解析式直接表示吗？

引导发现：行程在不同范围内，计费规则不同，需要分两段表示，由此引出分段函数模型。教师板书解决函数应用问题的一般步骤：审题（读清条件与要求）→建模（设变量、列解析式）→求模（求解数学问题）→还原（回到实际作答）。