第2章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式检测卷-2026-2027学年数学人教A版必修第一册 一、选择题 1．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若集合，则（　　） A． B． C． D． 3．设x≠0，则最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 4．已知，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．已知两两不相等的实数、满足，且，若，则（　　） A． B． C． D． 7．若命题“”为假命题，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．若m，n都为正实数，且则（　　） A．mn的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 10．下列命题中，正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 11．下列四个命题中正确的是（　　） A．已知集合，若，则 B．函数的最小值为2 C．设，若，则 D．不等式成立的一个充分不必要条件是或 三、填空题 12．已知正实数，满足，则的最小值为　 　. 13．已知则不等式的解集为　 　． 14．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为　 　． 四、解答题 15．已知. （1）证明：. （2）求的最小值. 16．函数，， （1）求不等式的解集； （2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围； （3）若，对于恒成立，求的取值范围. 17．青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18．已知函数. （1）当时，解不等式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19．已知正数满足. （1）求的取值范围. （2）求的最小值 （3）若正数满足，证明：. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】A,B,C 10．【答案】A,C,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】25 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）证明： . 因为，所以，， 从而，则. （2）. 因为，所以，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为4. 16．【答案】（1）解：由题意得，解得或， 当时，，此时无解； 当时，； 当时，. （2）解：由题意得，令， 可知，当时，，解得无整数根（舍）； 当时，，说明唯一的整数根为0， 则，即，解得， 得的取值范围为. （3）解：由已知得， 令，其中恒成立， 令，解得或， 可知， 当时， 当时，在上单调递增，最大值为成立； 当时，此时在递减，递增； 可得，即，解得； 当，即时，在递增，递减，递增， 可得，即，解得； 当时，即时，在递减，递增，递减，递增； 可得，即，此时无解； 综上所述：的取值范围为. ​​​​​​​ 17．【答案】（1）解：设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．【答案】（1）解：当时，函数， 不等式，即，解得， 则不等式的解集为； （2）解：由不等式， 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或； 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）解：不等式，，即，且，可得， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值为， 若存在，使得不等式成立，可得， 故的取值范围是. 19．【答案】（1）因为，可得， 等价于，解得或， 且，可得，所以的取值范围为. （2）因为正数满足，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是9. （3）因为，即，则需证明， 因为，当且仅当时等号成立， 同理可得、， 当且仅当、时等号成立， 则， 可得， 即，当且仅当时等号成立， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $