第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第2节 三角恒等变换 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖和差角、二倍角、辅助角等公式及给角求值、给值求值等四大题型，按题型分类与公式模块系统整合知识要点，通过考点梳理、方法指导、典例精讲和真题训练，帮助学生构建解题框架，突破角的配凑、公式逆用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型为导向创新教学策略，如在给值求角中强调角的范围界定与三角函数值选择，结合2023新高考1卷等真题训练，培养学生数学思维与推理意识。设置基础巩固到高考真题的分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第2节 三角恒等变换 知识要点：题型分类 1．给角求值 利用诱导公式、三角函数基本关系式、和差角公式、倍角公式或逆用各公式化简求值时，应掌握常见的项的拆分与角的配凑：由于和、差角与单角是相对的，因此需要灵活地进行拆角或凑角，将异角化同角，未知角化为已知角，非特殊角化为特殊角，常见角的变换有：①；②，；③，，，等． 2．给值求值 关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数名的差异，适当变换已知式或待求式，熟练公式的正用、逆用、变形用，将已知式或未知式化简，寻找函数名、角之间的关系，使关系明朗化．应注意角的范围或角所在象限，以免因忽视角的范围致错． 3．化简或证明恒等式 先观察条件中的角、函数名、式子结构等方面的差异，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即“两头凑”．三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑升幂、降幂、配方、开方等手段消除角之间的差异，合理选择并联系公式．本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变换式子结构”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．常见技巧有： ①常值代换：先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用恒等变换公式求解，常见常值代换如，，， ，等． ②降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂，统一幂指数或角． ③弦、切互化，常常是切化弦，统一为同名函数． 4．给值求角 先确定已知角与待求角的关系，看是否互余、互补、成倍数等，通过化简已给的式子选择一个适当的三角函数值，再根据题设确定所求角的范围，结合特殊角的三角函数值逆向求角，确定角的范围是关键的一步．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式将函数转化为正(余)弦型函数，充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和项数，为讨论函数性质提供保障．其实质是转化为“给值求值”，其一般步骤是： ①求值：求出所求角的某种三角函数值. ②界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. ③求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式：，， ． 2．辅助角公式：设，则，其中，如，，． 【例1】（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-1】（2020年全国3卷理数）已知，则（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【针对练习1-2】已知，为第三象限角，，，则（ ） A. B． C． D． 【针对练习1-3】（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-4】（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-5】已知，，且均为锐角，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-6】设，是方程的两根，则 ． 【针对练习1-7】在中，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习1-8】）已知，是方程的两个根，且，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 【针对练习1-9】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习1-10】已知是第四象限角，且，则 . 【针对练习1-11】（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-12】求________． 【针对练习1-13】________． 【针对练习1-14】求值：＝________． 【针对练习1-15】=____________． 【针对练习1-16】求值：（ ） A． B． C．1 D． 【针对练习1-17】（2022新高考2卷）若，则（ ） A． B． C． D． 二、二倍角公式 【例2】（2019全国2卷理数）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-1】若，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-2】（2020年全国1卷理科）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-3】已知 是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-4】若，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-5】若，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-6】若，，则（     ） A． B． C． D． 【针对练习2-7】（2023新高考1卷）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-8】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-9】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习2-10】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习2-11】已知，均为锐角，且，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习2-12】随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然．更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用，，，表示黄金分割点．若照片长、宽比例为，设，则（     ） A． B． C． D． 三、三角恒等变换 1．半角降幂公式： 半角降幂公式重要作用是降次：把高次降为低次，进而化简､求值或证明． 【典例3】已知，则（     ） A． B． C． D． 【针对练习3-1】已知，，则 ． 【针对练习3-2】（2023新高考2卷）已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 2．升幂倍角公式： 倍角升幂公式主要是开方：升幂为平方式，然后开平方，进而化简、求值或证明． 【典例4】设，，，则有（    ） A． B． C． D． 3．万能公式：①；②；③ 使用万能公式，可以把含有的三角函数式化成只含有的式子，为方便起见，可以用令，即化为一个只含的式子，进而应用相关知识解决问题，因此万能公式架起了三角与代数间的桥梁．万能公式具体作用含有以下四点：①将角统一为；②将函数名称统一为（正切函数）；③任意实数都可以表示为的形式，可以用正切函数换元． 【典例5】已知，，若，则______． 【针对练习5-1】若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【针对练习5-2】曲线在处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C． D． 【针对练习5-3】已知，则 ． 【针对练习5-4】（2019年江苏卷）已知，则的值是 ． 【针对练习5-5】已知为锐角且，则的值是________． 【针对练习5-6】已知向量，，且，则______． 【针对练习5-7】已知，则 ． 4．与三角函数结合 【例6】已知函数，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称 D．函数在区间上单调递减 【针对练习6-1】的最大值为 （ ） A． B． C． D． 【针对练习6-2】（2021年北京卷）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为 B．偶函数，最大值为 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【针对练习6-3】函数图象的一个对称中心是（     ） A． B． C． D． 【针对练习6-4】设函数，则（ ） A．在单调递增，其图象关于直线对称 B．在单调递增，其图象关于直线对称 C．在单调递减，其图象关于直线对称 D．在单调递减，其图象关于直线对称 【针对练习6-5】（2019年浙江卷）设函数，． （1）已知，函数是偶函数，求的值； （2）求函数的值域． 【针对练习6-6】已知函数． （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）当时，，求的值． 5．与解三角形结合】 【例7】（2019全国新课标3卷）设的内角，，的对边分别为，，．已知，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第2节 三角恒等变换 知识要点：题型分类 1．给角求值 利用诱导公式、三角函数基本关系式、和差角公式、倍角公式或逆用各公式化简求值时，应掌握常见的项的拆分与角的配凑：由于和、差角与单角是相对的，因此需要灵活地进行拆角或凑角，将异角化同角，未知角化为已知角，非特殊角化为特殊角，常见角的变换有： ①；②，；③，，，等． 2．给值求值 关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数名的差异，适当变换已知式或待求式，熟练公式的正用、逆用、变形用，将已知式或未知式化简，寻找函数名、角之间的关系，使关系明朗化．应注意角的范围或角所在象限，以免因忽视角的范围致错． 3．化简或证明恒等式 先观察条件中的角、函数名、式子结构等方面的差异，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即“两头凑”．三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑升幂、降幂、配方、开方等手段消除角之间的差异，合理选择并联系公式．本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变换式子结构”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．常见技巧有： ①常值代换：先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用恒等变换公式求解，常见常值代换如，，， ，等． ②降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂，统一幂指数或角． ③弦、切互化，常常是切化弦，统一为同名函数． 4．给值求角 先确定已知角与待求角的关系，看是否互余、互补、成倍数等，通过化简已给的式子选择一个适当的三角函数值，再根据题设确定所求角的范围，结合特殊角的三角函数值逆向求角，确定角的范围是关键的一步．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式将函数转化为正(余)弦型函数，充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和项数，为讨论函数性质提供保障．其实质是转化为“给值求值”，其一般步骤是： ①求值：求出所求角的某种三角函数值. ②界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. ③求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小. 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式：，， ． 2．辅助角公式：设，则，其中，如，，． 【例1】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．故选B． 【针对练习1-1】（2020年全国3卷理数）已知，则（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以，令，，则，整理得，解得，即．故选D． 【针对练习1-2】已知，为第三象限角，，，则（ ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，得，由为第三象限角，，得，所以 ．故选A． 【针对练习1-3】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．故选C． 【针对练习1-4】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法1：． 方法2：． 【针对练习1-5】已知，，且均为锐角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，，所以．故选A． 【针对练习1-6】设，是方程的两根，则 ． 【答案】C 【解析】由韦达定理，得所以． 【针对练习1-7】在中，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，所以，所以，．故选B． 【针对练习1-8】）已知，是方程的两个根，且，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】方程中，，则于是，显然，，又，则有，，所以．故选B． 【针对练习1-9】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，，，， 所以，，则 ．故选B． 【针对练习1-10】已知是第四象限角，且，则 . 【解析】方法1：因为在第四象限，得，所以 ，所以解得所以，. 方法2：因为是第四象限角，且，所以， 所以. 方法3： ，因为是第四象限角，所以，，所以，从而 ． 【针对练习1-11】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选B． 【针对练习1-12】求________． 【解析】原式 ． 【针对练习1-13】________． 【解析】由 ． 【针对练习1-14】求值：＝________． 【解析】． 【针对练习1-15】=____________． 【解析】． 【针对练习1-16】求值：（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 ．故选D． 【针对练习1-17】（2022新高考2卷）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法1：因为，所以 ，即，所以 ，所以，所以，所以，，所以，所以．故选D． 方法2：由已知得，即， 由和差化积公式得，所以 ，所以，所以，，所以，所以．故选D． 方法3：令，原式，所以， 所以，所以．故选D． 方法4：令，可排除A，D，令，排除B．故选D． 二、二倍角公式 【例2】（2019全国2卷理数）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得，因为，所以，由得．故选B． 【针对练习2-1】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即，所以，所以．故选B． 【针对练习2-2】（2020年全国1卷理科）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，得，即，解得或（舍去），又，所以． 故选A． 【针对练习2-3】已知 是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，又是第二象限角，所以，，所以，从而． 故选C． 【针对练习2-4】若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：由，得，即，因为，所以，则，得，则，所以．故选A． 方法2：不妨设，则，，，于是，所以，又因为，所以，即． 【针对练习2-5】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：由，及，得或 所以，故选A． 方法2：原式 ． 【针对练习2-6】若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法1：联立解得或又因为，则，所以所以 ．故选D． 方法2：由，得，化为，因为，所以，所以． 方法3：令，由两式相加，得，所以， 当时，由得因为，故舍去． 当时，由得，所以． 【针对练习2-7】（2023新高考1卷）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此，则，所以 ．故选B． 【针对练习2-8】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由已知得，，因为，所以，，则， ，则 ．故选A． 【针对练习2-9】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，而，因此，则，所以． 【针对练习2-10】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则，又因为，则，由二倍角公式得，所以，因为，，则，即，因此，．故选B． 【针对练习2-11】已知，均为锐角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法1：因为，所以， 所以，则，整理得， 所以，又，均为锐角，所以，所以． 方法2：因为，所以，所以，所以，即，即，所以，又，均为锐角，所以，所以． 故选D． 【针对练习2-12】随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然．更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用，，，表示黄金分割点．若照片长、宽比例为，设，则（     ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，，故，所以．故选D． 三、三角恒等变换 1．半角降幂公式： 半角降幂公式重要作用是降次：把高次降为低次，进而化简､求值或证明． 【典例3】已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，所以，所以，故，所以． 故选B． 【针对练习3-1】已知，，则 ． 【答案】 【解析】由，，得 ，所以． 【针对练习3-2】（2023新高考2卷）已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而为锐角，解得 ．故选D． 2．升幂倍角公式： 倍角升幂公式主要是开方：升幂为平方式，然后开平方，进而化简、求值或证明． 【典例4】设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，，因为，，所以． 故选C． 3．万能公式：①；②；③ 使用万能公式，可以把含有的三角函数式化成只含有的式子，为方便起见，可以用令，即化为一个只含的式子，进而应用相关知识解决问题，因此万能公式架起了三角与代数间的桥梁．万能公式具体作用含有以下四点：①将角统一为；②将函数名称统一为（正切函数）；③任意实数都可以表示为的形式，可以用正切函数换元． 【典例5】已知，，若，则______． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，所以，所以． 【针对练习5-1】若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得且， 解得，所以．故选D． 【针对练习5-2】曲线在处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，当时，，所以，由万能公式得，所以． 故选B． 【针对练习5-3】已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得，则 ，， ． 【针对练习5-4】（2019年江苏卷）已知，则的值是 ． 【解析】由，得，解得，或． 当时，上式； 当时，上式． 综上，． 【针对练习5-5】已知为锐角且，则的值是________． 【答案】 【解析】由，得 ，解得，或，因为为锐角，故． ． 【针对练习5-6】已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】向量，，且，所以，即，则，所以 ． 【针对练习5-7】已知，则 ． 【答案】 【解析】令，则，且，所以 ． 4．与三角函数结合 【例6】已知函数，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 ，故最小正周期为，A错误； ，点是一个对称中心，B正确； 将图象向左平移个单位长度得到，其图像关于轴对称，C正确； ，单调递减，D正确．故选A． 【针对练习6-1】的最大值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．所以．故选B． 【针对练习6-2】（2021年北京卷）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为 B．偶函数，最大值为 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【解析】由题意，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值．故选D． 【针对练习6-3】函数图象的一个对称中心是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 =，令，，解得，即对称中心为．令，可得一个对称中心为，论取任何整数，．故BCD错误．故选A． 【针对练习6-4】设函数，则（ ） A．在单调递增，其图象关于直线对称 B．在单调递增，其图象关于直线对称 C．在单调递减，其图象关于直线对称 D．在单调递减，其图象关于直线对称 【解析】因为=，所以 在单调递减，对称轴为，即． 【针对练习6-5】（2019年浙江卷）设函数，． （1）已知，函数是偶函数，求的值； （2）求函数的值域． 【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，即，故，所以．又，因此或． （2） ，因此，函数的值域是． 【针对练习6-6】已知函数． （1）求的单调递增区间和对称中心； （2）当时，，求的值． 【解析】（1），由（）得，所以的递增区间为（）；由（）得，所以的对称中心为（）． （2）由（1）得，所以，因为，所以，所以，所以 ． 5．与解三角形结合】 【例7】（2019全国新课标3卷）设的内角，，的对边分别为，，．已知，求． 【解析】（1），即为，得 ，因为，所以，若，可得，不成立，所以，由，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $