第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

保密★启用前 第1章 集合与常用逻辑用语章末检测卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 3．全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，因此， 又全集，可得． 4．已知集合，，则（     ） A．与的关系不确定 B．Ü C．Ü D． 【答案】D 【详解】集合中元素可化为，即 ， 因为，， 当取遍所有整数时，与都表示所有被除余的整数，所以两个集合表示的元素完全相同， 因此 5．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合相等可得出关于、的方程组，结合集合元素满足互异性可求得结果. 【详解】因为集合，，且，分以下两种情况讨论： （1），无解；（2），解得. 综上所述，实数的取值集合为. 6．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 【答案】D 【详解】①：是元素，是集合，二者的关系应为，故①错误； ②：集合中的元素是，集合中的元素为，两个集合的关系应为，故②错误； ③：空集不含任何元素，故不成立，③错误； ④：由空集是任意集合的子集，可得成立，④正确； ⑤：集合的唯一元素为，故成立，⑤正确； ⑥：由空集是任意集合的子集，可得成立，⑥正确； ⑦：集合的唯一元素为，不含，故不成立，⑦错误； ⑧：集合的元素为，故是该集合的元素，二者应为，⑧错误.综上，正确的命题为④⑤⑥. 7．某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班有多少名同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】只参加数学活动的同学有名；只参加物理活动的同学有名； 既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学有名. 8．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用容斥原理求解. 【详解】根据容斥原理得：， 所以：，所以 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．下列命题中正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是“” D．命题“”是真命题 【答案】BC 【详解】若，则；但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，A错误； 若，则，但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 命题“”的否定是“”，故C正确； 因为，所以命题“”是假命题，D错误. 10．已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由集合的基本运算判断ACD，举反例判断B. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令， 满足，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 11．已知只有一个元素，则实数的取值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】由集合中只有一个元素可知可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，分类讨论即可得出答案. 【详解】因为集合中只有一个元素，所以可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程 若是一元一次方程，则，此时有，解得，符合题意； 若是一元二次方程，则，解得， 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，实数的取值可以是，，. 第II卷（非选择题） 三、填空题：：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 【答案】6 【详解】由⫋，可得：，，且，即除外至少含有中的1个元素； 由⫋可得：，即除外至多含有中的2个元素； 因此满足条件的集合与集合的非空真子集一一对应， 其非空真子集个数为， 即满足条件的集合的个数为6. 13．已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由命题，为真命题，则，即，则， 所以实数的取值范围是. 14．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性.综上可知，. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15．某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b． (1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？ 【答案】(1)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学． (2)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学． 【分析】（1）分别写出读过新书和新书的同学的学号，合起来就是至少读过一本书的同学； （2）由（1），可直接写出同时读了a，b两本书的有哪些同学. 【详解】（1）由题意知，读过新书的同学有学号为的同学， 读过新书的同学有学号为的同学， 所以至少读过一本书的有学号为的同学． （2）同时读了a，b两本书的有学号为的同学． 16．设集合 ，，，求： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为或，，所以． （3）因为或，或，所以或． 17．已知集合， (1)若求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，.所以. 因为，所以或，则或 （2）由可得：，解得.所以实数的取值范围是. 18．已知集合，集合． (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)或． 【分析】（1）分别按照和讨论求解； （2）由“”是“”的必要不充分条件，得到，分别按照和讨论求解. 【详解】（1），，若，则： 当时，，解得，满足题意.      当时，或，解得或，           所以综上得：的取值范围为或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，， 满足题意， 当时，，解得，           综上得，的取值范围为或. 19．已知集合， (1)证明：； (2)证明：任何奇数都是中的元素； (3)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (4)试求中第2026个正整数． 【答案】(1)略 (2)略 (3)一定是偶数，但不是4的倍数，所以数字不是集合中的元素(4)2701 【详解】（1），.（2）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素．（3），，且，同是奇数或同是偶数，所以集合中的元素是奇数，或者是4的倍数． （4）因为相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数，由（2）知这4个数中有3个是集合的元素． 因为，所以中第2026个正整数是 试卷第6页（共7页） 试卷第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第1章 集合与常用逻辑用语章末检测卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 3．全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（     ） A．与的关系不确定 B．Ü C．Ü D． 5．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 7．某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班有多少名同学既没有参加数学活动，也没有参加物理活动？ A． B． C． D． 8．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．下列命题中正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是“” D．命题“”是真命题 10．已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知只有一个元素，则实数的取值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 13．已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是________． 14．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15．某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b． (1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？ 16．设集合 ，，，求： (1)； (2)； (3) 17．已知集合， (1)若求，； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合，集合． (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．已知集合， (1)证明：； (2)证明：任何奇数都是中的元素； (3)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (4)试求中第2026个正整数． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $