第3章 函数的概念与性质章末大盘点（40个核心题型归纳）训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质·章末大盘点 目录 题型01 函数关系判断 题型02 已知函数值求自变量 题型03 具体函数的定义域 题型04 抽象函数的定义域 题型05 常见函数的值域 题型06 换元法求值域 题型07 值域反推定义域 题型08 判别式法求值域 题型09 平方法求值域 题型10 函数的表示 题型11 待定系数法求解析式 题型12 换元法求解析式 题型13 方程组法求解析式 题型14 赋值法求抽象函数值 题型15 分段函数求值 题型16 分段函数定义域 题型17 分段函数求值域 题型18 已知分段函数值求自变量 题型19 由分段函数单调求参 题型20 由分段函数最值求参 题型21 选图选式 题型22 定义法证明单调性 题型23 求单调区间 题型24 利用单调性求值域 题型25 根据最值求参 18 题型26 利用单调性比较大小 题型27 利用单调性解抽象不等式 题型28 函数不等式的恒成立问题 题型29 函数不等式的有解问题 题型30 函数图像的平移变换 题型31 函数图像的翻转变换 题型32 函数图像的翻折变换 题型33 解分段函数不等式 题型34 函数图像的应用 题型35 抽象函数的单调性 题型36 由奇偶性求参 题型37 由奇偶性求解析式 题型38 由奇偶性解不等式 题型39 抽象函数的奇偶性 题型40 中值模型 知识梳理 1.函数的概念与定义域 ①设、是非空的实数集，若按照某种确定的对应关系，对中的任意一个数，中都有唯一确定的数与之对应，则称为从到的一个函数，记作 ，.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合 叫做函数的值域. ②函数的三要素是定义域、对应关系与值域.定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同. ③求定义域就是把所有限制条件列成不等式（组），再取交集.常见限制有四类：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数非负；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于1. ④分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数. 2.函数的表示法与求解析式 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 求解析式的常用方法如下： ①换元法：已知求，令，用表示后回代； ②配凑法：把 的表达式凑成关于的式子，整体替换； ③待定系数法：已知函数类型（一次函数、二次函数）时，设出解析式，由条件列方程（组）求解。 另，求函数值有两条路：直接代入；或先求出解析式再代入.若只求而容易解出，先解出再代入原式往往更快. 3.函数的单调性 ①设函的定义域为，区间.若对上任意，都有，则称在区间上单调递增；若都有，则称单调递减. ②等价形式：在上单调递增对任意 ，都有 . ③判断单调性的方法：定义法（取值—作差—变形—定号—结论）、图象法、复合函数“同增异减”. 由单调性可以直接比较函数值的大小：若在上递增，则. 4.函数的奇偶性 ①若函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意都有，则称为奇函数；若都有，则称为偶函数。 ②图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称. ③主要性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反；若奇函数在处有定义，则. ④已知奇偶性与（或）时的解析式求另一侧的值，直接用或转化，不必求另一侧的解析式. 5.函数的值域与最值 求值域的常用方法： 观察法——基本初等函数直接看图或看性质；配方法——二次函数型. 换元法——含根式的，令 把式子化为二次型. 分离常数法——形如 的函数. 单调性法——先确定区间上的单调性，再取端点值. 闭区间上二次函数的最值，要先看对称轴与区间的相对位置，按“轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧”三种情形分别讨论. 值域是全体函数值构成的集合，最值是其中的最大（小）值. 第3章 函数的概念与性质·章末大盘点 力学笃行·知行并进·学用相长 2 学科网（北京）股份有限公司 方法 题型 题型01 函数关系判断 （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义，要想表示从集合P到集合Q的函数，则集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应.对于A，集合P中的元素未对应完，比如在集合Q中没有元素与之对应，因此不能表示从集合P到集合Q的函数；对于B，由于集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应，因此，能表示从集合P到集合Q的函数；对于C，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应，因此不能表示从集合P到集合Q的函数；对于D，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应，因此不能表示从集合P到集合Q的函数. （25-26高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 题型02 已知函数值求自变量 （24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为______. 【答案】或 【详解】依题意，，则，解得或.故答案为：或 （030限时小练19函数的概念高中数学必修第一册�SJ）已知函数，且，则实数____________． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或．故答案为：或4或 题型03 具体函数的定义域 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. （26-27高一上·山西吕梁·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需同时满足：且，由，得；由，得，解得且；取上述两个解集的交集，由于已自动排除的情况，因此函数定义域为. 题型04 抽象函数的定义域 （26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以，所以的定义域为，所以函数的定义域满足，得，所以函数的定义域为. （26-27 高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，,，，解之得：函数的定义域为，故选：B. 题型05 常见函数的值域 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【答案】 【详解】因为，则，所以函数的值域为． 故答案为： （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增，由，得，所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3），当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，的值域为 题型06 换元法求值域 （25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【详解】令，则，，当时，. 故答案为： （25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ______ ． 【答案】 【详解】令，则，，因为，开口向上且对称轴为，所以在上是增函数，所以，所以的值域为. 故答案为： 题型07 值域反推定义域 （2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得，令，解得，由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能；而，的定义域不可能是，A不可能.故选：A （26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的值域是，所以当时，， 当时， ，即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D 题型08 判别式法求值域 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为，由，得，当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根，因此，解得且，所以函数的值域为.故答案为： （22-23高一上·浙江衢州·阶段检测）函数的值域是______． 【答案】 【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得， 所以，当时，；当时，，解得， 所以，，即函数的值域是.故答案为： 题型09 平方法求值域 （22-23高三·全国·课后作业）函数的值域为______. 【答案】 【详解】由有意义可得，所以，的定义域为，，设，则，，则. （2024年高考一轮数学（文）单元复习一遍过）函数的值域为_______. 【答案】 【详解】的值域为， ， 设，则，，则.故答案为：． 题型10 函数的表示 （26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件长方形的一边长度为，且面积为.则另一边长为，且.所以该长方形的周长.故选：C. （25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】根据题意，由函数的图象，可得，则.故选：B． 题型11 待定系数法求解析式 （22-23高一上·甘肃甘南·期中）已知函数是一次函数，且，求的表达式． 【答案】． 【详解】由题意，设一次函数的解析式为，因为，可得，整理得，即，解得， 所以函数的表达式为. （17-18高一上·贵州铜仁·期中）已知是二次函数，且，求的解析式. 【答案】 【详解】∵设二次函数，∴，所以，解得，，，故. 题型12 换元法求解析式 （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数满足，则函数的解析式为__________. 【答案】 【详解】令，得，代入得，即的解析式为. （18-19高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数，则______. 【答案】 【详解】令，则，于是有，所以.故答案为： 题型13 方程组法求解析式 （25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则______． 【答案】 【详解】∵ ①∴ ②，由得，解得：．故答案为：． （22-23高一上·全国·课后作业）若对于任意实数x都有，则f（x）＝_____． 【答案】 【详解】∵ 对于任意实数x都有，∴ 可得. 故答案为：. 题型14 赋值法求抽象函数值 （26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数对任意都有，且，则________　. 【答案】 【详解】由题意可得：，所以，即. （19-20高三上·重庆·期中）已知函数满足，且对任意恒有，则_________． 【答案】 【详解】令,可得，所以. 令，可得，所以 令 ，可得 ，所以 令 ，可得 ，所以 令， 可得 ，所以 令，可得 ，所以 令， 所以 故函数是6为周期的周期函数.所以，. 题型15 分段函数求值 （26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数．则的值为_____． 【答案】 【详解】已知函数，则，所以. （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数，则________． 【答案】 【详解】由函数，可得. 题型16 分段函数定义域 （24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． 【答案】 【详解】由函数，可得函数的定义域为，所以函数的定义域为.故答案为：. （专题二 函数的定义域【培优版】）函数的定义域为______________． 【答案】 【详解】因为函数，所以的定义域为 ，即函数定义域为，故答案为： 题型17 分段函数求值域 （22-23高一上·四川绵阳·阶段检测）函数的值域为___________. 【答案】 【详解】当时，则.当时，则 综上所述：，即的值域为.故答案为：. （函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学）函数的值域为_________ 【答案】 【详解】因为函数，当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式,即，所以，因此，当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 题型18 已知分段函数值求自变量 （26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数，若，则_______． 【答案】3 【详解】当时，解得，舍去；当时，解得或，因为，所以.综上：. （25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【详解】当时，，解得，则；当时，，解得，则或； 综上：或. 题型19 由分段函数单调求参 （2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立，所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得.故的取值范围是. （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数在上单调递减，可得，可得，解得.故答案为：. 题型20 由分段函数最值求参 （2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为__________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得，故， 当，时，的最大值为，而在区间上为单调递增函数，则，即，解得，故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． （22-23高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是_________ 【答案】 【详解】当时，，则函数在上递减，在上递增，所以，则此时；当时，，要使得的值域为，则，解得，所以的取值范围是.故答案为：. 题型21 选图选式 （24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为，由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B. （25-26高一上·山东青岛·期中）函数的大致图象是（   ） A．  B．   C．  D． 【答案】B 【详解】由的定义域为，故CD错误；当时，且，故A错误.故选：B. 题型22 定义法证明单调性 （23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明． 【答案】(1) (2)略 【详解】（1），所以． （2），在上单调递增，证明：设， ， 其中，，，所以， 所以，所以在上单调递增． （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）令，则，∴， ∴，即，∴. （2）函数在区间上单调递减. 证明：任取，，且.则， 又因为，所以，，则， ∴，即，∴函数在区间上单调递减. 题型23 求单调区间 （25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. 【答案】和 【详解】由题意得定义域为，，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为.故答案为：和 （24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】由，解得或，则函数的定义域是， 函数开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间是.故答案为：. 题型24 利用单调性求值域 （26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【详解】，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，. （26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)略 (3)最小值4；最大值5. 【详解】（1）因为函数且图象经过，所以，所以. 所以. （2）函数在上单调递增，证明如下：设， 则，因为，所以，，，所以，所以，即. 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，； 当时，函数取得最大值，. 题型25 根据最值求参 （24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则______. 【答案】 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减，所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得.故答案为：. （24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或.故答案为：或3 题型26 利用单调性比较大小 （2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且，所以. （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且，所以.故选：A. 题型27 利用单调性解抽象不等式 （24-25高二下·广东湛江·期末）已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意得，解得，因为是定义在区间上的减函数，且，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为： （24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上是严格增函数，且，所以，解得. 故答案为：. 题型28 函数不等式的恒成立问题 （19-20高二上·四川凉山·开学考试）设函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】解：由题意，可得，即，当时，，所以，即在上恒成立，故需， 令，则在上单调递增，所以当时，有最小值为2，则有最大值为，则，实数的取值范围是，故答案为：. （25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为，所以由， 设，因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减，函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减，因此函数时单调递减， 所以，所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是.故答案为：. 题型29 函数不等式的有解问题 （26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）若，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】若，使得成立，等价于，使得上成立， 设函数，所以问题转化为，因为对勾函数在上单调递增，所以，所以.故实数的取值范围是. （2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由可得，，因为，所以，根据题意，即可，设，易知在单调递减，在单调递增， 所以，所以，故答案为： 题型30 函数图像的平移变换 （26-27高一上·福建泉州·开学考试）为得到函数的图像，只需将函数的图像（  ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【详解】函数，为了得到函数的图像，只需将函数的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位，故选：． （21-22高一上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向上平移l个单位 【答案】A 【详解】解：因为，所以函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到函数的图象.故选：A 题型31 函数图像的翻转变换 （18-19高一上·河北保定·期末）已知函数的图像如图所示，则函数的图像是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的图像与函数的图像关于y轴对称，从而知B正确.故选B. （24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，故图②所示图象对应的函数为.故选：D. 题型32 函数图像的翻折变换 （2025高二上·贵州·学业考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，故A选项满足要求，其他选项均不合要求.故选：A （25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项；又，故排除D选项.所以函数的大致图象是C.故选：C. 题型33 解分段函数不等式 （2019·河南洛阳·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在各段内都是减函数，并且，所以在上递减，又，所以解得：，故选A. （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 题型34 函数图像的应用 （2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ） A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 【答案】B 【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误， ，C正确，当和时，此时的图像只有一个交点，故只与的一个值对应的值的范围是,D正确. （25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：D. 题型35 抽象函数的单调性 （2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【答案】(1) (2)略. 【详解】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则，由于，则； （2）当时，．即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，．设，则，，则由，得，即．故在定义域上是单调递增函数． （20-21高一上·湖北武汉·期中）已知定义在上的函数对任意正数、都有，当时，，且. （1）求的值； （2）证明：用定义证明函数在上是增函数； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）解集为. 【详解】（1）在等式中，令可得，解得； （2）在等式中，令可得，可得， 任取，则，可得，则，即，因此，函数在上是增函数； （3）令，由可得， 当时，，， 由可得， 由于函数为上的增函数，则，解得或. 因此，不等式的解集为. 题型36 由奇偶性求参 （21-22高一上·四川内江·期中）函数是定义在区间上的偶函数，则______． 【答案】 【详解】解：是定义在，上的偶函数，，， 又，，．故答案为： （2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【详解】， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 题型37 由奇偶性求解析式 （26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以；当时，，所以，则； 由可得；所以. （25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【详解】由题意知，当时，，则，又为上的偶函数， 所以.故答案为： 题型38 由奇偶性解不等式 （26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. 【答案】 【详解】 因为是偶函数，在上单调递减，根据偶函数的性质，在上单调递增，且.不等式等价于两个因式同号，分两种情况讨论： 当时，即，解得；当时，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. （24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数，由，得到，整理得到，解得或，故答案为：. 题型39 抽象函数的奇偶性 （25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)略 (3) 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，，令，得， 即，所以函数为偶函数． （3）不等式，即，， 由（2）知为偶函数，得，又是区间上的递增函数， ，解得或，所以解集为. （15-16高一上·河北石家庄·期中）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时， (1)证明：是偶函数； (2)解不等式. 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）证明：因为的定义域是，， 令，得，故，令，得，故， 令，得，则，所以是偶函数 . （2）设，则，又当时，，所以 则， 故，所以在上是增函数，因为，所以， 所以由，得，又因为是偶函数，所以，且， 解得且，所以不等式的解集为. 题型40 中值模型 （26-27高一下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【详解】由于，可得关于点对称， 故. （26-27高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【详解】， 令，，则，即为奇函数，则，由题意得，故.故答案为：4050. $第3章 函数的概念与性质·章末大盘点 目录 题型01 函数关系判断 题型02 已知函数值求自变量 题型03 具体函数的定义域 题型04 抽象函数的定义域 题型05 常见函数的值域 题型06 换元法求值域 题型07 值域反推定义域 题型08 判别式法求值域 题型09 平方法求值域 题型10 函数的表示 题型11 待定系数法求解析式 题型12 换元法求解析式 题型13 方程组法求解析式 题型14 赋值法求抽象函数值 题型15 分段函数求值 题型16 分段函数定义域 题型17 分段函数求值域 题型18 已知分段函数值求自变量 题型19 由分段函数单调求参 题型20 由分段函数最值求参 题型21 选图选式 题型22 定义法证明单调性 题型23 求单调区间 题型24 利用单调性求值域 题型25 根据最值求参 18 题型26 利用单调性比较大小 题型27 利用单调性解抽象不等式 题型28 函数不等式的恒成立问题 题型29 函数不等式的有解问题 题型30 函数图像的平移变换 题型31 函数图像的翻转变换 题型32 函数图像的翻折变换 题型33 解分段函数不等式 题型34 函数图像的应用 题型35 抽象函数的单调性 题型36 由奇偶性求参 题型37 由奇偶性求解析式 题型38 由奇偶性解不等式 题型39 抽象函数的奇偶性 题型40 中值模型 知识梳理 1.函数的概念与定义域 ①设、是非空的实数集，若按照某种确定的对应关系，对中的任意一个数，中都有唯一确定的数与之对应，则称为从到的一个函数，记作 ，.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合 叫做函数的值域. ②函数的三要素是定义域、对应关系与值域.定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同. ③求定义域就是把所有限制条件列成不等式（组），再取交集.常见限制有四类：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数非负；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于1. ④分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数. 2.函数的表示法与求解析式 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 求解析式的常用方法如下： ①换元法：已知求，令，用表示后回代； ②配凑法：把 的表达式凑成关于的式子，整体替换； ③待定系数法：已知函数类型（一次函数、二次函数）时，设出解析式，由条件列方程（组）求解。 另，求函数值有两条路：直接代入；或先求出解析式再代入.若只求而容易解出，先解出再代入原式往往更快. 3.函数的单调性 ①设函的定义域为，区间.若对上任意，都有，则称在区间上单调递增；若都有，则称单调递减. ②等价形式：在上单调递增对任意 ，都有 . ③判断单调性的方法：定义法（取值—作差—变形—定号—结论）、图象法、复合函数“同增异减”. 由单调性可以直接比较函数值的大小：若在上递增，则. 4.函数的奇偶性 ①若函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意都有，则称为奇函数；若都有，则称为偶函数。 ②图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称. ③主要性质：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数的单调性相反；若奇函数在处有定义，则. ④已知奇偶性与（或）时的解析式求另一侧的值，直接用或转化，不必求另一侧的解析式. 5.函数的值域与最值 求值域的常用方法： 观察法——基本初等函数直接看图或看性质；配方法——二次函数型. 换元法——含根式的，令 把式子化为二次型. 分离常数法——形如 的函数. 单调性法——先确定区间上的单调性，再取端点值. 闭区间上二次函数的最值，要先看对称轴与区间的相对位置，按“轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧”三种情形分别讨论. 值域是全体函数值构成的集合，最值是其中的最大（小）值. 第3章 函数的概念与性质·章末大盘点 力学笃行·知行并进·学用相长 2 学科网（北京）股份有限公司 方法 题型 题型01 函数关系判断 （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． （25-26高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 题型02 已知函数值求自变量 （24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为______. （030限时小练19函数的概念高中数学必修第一册�SJ）已知函数，且，则实数____________． 题型03 具体函数的定义域 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． （26-27高一上·山西吕梁·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型04 抽象函数的定义域 （26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． （26-27 高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型05 常见函数的值域 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 题型06 换元法求值域 （25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. （25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ______ ． 题型07 值域反推定义域 （2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． （26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型08 判别式法求值域 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． （22-23高一上·浙江衢州·阶段检测）函数的值域是______． 题型09 平方法求值域 （22-23高三·全国·课后作业）函数的值域为______. （2024年高考一轮数学（文）单元复习一遍过）函数的值域为_______. 题型10 函数的表示 （26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． （25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 题型11 待定系数法求解析式 （22-23高一上·甘肃甘南·期中）已知函数是一次函数，且，求的表达式． （17-18高一上·贵州铜仁·期中）已知是二次函数，且，求的解析式. 题型12 换元法求解析式 （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数满足，则函数的解析式为__________. （18-19高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数，则______. 题型13 方程组法求解析式 （25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则______． （22-23高一上·全国·课后作业）若对于任意实数x都有，则f（x）＝_____． 题型14 赋值法求抽象函数值 （26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数对任意都有，且，则________　. （19-20高三上·重庆·期中）已知函数满足，且对任意恒有，则_________． 题型15 分段函数求值 （26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数．则的值为_____． （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数，则________． 题型16 分段函数定义域 （24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为________． （专题二 函数的定义域【培优版】）函数的定义域为______________． 题型17 分段函数求值域 （22-23高一上·四川绵阳·阶段检测）函数的值域为___________. （函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学）函数的值域为_________ 题型18 已知分段函数值求自变量 （26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数，若，则_______． （25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 题型19 由分段函数单调求参 （2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． （25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 题型20 由分段函数最值求参 （2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为__________． （22-23高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是_________ 题型21 选图选式 （24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． （25-26高一上·山东青岛·期中）函数的大致图象是（   ） A．  B．   C．  D． 题型22 定义法证明单调性 （23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明． （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 题型23 求单调区间 （25-26高一上·江苏南京·期中）函数的单调减区间为______. （24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为__________. 题型24 利用单调性求值域 （26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. （26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 题型25 根据最值求参 （24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则______. （24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 题型26 利用单调性比较大小 （2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型27 利用单调性解抽象不等式 （24-25高二下·广东湛江·期末）已知是定义在区间上的减函数，且，则的取值范围是______． （24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是________． 题型28 函数不等式的恒成立问题 （19-20高二上·四川凉山·开学考试）设函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为_____________. （25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 题型29 函数不等式的有解问题 （26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）若，使得成立，则实数的取值范围是________. （2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是_______． 题型30 函数图像的平移变换 （26-27高一上·福建泉州·开学考试）为得到函数的图像，只需将函数的图像（  ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 （21-22高一上·浙江宁波·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向上平移l个单位 题型31 函数图像的翻转变换 （18-19高一上·河北保定·期末）已知函数的图像如图所示，则函数的图像是 A． B． C． D． （24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 题型32 函数图像的翻折变换 （2025高二上·贵州·学业考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． （25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．  B．  C．   D．   题型33 解分段函数不等式 （2019·河南洛阳·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 题型34 函数图像的应用 （2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ） A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 （25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 题型35 抽象函数的单调性 （2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． （20-21高一上·湖北武汉·期中）已知定义在上的函数对任意正数、都有，当时，，且. （1）求的值； （2）证明：用定义证明函数在上是增函数； （3）解关于的不等式. 题型36 由奇偶性求参 （21-22高一上·四川内江·期中）函数是定义在区间上的偶函数，则______． （2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 题型37 由奇偶性求解析式 （26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． （25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 题型38 由奇偶性解不等式 （26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________. （24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为______. 题型39 抽象函数的奇偶性 （25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 （15-16高一上·河北石家庄·期中）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时， (1)证明：是偶函数； (2)解不等式. 题型40 中值模型 （26-27高一下·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ （26-27高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. $