第2章 一元二次函数、方程和不等式章末检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

保密★启用前 2026-2027学年度高中数学高一上学期单元测试卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式单元测试 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．不等式的整数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知关于x的方程有两个正根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为__________. 13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是___________． 14．已知，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15．求下列不等式的解集： (1)； (2). (3) (4) 16．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 17．高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） (2)高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； (3)年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 18．（1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 、19．问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2026-2027学年度高中数学高一上学期单元测试卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式单元测试 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，，满足，但，故A不正确； 对于B，令，满足，但，故B不正确； 对于C，因为，则，由，可得：，故C正确； 对于D，取，，则，故D不正确. 2．不等式的整数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由 得 ，解得 .所以不等式的整数解为 ，共个. 3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得. 因为，，故，且，所以，因为， 当，时等号成立，又，所以，故，所以的最小值为. 4．若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时取等号. 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，所以，因为，所以，即，解得.故选:C 6．若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】①当时， 不成立，解集为，不合题意；②当时，抛物线开口向上，要使 有解，需 ，；③当时，抛物线开口向下，充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合．综上所述，或． 7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】关于的不等式的解集为，所以，且和2是方程的两根，，得，所以不等式变为， 又，所以，解得或，所以不等式的解集为或. 8．已知关于x的方程有两个正根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】关于x的方程有两个正根，可得：，解得：， 故a的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A选项，已知且，则不等式两边同除可得：，即得：，故A选项正确； 对于B选项，取，，，，满足条件，，但，，不满足条件，故B选项错误； 对于C选项，已知，则，又，则有，故C选项正确； 对于D选项，已知，则取，，，得：，，由于不满足条件，故D选项错误. 10．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 11．已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】已知关于的不等式的解集为可知， 且方程 的两个根为和， 由韦达定理可知，则， 对于A选项，由上述推导可知，A错误； 对于B选项，不等式， 因为，所以不等式两边除以得，解得，B正确； 对于C选项，由上述推导可知是方程的根，所以，C错误； 对于D选项，不等式可转化为， 两边同时除以得，，解得，所以不等式解集为，D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为__________. 【答案】或 【详解】由，得， 则，解得，故不等式的解集为. 13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 则其命题的否定“，使得”是真命题， 当时，不等式，即恒成立，符合题意； 当时，要不等式恒成立，即，解得， 综上，实数的取值范围是． 14．已知，，，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由题意得，当且仅当时，即时取等号.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15．求下列不等式的解集： (1)； (2). (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) . 【详解】（1）由题知：，∴，二次函数开口向上，解集：； （2）由题知：，∴，∴， 解集： ； （3）∵ ，∴，∴，∴，即， 解得：， 解集： ； （4）由题知：，∴ ，∴ ，开口向上， 解集： . 16．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1），所以. （2）由，得，，， 因此，所以. 17．高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） (2)高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； (3)年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 【答案】(1)，（的单位：万斤）.(2)年产量范围为（单位：万斤） (3)年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元 【详解】（1）当时，，则，整理得，； 当时，，则，整理得，， 所以，（的单位：万斤）. （2）要想不亏损，则， 当时，，解得，结合，可得； 当时，，两边同乘正数，可得，则， 解得，结合，可得； 综上所述，农民以免亏损则年产量的范围为即，（单位：万斤）. （3）当时，，开口向下，对称轴为， 则当时，（万元）；当时，， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 则，即当时，（万元）， 综上所述，年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元. 18．（1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）略； （2）； （3）． 【详解】（1）因为，所以,则． （2）因为，所以， 所以，所以. （3）已知， 因为，所以 19．问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)略 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当且，即时取等号.所以的最小值为. （2）因为，，所以， 当且仅当且，即时取等号.所以的最小值为， 因为恒成立，所以，故的最大值为. （3）证明：. 因为，所以. 所以，即. 试卷第8页（共8页） 试卷第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $