3.4函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课程基本信息

课题

3.4　函数的应用（一）

教学目标

1．理解一次函数、二次函数、幂函数和分段函数等函数模型在实际问题中的广泛应用，能根据实际情境选择合适的函数模型，建立函数解析式并求解实际问题，体会函数的应用价值。

2．经历从实际问题中抽象变量关系、建立函数模型、求解并验证的完整过程，体会数学建模的基本思想与方法，增强应用意识。

3．培养数学建模、数学运算和数据分析素养，提升用函数观点分析和解决实际问题的能力。

教学内容

教学重点：

1．重点：根据实际问题建立函数模型并利用模型求解实际问题。

2．难点：分段函数模型的建立与实际意义的解释。

教学过程

1.情境引入:

日常生活中，出租车计费、水电费收取等许多问题都与函数有着密切联系。

某城市出租车规定：起步价10元（3公里以内），超过3公里后每公里加收2元。另一城市居民用电实行阶梯电价：根据用电量分档收费，不同档位对应不同单价，用电量越大单价越高。

问题1：出租车费用与行驶里程之间是什么关系？能否用函数来描述？

可以建立分段函数来描述，3公里以内费用恒为10元，超过3公里后费用随里程增加而增加。

问题2：阶梯电价能否也用函数表示？

可以。设月用电量为自变量，电费为因变量，根据用电量的不同区间分别列出函数表达式，就得到一个分段函数。利用这个函数可以直接计算任意用电量对应的电费。

设计意图：以学生熟悉的出租车计费和阶梯电价为切入点，引导学生发现生活中大量存在函数关系，激发学习兴趣。这些问题中，自变量在不同范围内对应不同的函数关系式，自

然引出分段函数的概念。通过设问让学生初步感受建立函数模型解决实际问题的基本思路：先分析实际问题中的变量关系，再根据不同情况分别建立函数表达式，最后利用函数模型求解。这种从生活实例到数学模型的抽象过程，有助于学生体会数学源于生活、服务于生活的理念，为后续学习各类函数模型的应用奠定基础。同时，阶梯定价问题与教材习题中的水价问题相呼应，为课堂例题和练习做好铺垫。学生在思考这些问题的过程中，初步形成用函数观点看待实际问题的意识，为后续系统学习函数应用做好准备。

2.温故知新:

问题3：回顾我们学过的一次函数、二次函数和幂函数，它们的图象分别有什么特征？

一次函数的图象是一条直线，当斜率大于零时从左向右上升，当斜率小于零时从左向右下降；二次函数的图象是抛物线，开口方向由二次项系数的正负决定，对称轴两侧增减性相反；幂函数的图象随幂指数不同而形态各异，但都经过点。

问题4：仅凭观察图象能否准确判断函数的类型和性质？

仅凭观察图象可以初步判断函数的变化趋势和大致类型，但无法精确确定函数的解析式和具体性质。例如，观察散点图时，点列的分布可能近似呈直线，也可能近似呈抛物线，需要通过代数计算验证才能确定最合适的函数模型。

下面通过一个具体例子来说明仅靠观察可能产生的误判。

某实验测得五组数据，其散点图既可近似看作直线，也可近似看作二次曲线。

若用一次函数拟合，计算可得偏差较大；若用二次函数拟合，则偏差显著减小。

可见仅靠观察图象是不够的，必须进行代数验证。

因此，在实际问题中建立函数模型时，既要观察数据的变化趋势，又要通过代数方法进行验证和比较。具体做法是：先根据散点图或实际背景初步选择函数类型，再代入已知数据求出参数，最后检验模型与实际数据的吻合程度。

这一过程体现了数学建模的基本步骤：从实际问题到数学模型，再到求解验证，最后回到实际。在本课中，我们将利用一次函数、二次函数、分段函数等模型解决税收计算、行程问题、成本利润分析等实际问题，每个问题都需要经历从实际情境中抽象变量关系、建立函数解析式、利用模型求解并对结果做出实际解释的完整过程。

设计意图：通过回顾已学函数的图象特征，帮助学生建立函数类型与图象形态之间的联系，为后续根据实际问题选择合适的函数模型做准备。反例的引入旨在让学生认识到，仅凭直观观察可能产生误判，必须通过代数验证才能确定最合适的函数模型。这一环节既复习了

旧知识，又为学习新知识搭建了桥梁，培养学生的理性思维和严谨态度。同时，数学建模的基本步骤在此得到初步渗透，为后续例题中建立函数模型提供方法论指导。学生在回顾和反思中，逐步形成观察、猜想、验证、结论的数学思维习惯，提升数学建模和数据分析素养。本环节从图形直观到代数验证的过渡，也为本课重点内容分段函数的引入做好了认知准备。

3.建构概念

问题5：如何将一个实际问题转化为函数模型并求解？

第1步：分析实际问题，确定自变量和因变量。

第2步：根据实际条件，建立变量之间的函数关系。

第3步：当自变量在不同范围内对应不同的函数关系时，需要建立分段函数。例如，个人所得税问题中，应纳税所得额不同区间适用不同税率，因此税额关于收入的函数需要分段表示。建立分段函数时，要明确各段的自变量取值范围，确保分段区间的端点不重不漏，并在每个区间内写出对应的函数解析式。

第4步：利用所建立的函数模型求解实际问题。将具体数值代入函数解析式，注意先判断自变量所属的区间，再选择对应的解析式进行计算。最后，要将计算结果回到实际情境中解释其含义，检验结果是否合理。例如，求出的税额应为非负数，求出的距离、时间等应符合实际意义。

定义：函数模型法是指从实际问题中抽象出变量之间的函数关系，建立函数解析式，利用函数的性质和运算求解实际问题的数学方法。其一般步骤为：设变量、建关系、求解、作答。

定义：分段函数是在同一问题中，自变量在不同取值范围内对应不同函数表达式的函数。

分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段函数值集合的并集。在处理分段函数问题时，要特别注意自变量所属的区间，选择正确的解析式进行计算。分段函数在现实生活中应用广泛，如阶梯水价、阶梯电价、个人所得税、出租车计费等，都是分段函数的典型实例。建立分段函数模型时，关键是根据实际问题的分段标准，准确划分自变量的取值区间。

函数模型法是数学建模的重要方法之一。

在实际应用中，函数模型法和分段函数常常结合使用。许多实际问题需要先根据情境选择合适的函数类型，再根据自变量的不同取值范围建立分段函数。例如，个人所得税问题就